第八届华杯赛决赛二试试题及解答.doc

第八届华杯赛决赛二试试题及解答 1.计算： 2.已知1+2+3+…+n的和的个位数为3，十位数为0，百位数不为0。求n的最小值。 3.如右图所示的四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ABC=105°，AB=CD=15厘米，连接对角线BD。求四边形ABCD的面积。 4.四个不同的三位数，它们的百位数字相同，并且其中有三个数能整除这四个数的和。求这四个数。 5.10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局。其中有两队并列第一，两队并列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况。请计算出各队得分. 6. n张卡片，每张上写—个不为0的自然数，彼此不同，小李和另外(n-1)个小朋友做游戏，每人任意取—张，共取n次，每次各人记下自己取得的数字后，仍将卡片放回，最后各人计算自己取得的数字和作为得分，并按得分多少排名。已知小李n次取得的数字各不相同，其余的小朋友的得分彼此不相同，他们(不包括小李)得分之和为2001。问n等于多少?小李最高能是第几名? 1．4000＋. 2．n的最小值为37. 3．四边形ABCD的面积是112.5平方厘米. 4．这四个数是108，117，135，180. 5．略 6．n＝4，小李最高是第二名. 1．解：原式＝ 　　＝ 因为上式中分母为1～2000的同分母的两个分数之和，都是2，所以原式＝2×2000＋＝4000＋. 2．解：因为1＋2＋3…＋n＝，要使个位为3，n×（n＋1）的个位应为6，在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这些连续数中，两个连续数个位的积为6的，只有2×3＝6，7×8＝56，考虑到百位不为0，n的值可能为17，22，27，32，37，42，…，从小到大试算，1＋2＋3…＋37＝＝703.n的最小值为37. 3．解：将△DCB切下，令DC与AB重合，拼接到△ABD上，得到四边形AEBD.因为∠ABE＝∠DCB＝45°，所以，BE∥AD，又AE＝DB，所以四边形AEBD是等腰梯形.再作AF⊥BE，交BE于F，并将△AEF切下，令AE与BD重合，拼接成四边形AFBD，则AFBD是正方形，它的对角线AB＝15厘米，所以这个正方形的面积，也即原图形的面积是＝112.5平方厘米. 4．解：设这4个数分别为A、B、C、D，和为S，S能被A、B、C整除，设S÷A＝，S÷B＝，S÷C＝，并设A＜B＜C，则 ＞＞（、、均为整数）.下面我们说明≤6，≥3.如果＞6，设为7，即设S÷A＝7，A＝S，B＋C＋D＝S－A＝S， B、C、D中至少有一个不小于S，这与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以≤6；同样地，如果＜3，设为2，即C＝S，则A＋B＋D＝S－C＝S，A、B、D中至少有一个不大于S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以≥3.又因为A、B、C、D不相同，即、、只能是5、4、3或6、5、4，但当＝6、＝5、＝4时，D＝S－（A＋B＋C）＝S－（＋＋）＝S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾， 所以，、、只能是5、4、3.此时，S必为3×4×5＝60的倍数.设S＝60K，则A＝12K，B＝15K，C＝20K，D＝13K，但A、B、C、D为百位数字相同的三位数，故K＝9，即A＝108，B＝135，C＝180，D＝117.本题有唯一解. 5．解：10个队进行循环赛，每队打9场，共赛45场.每场3分，共45×3＝135分.因为有两个第一名，最高得分最多为17分，最低得分至少为9分，如果按两个17分，两个16分，两个15分，其余分别为9、10、11、12分计算，共138分，将第二名改为15分，第三名改为14分，第七名改为13分，则17×2＋15×2＋14×2＋13＋11＋10＋9＝135；当然也可能是16×2＋15×2＋14×2＋13＋12＋11＋9＝135； 第一种情况是可能的，如： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 　 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 　 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 　 2 2 1 1 1 1 1 4 2 2 1 　 2 1 1 1 1 1 5 2 2 1 1 　 2 2 1 1 1 6 2 2 2 2 1 　 1 1 1 1 7 2 2 2 2 1 2 　 1 1 1 8 2 2 2 2 2 2 2 　 1 1 9 2 2 2 2 2 2 2 2 　 1 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 　 17 17 15 15 14 14 13 11 10 9 6．解：设卡片上的数字为、、…、，每发一轮卡片，所有小朋友（包括小李）的得分和是＋＋＋…＋，取n次后，所有小朋友（包括小李）的得分和是n×（＋＋＋…＋），因为小李n次取得的数字各不相同，小李的得分刚好等于＋＋＋…＋，n－1个小朋友的得分和为（n－1）×（＋＋＋…＋）＝2001＝3×23×29.如果n－1＝23，则n＝24，此时即便卡片上的数即便是取最小的数，即从1取到24，n－1个小朋友的得分也应为23×（1＋2＋3＋…＋24）＝6900＞2001，与题设矛盾.故n－1只能取3，所以n＝4，＋＋＋…＋＝23×29＝667.即小李的得分是667，因为3×667＝2001，所以其它3人的得分中，必有一个分数大于667，小李最高为第二名.（此题华杯赛网站给出的n＝667的答案有误，另外试题表述也不太明晰，是一轮卡片发完后，再将卡片放回去，否则，如果其它小朋友都取到最小的卡片，小李肯定是第一名）.