4-2-3任意四边形、梯形与相似模型.题库教师版.doc

任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲 板块一 任意四边形模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①或者② 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析】 根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？ 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，，那么； ⑵根据蝴蝶定理，． 【例 2】 四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍． 【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵， ∴， ∴． 解法二：作于，于． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例 3】 如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积． 【解析】 ⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为； ⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为， 根据蝴蝶定理，，所以， 那么． 【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 【解析】 在，中有，所以， 的面积比为．同理有，的面积比为．所以有×=×，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即=，所以有与的面积比为，=公顷，=公顷． 显然，最大的三角形的面积为21公顷． 【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ． 【解析】 连接、、． 则可根据格点面积公式，可以得到的面积为：，的面积为：，的面积为：． 所以，所以． 【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积． 【解析】 因为，且∥，所以，，． 【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形中，，，求三角形的面积． 【解析】 连接． 因为，，所以． 因为，根据蝴蝶定理，， 所以． 所以， 即三角形的面积是． 【例 7】 如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积． 【解析】 连接，． 因为，，所以． 因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米． 【例 8】 如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积． 【解析】 设与的交点为，连接、． 由蝴蝶定理可知，而，，所以，故． 由于为中点，所以，故，． 由蝴蝶定理可知，所以， 那么（平方厘米）． 【例 9】 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 ． 【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解． 根据蝴蝶定理得 设，根据共边定理我们可以得 ，，解得． 【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米． 【解析】 如图，设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接、、． 设的面积为”“，则面积为”“，面积为”“，那么面积为的倍，为”“，梯形的面积为，的面积为”“，的面积为． 根据蝴蝶定理，，故，， 所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)． 板块二 梯形模型的应用 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ① ②； ③的对应份数为． 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 【例 11】 如图，，，求梯形的面积． 【解析】 设为份，为份，根据梯形蝴蝶定理，，所以；又因为，所以；那么，，所以梯形面积，或者根据梯形蝴蝶定理，． 【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米． 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面积为(平方厘米)． 【例 12】 梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比． 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，，可以求出， 再根据梯形蝴蝶定理，． 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论． 【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形中，对角线和交于点，已知，并且，那么的长是多少？ 【解析】 根据蝴蝶定理，，所以，又，所以． 【例 14】 梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？ 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，，， 所以． 【巩固】如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积． 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，，所以， ，， ． 【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积． 【解析】 如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是． 【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________． 【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是，3的面积就是． 【例 16】 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积． 【解析】 因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道 ，设份，则 份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米． 【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米． 【解析】 连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)． 【例 17】 如图面积为平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，求阴影部分的面积． 【解析】 因为是边上的三等分点，所以，设份，根据梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面积为份，，所以，所以平方厘米． 【例 18】 如图，在长方形中，厘米，厘米，，求阴影部分的面积． 【解析】 方法一：如图，连接，将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形的面积为平方厘米． 由于，根据梯形蝴蝶定理，，所以，而平方厘米，所以平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米． 方法二：如图，连接，，由于，设份，根据梯形蝴蝶定理， 份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米 【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】 连接． 由于是平行四边形，，所以， 根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)． 【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米． 【分析】 连接． 由于与是平行的，所以也是梯形，那么． 根据蝴蝶定理，，故， 所以(平方厘米)． 【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】 连接． 由于与是平行的，所以也是梯形，那么． 根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)． 另解：在平行四边形中，(平方厘米)， 所以(平方厘米)， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)． 【例 20】 如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？ 【分析】 连接，根据梯形模型，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)． 【巩固】如图所示，、将长方形分成4块，的面积是4平方厘米，的面积是6平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 (法1)连接，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)． (法2)由题意可知，，根据相似三角形性质，，所以三角形的面积为：(平方厘米)．则三角形面积为15平方厘米，长方形面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)． 【巩固】(98迎春杯初赛)如图，长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为，的长是， 的长是.那么四边形的面积是多少？ 【解析】 因为连接知道和的面积相等即为，又因为,所以的面积为，根据四边形的对角线性质知道：的面积为：，所以四边形的面积为：(平方厘米). 【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米． 【解析】 连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)． 【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形中，是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9．那么四边形的面积是 ． 【解析】 解法一：连接，依题意，所以， 则． 又因为，所以， 得， 所以． 解法二：由于，所以，而，根据蝴蝶定理，，所以， 所以． 【例 23】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？ 【解析】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的． 由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48． 那么的面积为． 【例 24】 如图所示，是梯形，面积是，的面积是9，的面积是27．那么阴影面积是多少？ 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到，而(等积变换)，所以可得， 并且，而， 所以阴影的面积是：． 【例 25】 如图，正六边形面积为，那么阴影部分面积为多少？ 【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积． 【例 26】 如图，已知是中点，是的中点，是的中点．三角形由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 因为是中点，为中点，有且平行于，则四边形为梯形．在梯形中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=： =4．又已知②-⑤=6，所以⑤=，②=⑤，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为．有与的面积比为平方与平方的比，即为1:4．所以面积为梯形面积的=，即为．因为是中点，所以与的面积相等，而的面积为、的面积和，即为平方厘米．三角形的面积为48平方厘米． 【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ． 【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况． 解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为，因此空白处的总面积为，阴影部分的面积为． 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的，阴影部分的面积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的，那么阴影部分的面积为． 【例 28】 如图，在正方形中，、分别在与上，且，，连接、，相交于点，过作、得到两个正方形和，设正方形的面积为，正方形的面积为，则___________． 【解析】 连接、．设正方形边长为3，则，，所以，，．因为，所以．由梯形蝴蝶定理，得， 所以，．因为，， 所以，所以，． 由于底边上的高即为正方形的边长，所以，， 所以，则． 【例 29】 如下图，在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是 平方厘米． 【解析】 连接，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形面积． 设梯形的上底为，总面积为．则下底为，． 所以，． 由于梯形和梯形的高相等，所以 ， 故，． 根据梯形蝴蝶定理，梯形内各三角形的面积之比为，所以； 同理可得， 所以，由于平方厘米， 所以(平方厘米)． 【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于 ． 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接．设与的交点为． 左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为． 如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为． 可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为． 在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即， 那么． 板块三 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①； ②． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 【例 31】 如图，已知在平行四边形中，，，，那么的长度是多少？ 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以． 【例 32】 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份．如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行)，那么小玻璃管口径是多大？ 【解析】 有一个金字塔模型，所以，，所以厘米． 【例 33】 如图，平行，若，那么________． 【解析】 根据金字塔模型，， 设份，则份，份，所以． 【例 34】 如图， 中，，，互相平行，， 则 ． 【解析】 设份，根据面积比等于相似比的平方， 所以，，因此份，份， 进而有份，份，所以 【巩固】如图，平行，且，，，求的长． 【解析】 由金字塔模型得，所以 【巩固】如图， 中，，，，，互相平行，， 则 ． 【解析】 设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份． 所以有 【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列． 【例 35】 已知中，平行，若，且比大，求． 【解析】 根据金字塔模型，，设份，则份，份，比大份，恰好是，所以 【例 36】 如图：平行， ，，求的长度 【解析】 在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中有： ，因为，，所以 【巩固】如图，已知平行，，那么________． 【解析】 由沙漏模型得，再由金字塔模型得． 【例 37】 如图，中，，，与平行，的面积是1平方厘米．那么的面积是 平方厘米． 【解析】 因为，，与平行， 根据相似模型可知，，平方厘米， 则平方厘米， 又因为，所以(平方厘米)． 【例 38】 在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？ 【解析】 连接，易知∥，根据相似三角形性质，可知，且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍． 【例 39】 如图，线段与垂直，已知，，那么图中阴影部分面积是多少？ 【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看． 作辅助线，则图形关于对称，有，，且． 设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份． 因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为． 解法二：连接、．由于，，所以∥，根据相似三角形性质，可知， 根据梯形蝴蝶定理，， 所以，即； 又，所以． 【例 40】 (年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________． 【解析】 因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形． ，那么，所以． 又，所以，根据沙漏模型， ，所以． 【例 41】 已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积． 【解析】 已知，且∥，利用相似三角形性质可知，所以，且． 又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么，，所以，可得，所以，那么． 【例 42】 已知正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，，求正方形的边长． 【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有，，设正方形的边长为，所以有，即，解得，所以正方形的边长为． 方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得 【例 43】 如图，三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ 【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有，，设正方形的边长为毫米，，即，解得，即正方形的边长为毫米． 【巩固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是 边的高，交于，，厘米，厘米，求长方形的长和宽． 【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以，，所以有，设，则，所以有，解得，，因此长方形的长和宽分别是厘米，厘米． 【例 44】 图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？ 【解析】 根据题中条件，可以直接判断出与平行，从而三角形与三角形相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题． 做垂直于，交于． 因为∥，所以三角形与三角形相似，且相似比为， 所以，又因为，所以， 所以三角形的面积为． 【例 45】 如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？ 【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：；， 则，， 【例 46】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ． 【解析】 设大、小正方形的边长分别为厘米、厘米()，则，所以．若，则，不合题意，所以只能为6或7．检验可知只有、满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，，而，得(厘米)，所以阴影部分的面积为：(平方厘米)． 【例 47】 如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？ 【解析】 连接,面积为的三角形占了矩形面积的，所以,所以,所以,由三角形相似可得阴影部分面积为． 【例 48】 已知长方形的面积为厘米，是的中点，、是边上的三等分点，求阴影的面积是多少厘米？ 【解析】 因为是的中点，、是边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成份的话，那么份、份，大家能在图形中找到沙漏和：有，所以，相当于把分成()份，同理也可以在图中在次找到沙漏：和也是沙漏，，由此可以推出：, 相当于把分成()份，那么我们就可以把分成份(和的最小公倍数)其中占份，占份，占份，连接则可知的面积为，在为底的三角形中占份，则面积为：(平方厘米). 【例 49】 是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米． 【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质． 设、分别为、的中点，连接、、． 可得， 对角线被、、平均分成四段，又∥，所以，， 所以 (平方厘米)，(平方厘米)． 同理可得平方厘米，平方厘米． 所以 (平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为(平方厘米)． 方法二：寻找图中的沙漏，，，因此为的三等分点，(平方厘米)，(平方厘米)，同理(平方厘米)，所以(平方厘米)． 【例 50】 如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，是的中点，则三角形的面积是 平方厘米． 【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线． 取的中点，连接，设交于． 则三角形被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边，可知三角形的面积等于(平方厘米)，所以(厘米)，那么(厘米)． 因为是三角形的中位线，所以(厘米)，所以三角形的面积为 (平方厘米)． 【例 51】 如图，长方形中，为的中点，与、分别交于、，垂直于，交于，已知，，求． 【解析】 由于∥，利用相似三角形性质可以得到， 又因为为中点，那么有， 所以，利用相似三角形性质可以得到， 而，所以． 【例 52】 右图中正方形的面积为1， 、分别为、的中点，．求阴影部分的面积． 【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质． 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作垂直于，垂直于． 根据相似三角形性质，，又因为，所以，即，所以． 【例 53】 梯形的面积为12，，为的中点，的延长线与交于，四边形 的面积是 ． 【解析】 延长、相交于． 由于为的中点，根据相似三角形性质，，，再根据相似三角形性质，，，而， 所以，． 又，，所以． 【例 54】 如图，三角形的面积为60平方厘米，、、分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为与的面积之差，又可以转化为与的面积之差． (法1)如图，连接． 由于、、分别为各边的中点，那么为平行四边形，且面积为三角形面积的一半，即30平方厘米；那么的面积为平行四边形面积的一半，为15平方厘米． 根据几何五大模型中的相似模型，由于为三角形的中位线，长度为的一半，则，所以； ，所以． 那么的面积占面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)． (法2)如图，连接． 根据燕尾定理，，， 所以平方厘米， 而平方厘米，所以平方厘米， 那么阴影部分面积为(平方厘米)． 【总结】求三角形的面积，一般有三种方法： ⑴利用面积公式：底高； ⑵利用整体减去部分； ⑶利用比例和模型． 【例 55】 如图,是直角梯形，，那么梯形的面积是多少? 【解析】 延长交于点，分别计算的面积，再求和． ∴； 又∵ ∴, ∴ 【例 56】 边长为厘米和厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？ 　　　　　　　 【解析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为，小正方形为，分别交于两点， ， ∴，， ∵ ∴ 【例 57】 如右图，长方形中，，，求的长． 【解析】 因为∥，根据相似三角形性质知， 又因为∥，， 所以，即，所以． 【例 58】 (第届迎春杯试题)如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求 【解析】 方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以． 方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以． 【例 59】 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． 【解析】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而， 所以， 并得、是的三等分点，所以，所以 ， 所以，； 又因为，所以． 解法二：延长交于，如右图， 可得，， 从而可以确定的点的位置， ， ，(鸟头定理)， 可得 【例 60】 (清华附中入学试题)正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 平方厘米． 【解析】 欲求四边形的面积须求出和的面积． 由题意可得到：，所以可得： 将、延长交于点，可得： ， 而，得， 而，所以 ． 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接，确定的位置(也就是)，同样也能解出． 【例 61】 如图，已知,点分别在上，且，则是多少？ 【解析】 的面积已知，若知道的面积占的几分之几就可以计算出的面积．连接． ∵ ∴ ∴与平行， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 【例 62】 如图，长方形中，、分别为、边上的点，，，求． 【解析】 如图，过作的平行线交于． 由于是的中点，所以是的中点． 由于，，所以，． 根据相似性，，， 于是，，， 所以． 【例 63】 如下图，、、、均为各边的三等分点，线段和把三角形分成四部分，如果四边形的面积是24平方厘米，求三角形的面积． 【解析】 设三角形以为底的高为， 由于，所以； 所以三角形以为底的高是； 又因为三角形以为底的高是， 所以三角形的面积与三角形的面积之比， 所以三角形的面积为(平方厘米)， 而三角形的面积占三角形的， 所以三角形的面积是(平方厘米)． 【例 64】 (年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？ 【解析】 (法)由，有，所以，又，所以 ，所以，所以占的， 所以． (法)如图，连结，则(，而，所以，()．而()，因为， 所以，则()，阴影部分面积等于 ()． 4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 31 of 31