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以“史”为基：“微”课堂下的“宏”教学*尹宝婷王继顺（连云港师范高等专科学校，江苏连云港222000）摘要：数学史融入数学教学的研究是教育界所要研究的一项重点课题之一。理论上讲，数学史融入课堂可以呈现三方面的价值：数学是知识的工具、数学是锻炼思想的体操、数学是一种进化的文化。数学史教学可以通过以下三种方式体现：展示型教学、体验型教学、渗透型教学，因此，数学史教学在促进学生全面发展以及个性发展等方面都能起到不容小觑的作用，尤其是对学生终身发展的价值。关键词：数学史；教学意义；教学途径学生理解数学的过程理应遵循数学思想在历史上的发展阶段1，而洞悉任何复杂成果的方法就是去追溯成果连续发展的各个阶段。因此，数学教学可以在知识呈现的方式、方法的基础上，进行重构与改造，从而引导学生对“学什么”、“怎么学”、“为什么学”等问题的思考。一、数学史融入数学教学的发展中国的数学史教育兴起于20世纪50年代，盛行于“文化大革命”之后，直至20世纪90年代课程改革后，才提倡将数学史融入到中小学的数学教学中，然而真正将数学史与数学教育的关系研究引入国内的是张奠宙教授，他在国内首次提出专业术语“HPM”数学史与数学教育之间的联系。自此，有关数学教育方向上的数学史研究更是逐步从理论走向实践，实施到课堂教学中。二、数学史融入数学教学的意义（一）数学是知识的工具数学史是对数学知识的产生、发展及应用的总结与概括，它体现的是一个动态且具有创造性的发展过程。因此，将数学史融入到数学教学中，不仅能拓宽学生的知识维度，还能提升学生的知识层次。学生理解数学的过程理应遵循数学思想在历史上的发展阶段1，而洞察任何复杂成果的方法就是去追溯成果的制作过程追溯成果连续发展的各个阶段。因此，数学教学可以在知识呈现的方式、方法的基础上，进行重构与改造，从而引导学生对“学什么”、“怎么学”、“为什么学”等问题的思考。譬如高中数学中进行 对数概念 教学时，先引入对数概念，后简介“对数”的发展史：（1）对数产生的原因为了简化天文、航海等工程技术领域遇到的计算问题。（2）对数的发展涉及了阿基米德对数列、斯蒂费尔的研究、纳皮尔的 奇妙的对数表的说明 和奇妙的对数表的构造 以及欧拉做出的贡献。这一历史发展过程中展现的知识、人物、著作，都在向学生传达知识不是自然衍生的，而是外力因素和数学家的智慧共同推动发展的。也不只是符号和法则的记忆或是数学题目的掌握与理解，这种狭隘角度下的理解的“成绩”，而是数学发展历程的再现，这不仅能作者简介：尹宝婷（1990-），女，江苏连云港人，硕士研究生，讲师，主要从事数学教学相关工作。基金项目：2022-2023年度连云港市社会科学基金项目基于数据挖掘的数学与应用数学专业人才培养模式研究(编号:22LKT0108)三 峡 高 教 研 究Sanxia Higher Education Researches2023年6月Jun.2023第2期 总第68期No.2 Sum No.68以“史”为基：“微”课堂下的“宏”教学2023年第2期让学生站在一定的数学高度，看透数学知识演变的历程，更能从本质上领悟数学的真谛，开阔学生的眼界，潜移默化中培养学生的数学精神。（二）数学是锻炼思想的体操数学史能够让学生深度理解数学的思想和方法，从而使数学思维得到锻炼，并让数学思维逐步浸润到学生的日常学习生活中，使学生能够快乐的学习。譬如高中数学讲授 集合 内容时，可以简介康托尔集合论的发展历程，这一过程中出现的“集合思想”、“悖论思想”像是未知知识的触发器，既能够全面调动学生的学习兴趣，又能明确数学思想。譬如介绍数形结合思想时，可以从已有的知识结构中寻找生长点：点与数之间的联系、曲线与方程之间的联系，甚至可以追溯到历史上的三大几何难题：立方倍积、三等分任意角、化圆为方，这些都是将数与形进行联系的数学发展史，知识层次的拓宽与提升更能加深学生对思想方法带的理解。但是，教学不是简单的历史重现，而是立足于学生的认知特点，采用学生易于接受的语言，将历史进行分解与重组，从而达到事半功倍的效果。这样，由数学史传达的思想方法更能激发学生学习热情，更有欲望探求知识的本质和本源。就像米山国藏曾说过：“无论学生以后从事怎样的工作，只有那些深深烙印于头脑中的数学精神、数学思维方法、数学研究方法等，却时刻的发生作用，使他们毕生受益”。2（三）数学是一种进化的文化作为一名教师，仅能掌握教材并且有效进行数学知识的传授是不够的，还要通晓教育心理学内容，才能教书育人。在数学史教学活动中，既包含数学家的思维，也包含教师和学生的思维，这三种思维在课堂中相互碰撞，既像是传承，又像是发展，它不仅能让学生掌握知识，也能让学生受到教育，从而感受到数学的魅力。譬如高中数学讲授 复数 时，学生可以相互合作，利用信息技术，查找与复数相关的发展历史，让学生在课堂上分享成果，这样学生学习数学时再也不是面对冰冷的X光照片下的骨架，而是火热的科学女王3。同时将数系的扩充过程用图片交织故事的形式呈现：自然数是“数”出来的（追溯到原始社会）、负数是“欠”出来的（由借贷关系的表述）、分数是“分”出来的（整体分割的需求）、无理数是“推”出来的（其中涉及了毕达哥拉斯学派的故事，传达了数学魅力以及为了探索真理大无畏的精神），直到复数的产生，其中涉及的人物精神既能对学生起到教育作用，也能让学生明白我们所学习的知识来之不易，从而达到教育的效度与深度。数学史家卡约黎说过：“学习数学史具有很大的价值，它不仅能告知我们现在已有什么，而且还能教给我们如何去增添什么”4。数学教育学导论 中，张奠宙等人提出“数学不等同于公理化，数学教学既要有形式化，也要有前因后果，应当首尾兼得，不能总是 烧中段”5。三、数学史融入数学教学的方式学生对新知识的学习总是建立在自身已有的知识基础之上，因此教师要善于发现学生认知结构中的旧知识，使其成为新知识学习的生长点，并能重新建构知识结构，这个过程要遵循两个原则：（1）教学内容的设计要有利于教师主导作用和学生主体作用的发挥。（2）课堂教学要符合学生的年龄特征以及认知发展的特点。作为教师，我们要做的是将数学史恰好的融入到数学教学和学生学习中，其主要方式有：直接性融入和间接性融入，其中直接性融入可分为：由“史”引“知”和由“知”引“史”两种，也可分为展示型融入和体验型融入。间接性融入中有渗透型模式。渗透型融入：不直接阐述数学历史，却能让学生经历知识的发生发展过程，教学过程既能培养学生的数学素养，也能促使数学史与数学知识的联系更加紧密。（一）展示型教学M克莱因认为:“数学绝对不是教科书中所指的那种粗浅观察和寻常诠释”。他指出数学家和学生会有相似的经历，会遇到相似的“遇见”。因此，教学时可以展现与教学内容相关或相近的数学史，更能让学生贴合灵魂的理解知识。像数学概念的发展的过程、数学家的探索历程，从中体会知识发展的一波三折，领会数学家刻苦钻研的精神，从而激发学生的探索欲望，同时结合例题分析和学生的自主探索，使学生理解相关数学知识形成发展过程，从而探求数学发展的过程，既能增长见识，也能发展数学思维。25三 峡 高 教 研 究总第68期譬如高中数学教授 等比数列求和 内容时，可以引入“美国总统罗斯福生前立的一份遗嘱”故事，因为学生对这故事背景较为生疏，所以更能引起学生的注意，同时又能达到“以小见大”的学习效果，增加了数学的魅力，激起学生的求知热情和探索精神，还可以让学生在后续的学习中体会“等比数列求和公式”中从特殊到一般方法和分类讨论的思想，培养学生的建模意识，提高数学素养。再比如讲解 两角和的正弦公式 时，除了直接利用两角差的余弦公式以及诱导公式进行推导，还可以引用“托勒密定理”：圆的内接凸四边形中，两组对边乘积之和与两对角线的乘积相等，从而推导两角和的正弦公式，该证明过程能够让学生冲破已有的思维局限，体现思路的新颖性和证明的深刻性，还可以扩展学生的知识面。6虽然展现型数学史融入方式较简单，但是有时对一节短暂的数学课而言，却不失为一种好的教学方法。一个故事、一位数学家、一种思想，恰能转变学生的学习态度，促成学生思想的萌芽或转变，所以这种方式教学不仅能将数学史带入课堂，又能让学生掌握知识的同时受到历史的渲染。（二）体验型教学“展示型”主要刺激的是学生的视觉，促进学生的感知发展，具有的教学意义可能达到的过多的是“纸上谈兵”的效果，而“体验型”的数学史教学，是选取知识形成的过程或思想的运用，则更能激发学生的动手和动脑能力，培养学生的数学素养，在这一过程中，教师也能发现学生的动手操作能力和思维之处的闪光点以及不拘泥于常规的思维碰撞，并能让学生体会知识的来的思路历程以及体验其中的不容易。譬如高中数学讲授 概率 这一章时，体验“投币”实验7，让每个学生通过动手抛掷硬币统计正反面分别向上的次数，再整合全班同学的统计结果，通过大量实验次数推断出正反面向上的频数，计算频率，从而推出概率结果。也可以模仿“布丰投针”实验7：在讲桌上放一张大纸，画一些平行线，相邻两条平行线间距离相等再把长度等于相邻平行线间距离一半的针投到纸上，在这里让每个学生投针50次，记录投针的次数A、与线平行的次数B、与线相交的次数A-B，计算AB的结果，找出与的关系，并理解为什么能算出的近似值？看似再正常不过的一个数值，得来却那么辛苦，同时在学生实验的基础上，可以利用多媒体展示数学家们的试验次数和实验数据，让学生产生由心而生的佩服和由心而生的折服。（三）渗透型教学高中数学课程标准中，单论“思想方法”提及的次数也要超过30次。因而，教学的任务是完善学生的知识结构、培养学生的学习能力，促进学生智力的发展、让学生感受数学中的思想、方法，而数学史是数学思想与方法最有力的载体。在数学教学中，融入与教学知识相关的数学史，探寻数学家解决问题的精髓，既可以让学生学到现成的数学知识，也可以科学性的完善学生的思想体系，开拓视野，培养洞察力。譬如高中阶段讲授 函数概念 时，情景导入时可设置与表格、函数表达式和图像有关的问题，每一题涉及一个函数，同时结合集合的知识，启发学生开动脑筋：如何用集合的语言阐述上述三个问题的共同特征？在这里学生快速的经历了：用表格表示函数、用图像表示函数到用解析式表示函数的过程，符合历史发展，也符合学生的学习规律，同时也经历着用文字和比例的语言表述函数、用“流量”表述函数之间的关系到两个变量之间的依赖关系这一过程，虽然学生不能深层次的理解这一变化过程，但无形中却经历着历史发展历程，这样的教学无疑是更价值的。课堂教学的最后是总结与深化，由教师或学生对课堂教学中的知识进行总结和归纳，将知识融入到学生已有的知识结构中，主动建构学习，同时也要培养学生的数学思维和数学素养，深化则是通过课后习题的形式展开。四、数学史融入数学教学的启示在数学教学中融入的数学史，基本上都是以学生的认知起点和心理规律为基础，精心设计与安排的，所以学生接触到的数学史不会漫长、枯燥和乏味，在这一过程中学生能条理清晰的了解数学史的发展顺序和追踪数学的历史起源，从而能引导学生感受知识发生发展的原因，激起学生的灵感，培养学生的创新意识和实践意识。26以“史”为基：“微”课堂下的“宏”教学2023年第2期以数学史为素材的教学，可以让学生感知数学中概念、定理以及命题的发生、发展过程，领悟其在历史长河中展现出的精神风貌与浓郁的数学思想，激发学生的求知热情，从而激起学生主动建构数学学习的意义，加深学生对数学知识的理解，体验学习数学的乐趣，从而消除学生对数学学习的抗拒心理，从而达到锤炼学生主动思考和反思的目的，再结合现代化的知识背景，发散思维，从多角度思考问题，找出与历史不同的解决方法，从而完善学生自身的知识结构，促进智力的发展。与此同时，还能培养学生的创新性思维能力及创新精神的发展与完善。要想让学生从内心深处真正的接受数学，必然得激起学生的求知热情。教学中，不妨以数学史为基础，开辟学生学习新视角。参考文献：1黄晓学.从惑到识数学教学中学生认识的发生原理M.江苏：中国矿业大学出版社，2007.2(日)米山国藏.数学的精神、思想和方法M.成都：四川教育出版社，1986.3张奠宙.微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考J.高等数学研究，2006，9(2):2-4.4汪晓勤，欧阳跃.HPM的历史渊源J.数学教育学报，2003，12(3):25-27.5张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论M.北京：高等教育出版社，2004.6刘云章，潘慰高.打开你的数学思路M.江苏：江苏科学技术出版社，1998.7普通高中课程标准实验教科书数学必修3M.江苏：江苏凤凰教育出版社，2017.27