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向量与几何第一讲向量向量与几何第一讲向量1.已知向量#a、#b 的夹角为 60，且|#a|=1，|#a#2b|=13，则|#b|=（）A.2B.32C.22D.2解析D由于|#a 2#b|2=|#a|2 4#a#b+4|#b|2=1 4|#a|#b|cos60+4|#b|2=1 2|#b|+4|#b|2=13,则|#b|=22.设#e1,#e2是两个单位向量，x,y 是实数若#e1与#e2的夹角是3，|x#e1+y#e2|=1，则（）A.x 的最大值为 1B.x 的最大值为233C.x+y 的最大值为3D.x+y 的最大值为233解析BD根据题意，条件|x#e1+y#e2|=1等价于x2+y2+xy=1,于是?y+x2?2+32x2=1,于是 x 的最大值为233，选项 A 错误，选项 B 正确又x+y=1?y+x2?+1332x 643=233,等号当 x=y=33时取得，选项 C 错误，选项 D 正确3.已知向量#OA,#OB 垂直，?#OA?=?#OB?=24若 t 0,1，则?t#AB#AO?+?512#BO (1 t)#BA?的最小值为（）A.2193B.26C.242D.24解析B用数形结合方法求解，作正方形 OACB，连对角线 AB，则t#AB#AO=#OD,512#BO (1 t)#BA=#DE,OD=DC,Powered by 质心教育 https:/1向量与几何第一讲向量其中 D 为对角线 AB 上一点，E 为 OB 边上一点，且 EB=10因此?t#AB#AO?+?512#BO+(1 t)#BA?=ED+DC,有几何意义可知 ED+DC 的最小值为 EC 的值，即等于 264.已知点 A,B,C,P 在同一平面内，且#PQ=13#PA，#QR=13#QB，#RP=13#RC，则 4ABC 与 4PBC的面积之比是（）A.14:3B.19:4C.24:5D.29:6解析B利用向量的换底公式，得#PQ=13#PA,#PR#PQ=13#PB#PQ,#PR=13#PC#PR,整理得29#PA+13#PB+12#PC=#0,根据“奔驰定理”，得S4ABC:S4PBC=12+13+2929=194.5.设点 P 在 4ABC 所在的平面内，则当#PA#PB+#PB#PC+#PC#PA 的值最小时，点 P 是 4ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析D记题中代数式为 m，设 G 为 4ABC 的重心，则#PA=#PG+#GA,#PB=#PG+#GB,#PC=#PG+#GC,所以m=#PA#PB+#PB#PC+#PC#PA=3#PG2+2#PG#GA+#GB+#GC+#GA#GB+#GB#GC+#GC#GA=3PG2+#GA#GB+#GB#GC+#GC#GA.而#GA#GB+#GB#GC+#GC#GA 为定值，故当PG=0,Powered by 质心教育 https:/2向量与几何第一讲向量即 P 为重心时，#PA#PB+#PB#PC+#PC#PA 最小6.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB AD，AD=DC=1，AB=3，动点 P 在以 C 为圆心且与直线 BD 相切的圆内运动，#AP=#AD+#AB（,R），则 +的取值范围是（）ABCDPA.0,43B.0,53C.1,43D.1,53解析D以点 A 为坐标原点建立直角坐标系，则 B(3,0)，D(0,1)设点 P 的坐标为(x,y)，则(x 1)2+(y 1)2110.易知+=x+13y,所以设 x+13y=z，其可行域为该直线与圆相交，即点 P 到直线的距离d=?43 z?10 172,又#a#b=14?#a+#b?2?#a#b?2694,且两个不等式中的等号均可取得，因此#a#b 的取值范围是172,94备注每日一题208数量积的范围解法二设平面内#OA=#a，#OB=#b，则?#AB?=?#a+#b?,Powered by 质心教育 https:/3向量与几何第一讲向量于是问题转化为新问题在圆环 1 6 r 6 3 上的两点 A、B 之间的距离在 1,3 之间，求#OA#OB的取值范围应用极化恒等式，有#OA#OB=OM214AB2,其中 M 为线段 AB 的中点显然有 1 6 AB26 9，接下来考虑 OM2的取值范围OABM显然当 A、B 位于半径为 3 的圆周上，且 AB 的长度为 1 时 OM2取得最大值，为 32122=354从而 OM2的取值范围是 0 6 OM26354因此0 946 OM214AB2635414,从而946#OA#OB 6172,即#a#b 的取值范围是172,948.设|#AB|=10，若平面上点 P 满足，对于任意 t R，有|#AP t#AB|3，则#PA#PB 的最小值为，此时|#PA+#PB|=解析16,6 由|#AP t#AB|3 可知点 P 到直线 AB 的距离为3 设 AB 的中点为O 于是#PA#PB=14h#PA+#PB2#PA#PB2i=14(2PO)2 10214(36 100)=16此时|#PA+#PB|=69.设向量#a1=(1,5)，#a2=(4,1)，#a3=(2,1)，1,2,3都是非负实数，1+22+33=1，则|1#a1+2#a2+3#a3|的最小值为解析32 记#b1,#b2,#b3=(#a1,2#a2,3#a3),且(1,2,3)=1,22,33,则问题等价于 1+2+3=1 且 1,2,3 0 时，求?1#b1+2#b2+3#b3?的最小值记 O(0,0),A(1,5),B(8,2),C(6,3)，则1#b1+2#b2+3#b3=#OP=1#OA+2#OB+3#OC,Powered by 质心教育 https:/4向量与几何第一讲向量也即#AP#AO=1#AO+2#AB#AO+3#AC#AO,即#AP=2#AB+3#AC.因此 P 点在 4ABC 内部（包括边界）上运动OABCxy如图，可得#OP 模的最小值为点 O 到直线 AB:x+y=6 的距离，为 32 10.已知 4ABC 中，A=90，BC=4，点 A 是线段 EF 的中点，EF=2，若#EF 与#BC 的夹角为 60，则#BE#CF=解析1 先考虑特殊的情况，设 B=3，于是 E 为线段 BA 的中点如图所示：ABCEF于是#BE#CF=#AF#CF=?#AF?2=1.下面考虑一般的情形如图所示：ABCEFPowered by 质心教育 https:/5向量与几何第一讲向量#BE#CF=#BA+#AE#CA+#AF=#BA#CA+#BA#AF+#AE#CA+#AE#AF=0+#AE#CA#BA 1=1+#AE#CB=1+1 4 12=1.11.在边长为1 的菱形 ABCD 中（如图所示），?#EA?=3?#ED?，?#AF?=?#FB?，?#BC?=3?#BG?，#DA#AB=m，则#FE#FG=ABCDEFG解析5m24根据换底公式，有#FE#FG=#AE#AF#AG#AF=34#AD 12#AB23#AB+13#AC 12#AB=34#AD 12#AB12#AB+13#AD=14AD214AB2+524#AB#AD=5m24.12.如图，在平面四边形 ABCD 中，AC=l1，BD=l2，则#AB+#DC#BC+#AD=ACDB解析l21 l22设直线 AC 与 BD 的公共点为O，#OA=a#e1，#OB=b#e2，#OC=c#e1，#OD=d#e2，其中#e1,#e2是单位向量，且|a c|=l1，|b d|=l2设所求式的值为 m，则m=#OB#OA+#OC#OD#OC#OB+#OD#OA=(c a)#e1+(b d)#e2 (c a)#e1(b d)#e2=(c a)2(b d)2=l21 l22.Powered by 质心教育 https:/6向量与几何第一讲向量另法因为#AB+#DC=#AC+#DB=#AC#BD,#BC+#AD=#BD+#AC=#AC+#BD,所以m=#AC#AC#BD#BD=l21 l22.备注每日一题720平面向量的数量积13.设 O 为 4ABC 的外心，若#AO=#AB+2#AC，则 sinBAC 的值为解析104不失一般性，设 4ABC 的外接圆半径 R=2由条件知，2#AC=#AO#AB=#BO x故 AC=12BO=1取 AC 的中点 M，则 OMAC，结合 x 知 OMBO，且 B 与 A 位于直线OM 的同侧于是 cosBOC=cos(90+MOC)=sinMOC=MCOC=14在 4BOC 中，由余弦定理得 BC=OB2+OC2 2OB OC cosBOC=10，进而在 4ABC 中，由正弦定理得 sinBAC=BC2R=10414.在 4ABC 中，AB=BC=2，AC=3设 O 是 4ABC 的内心，若#AO=p#AB+q#AC，则pq的值为解析32因为 O 是 4ABC 的内心，所以 OA 平分 BAC，于是#AO 与向量#AB2+#AC3共线，故pq=1213=32.15.已知 O 为 4ABC 的外心，AB=2a，AC=2a，BAC=120，若#AO=#AB+#AC，则+的最小值是解析2 设 4ABC 外接圆的半径为 R，则#AB#AC=?#AB?#AC?cos120=2a 2a12=2.因为#AO#AB=#AB2+#AC#AB,#AO#AC=#AB#AC+#AC2,Powered by 质心教育 https:/7向量与几何第一讲向量所以R 2a 2a=4a2 2,R 2a1aR=2+4a2,解得=2a2+13a2,=a2+23,故+=43+13a2+a2343+213a2a23=2,当且仅当 a=1 时，上式等号成立，所以 +的最小值为 2 此时，4ABC 为等腰三角形备注事实上，有 +的最小值为1cosA+1=2,等号当且仅当 AB=AC，即 a=1 时取得16.已知圆 O:x2+y2=1 为三角形 ABC 的外接圆，且 tanA=2，若#AO=x#AB+y#AC，则 x+y 的最大值为解析5 54如图，延长 AO 交边 BC 于点 D，OABCD设#AO=#AD，则有#AD=x#AB+y#AC,于是由平面向量共线的表达可得x+y=1,从而可得x+y=AOAD,显然，当 OD 取最小值时 x+y 取得最大值，此时三角形 ABC 为等腰三角形，容易计算得 x+y=5 54备注每日一题194向量分解的系数和17.设 I 为 4ABC 的内心，且 3#IA+4#IB+5#IC=#0，则角 C 的大小为解析2Powered by 质心教育 https:/8向量与几何第一讲向量设 4ABC 的三边长分别为 a,b,c因为 I 为 4ABC 的内心，所以满足a#IA+b#IB+c#IC=#0,对比题设条件有 a=3,b=4,c=5，所以a2+b2=c2.因此角 C 的大小为218.已知圆 O 的半径为 1，半径 OA，OB 夹角为 （0 (2+2cos)xy,当且仅当 x+y 时取等号，于是(x+y)2=x2+y2+2xy=1 2xy cos+2xy6 1+sin22cos22=1cos22,因此 x+y 的最大值为1cos219.已知向量#a,#b 的夹角为3，?#a#b?=5，向量#c#a,#c#b 的夹角为23，|#c#a|=23，则#a#c 的最大值为解析24如图，圆 P 的弦 AB 对应的劣弧的圆周角为3，弦 AB 的长度为 5，O 是优弧 AB 上一点，C是劣弧 AB 上一点，且 AC=23Powered by 质心教育 https:/9向量与几何第一讲向量ABCPO根据题意，有#a=#OA,#b=#OB,#c=#OC.事实上，C 点还可能为图中 C 点位置关于 AB 对称的位置，但考虑到求#a#c 的最大值，可以略去该位置注意到弦 AC 为定值，其所对的角 AOC 为定角，考虑到|#a#c|2=#a2+#c2 2#a#c=(|#a|#c|)2+2cosAOC 2#a#c=12为定值，因此当 OA=OC 时，#a#c 最大在 4ABC 中应用正弦定理，可得ABsinACB=ACsinABC,于是sinABC=35,cosABC=45,因此所求最大值为122 54 2=24.20.已知#a#b=0，(#a#c)#b#c=0，|#a#c|=3，?#b#c?=1，则|#a+#c|的最大值是解析3 设#a=#OA,#b=#OB,#c=#OC，则由题意有OA OB,AC BC,|AC|=3,|BC|=1,从而知点 O,C 在以 AB 为直径的圆上，如图：Powered by 质心教育 https:/10向量与几何第一讲向量ABCMO记 AC 的中点为 M，则|#a+#c|=2|#OM|,所以求圆上一点到 M 的距离的最大值即可，显然，当 OM 过圆心时，OM 的长有最大值32备注每日一题208数量积的范围的练习21.如图，直角梯形 ABCD 中，AB k CD，DAB=90，AD=AB=4，CD=1，动点 P 在边BC 上，且满足#AP=m#AB+n#AD（m,n 均为正实数），则1m+1n的最小值为ABDCP解析74+3 快速找到 m,n 所满足的约束条件是解决问题的关键根据题意，有#AP=#AB+(1 )#AC=#AB+(1 )#AD+14#AB=14+34#AB+(1 )#AD,因此 m,n 需要满足约束条件m+34n=1,因此1m+1n1+322m+34n=74+3,等号当 m2=34n2时取得因此所求的最小值为74+3 备注每日一题418共线的向量表达22.在 4ABC 中，已知#AB#AC+2#BA#BC=3#CA#CB 求 sinC 的最大值解析73Powered by 质心教育 https:/11向量与几何第一讲向量统一起点，有#CA#CB#CA+2#CB#CA#CB=3#CA#CB,即6#CA#CB=CA2+2CB2,也即cosC=CA2+2CB26CA CB23,等号当 CA=2 CB 时取得因此 cosC 的最小值为23，对应 sinC 的最大值为7323.已知 A,B,C 为 4ABC 的三个内角，向量#a 满足：|#a|=2，且#=cosA B2,3sinA+B2，若 C 最大时，存在动点 M，使?#MA?，#AB，#MB 成等差数列，求#MC#AB的最大值解析23+24由|#a|=2，得cos2A B2+3sin2A+B2=2+12cos(A B)32cos(A+B)=2,即cos(A B)=3cos(A+B),展开得2sinAsinB=cosAcosB,故tanAtanB=12,所以tanC=tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB 1=2(tanA+tanB)6 4tanAtanB 22,等号成立当且仅当 tanA=tanB=22令|AB|=2c，因为?#MA?+?#MB?=4c,Powered by 质心教育 https:/12向量与几何第一讲向量所以 M 是椭圆x24c2+y23c2=1 上的动点设 M(x,y)，因为点 C0,22c，所以|MC|2=x2+y 22c2=4c243y2+y22cy+c22=13y22cy+92c2,|y|63c.当 y=3c 时，|MC|max=6+12c,即?#MC?#AB?max=23+24.24.在四面体 ABCD 内部有一点 O，满足 OA=OB=OC=4，OD=1，求四面体 ABCD 体积的最大值解析93 首先，固定 A，B，C，O 四点时，要使四面体 ABCD 的体积最大，则 D 到平面 ABC 的距离应最大因为 D 点在以 O 为球心，1 为半径的球面上运动，所以四面体 ABCD 的体积取最大值时，有OD 平面ABC.设 O 在平面 ABC 的投影点为 E，且|OE|=x，那么 D 到平面 ABC 的距离为 1+x因为EA=EB=EC=p16 x2,所以S4ABC6334(16 x2),因此VABCD634(16 x2)(1+x).考虑函数f(x)=(16 x2)(1+x),x (0,4),易知f0(x)=3x2 2x+16,可见 f(x)在(0,4)上有唯一的临界点 x=2，因此 f(x)在(0,4)的最大值为 f(2)=36从而所求最大值为 93 Powered by 质心教育 https:/13向量与几何第一讲向量备注证明中用到：若 A，B，C 是半径为 R 的圆上三点，则S4ABC6334R2.Powered by 质心教育 https:/14