全国卷高考数学复习专题——解三角形考点一正弦、余弦定理1.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为.答案√32.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则ab=.答案23.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC的面积等于.答案2√34.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.答案-145.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sinA+√2sinB=2sinC,则cosC的最小值是.答案√6-√246.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知⃗BA·⃗BC=2,cosB=13,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由⃗BA·⃗BC=2得c·acosB=2,又cosB=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解{ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB=√1-cos2B=√1-(13)2=2√23,由正弦定理,得sinC=cbsinB=23×2√23=4√29.因a=b>c,所以C为锐角,因此cosC=√1-sin2C=√1-(4√29)2=79.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=13×79+2√23×4√29=2327.7.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=√7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-√714,sin∠CBA=√216,求BC的长.解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=7+1-42√7=2√77.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=2√77,cos∠BAD=-√714,所以sin∠CAD=√1-cos2∠CAD=√1-(2√77)2=√217,sin∠BAD=√1-cos2∠BAD=√1-(-√714)2=3√2114.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=3√2114×2√77-(-√714)×√217=√32.在△ABC中,由正弦定理,得BCsinα=ACsin∠CBA,故BC=AC·sinαsin∠CBA=√7×√32√216=3.考点二解三角形及其综合应用8.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=()A.5B.√5C.2D.1答案B9.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是()A.3B.9√32C.3√32D.3√3答案C10.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16√2C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案A11.(2014山东,12,5分)在△...
