【轻轻家教】专题复习：解三角形.docx

全国卷高考数学复习专题—— 解三角形 考点一　正弦、余弦定理 1.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为　　　　.  答案　3 2.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则ab=　　　　.  答案　2 3.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,则△ABC的面积等于　　　　.  答案　23 4.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sin B=3sin C,则cos A的值为　　　　.  答案　-14 5.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+2sin B=2sin C,则cos C的最小值是　　　　.  答案　6-24 6.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA·BC=2,cos B=13,b=3.求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 解析　(1)由BA·BC=2得c·acos B=2, 又cos B=13,所以ac=6. 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B. 又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13. 解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2. 因a>c,所以a=3,c=2. (2)在△ABC中,sin B=1-cos2B=1-132=223, 由正弦定理,得sin C=cbsin B=23×223=429. 因a=b>c,所以C为锐角, 因此cos C=1-sin2C=1-4292=79. 于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C =13×79+223×429=2327. 7.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7. (1)求cos∠CAD的值; (2)若cos∠BAD=-714,sin∠CBA=216,求BC的长. 解析　(1)在△ADC中,由余弦定理,得 cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=7+1-427=277. (2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD. 因为cos∠CAD=277,cos∠BAD=-714, 所以sin∠CAD=1-cos2∠CAD=1-2772=217, sin∠BAD=1-cos2∠BAD=1--7142=32114. 于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD =32114×277--714×217=32. 在△ABC中,由正弦定理,得BCsinα=ACsin∠CBA, 故BC=AC·sinαsin∠CBA=7×32216=3. 考点二　解三角形及其综合应用 8.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=(　　) A.5 B.5 C.2 D.1 答案　B 9.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是(　　) A.3 B.932 C.332 D.33 答案　C 10.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是(　　) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>162 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 答案　A 11.(2014山东,12,5分)在△ABC中,已知AB·AC=tan A,当A=π6时,△ABC的面积为　　　　.  答案　16 12.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=π3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=17. (1)求sin∠BAD; (2)求BD,AC的长. 解析　(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=17, 所以sin∠ADC=437. 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B =437×12-17×32=3314. (2)在△ABD中,由正弦定理得 BD=AB·sin∠BADsin∠ADB=8×3314437=3. 在△ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B =82+52-2×8×5×12=49. 所以AC=7. 13.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值. 解析　(1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac≥2ac-ac2ac=12, 当且仅当a=c时等号成立. ∴cos B的最小值为12. 14.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (1)求a的值; (2)求sinA+π4的值. 解析　(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B. 由正、余弦定理得a=2b·a2+c2-b22ac. 因为b=3,c=1,所以a2=12,a=23. (2)由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=9+1-126=-13. 由于0<A<π,所以sin A=1-cos2A=1-19=223. 故sinA+π4=sin Acosπ4+cos Asinπ4=223×22+-13×22=4-26. 15.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sin Acos A-3sin Bcos B. (1)求角C的大小; (2)若sin A=45,求△ABC的面积. 解析　(1)由题意得 1+cos2A2-1+cos2B2=32sin 2A-32sin 2B, 即32sin 2A-12cos 2A=32sin 2B-12cos 2B, sin2A-π6=sin2B-π6. 由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得 2A-π6+2B-π6=π, 即A+B=2π3, 所以C=π3. (2)由c=3,sin A=45,asinA=csinC,得a=85, 由a<c,得A<C.从而cos A=35, 故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=4+3310, 所以,△ABC的面积为S=12acsin B=83+1825. 16.(2014大纲全国,17,10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=13,求B. 解析　由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A. 故3tan Acos C=2sin C, 因为tan A=13,所以cos C=2sin C, tan C=12.(6分) 所以tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) =tanA+tanCtanAtanC-1(8分) =-1, 即B=135°.(10分)