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光华人 向上的精神 Solow 模型之详细推导模型之详细推导 参考资料：戴维罗默 高级宏观经济学 龚六堂 经济增长理论 研究生一年级 高级宏观经济学、动态优化课堂笔记 Solow 模型含四个变量：产出（Y）、资本（K），劳动（L）、技术进步（A）。生产函数的形式为：()(),()()Y tF K tA t L t=满足：二阶连续可微；(,)F 对变量非减且严格凹（即资本和劳动力的边际生产率都是递减的）；(,)F 生产函数是常数规模回报的，即对任意0，有(,)(,FKALF K AL)=，（1）从而可得到欧拉（Euler）方程：(,)(,)(,)F K LF K LF K LKLKL=+；生产函数满足 Inada 条件，即 00lim(,),lim(,)lim(,)0lim(,)0KLKLKLKLFK LF K LFK LF K L=，。通常所讲的 Cobbel-Douglas 生产函数满足此条件：()()()()Y tA t K tL t=，0,1。规模报酬不变的假定使我们得以使用密集形式的生产函数。11(,1)(,)KFF K ALYALALAL=，（2）令 KkAL=表示每单位有效劳动的平均资本数量，YyAL=表示每单位有效劳动的平均产出 那么可将（2）式写为：(,1)()yF kf k=假定储蓄率为，资本折旧为s，人口增长率既定，为LnL=&，技术进步率也既 Solow Model 1 光华人 向上的精神 定，设为AgA=&。那么，KsYK=&。即资本的变化由储蓄（）减去折旧掉的资本存量。sY人均资本存量的变化为 2()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()KK tK tALk tA t L tL t A ttA t L tA t L tK tK tL tK tA tA t L tA t L t L tA t L t A t=+=&从而有()()()()()()()sY tK tk tk tnk tgA t L t=&()()()()k tsy tngk t=+&（4）方程（4）是 Solow 模型的关键。均衡时人均资本存量不再变化，0k=&，于是得到*()()()sf k tngk t=+作图：k*k实际投资()sf k 持平投资()ngk+图 1 如果每单位有效劳动的平均实际投资大于所需的持平投资，则k上升。反之，如果每单位有效劳动的平均实际投资小于所需的持平投资，则下降。如果两者相等，则不变。从图中显然可以看出，不管经济初始位于何处，最终总能达到均衡（这一点与 Ramsey 模型有显著区别）。kk根据图 1 可研究储蓄率 s，人口增长率 n，技术进步率 g 的变化对均衡人均资本存量的影响。具体讨论参见罗默书。Solow Model 2 光华人 向上的精神 资本的黄金积累率资本的黄金积累率 这是求一储蓄率，在这一储蓄率下，均衡时居民的人均消费水平达到最大化。这时的人均资本存量称为黄金律资本存量水平。*max()()()()()sc sf ksf kf kngk*=+，特别要注意的是其中的每个k均是均衡资本存量，显然也为s的函数，*k由一阶条件：*()()()c skfkngss=+，故黄金律的资本存量水平k必须满足*()()fkng=+。（黄金积累率是资本存量的所有平衡增长路径当中的最佳路径。）k()f k*k()ngk+持平投资()sf k实际投资 图 2 Solow Model 3