旋转矩阵群对应的李代数so%28n%29的型心与拟型心.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(8),2325-2329 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.138240 文章引用文章引用:韩泽晟,王敏,郑克礼.旋转矩阵群对应的李代数()so n的型心与拟型心J.理论数学,2023,13(8):2325-2329.DOI:10.12677/pm.2023.138240 旋转矩阵群对应的李代数旋转矩阵群对应的李代数()so n的型心与的型心与 拟型心拟型心 韩泽晟韩泽晟，王王 敏敏，郑克礼郑克礼*东北林业大学数学系，黑龙江 哈尔滨 收稿日期：2023年7月3日；录用日期：2023年8月4日；发布日期：2023年8月11日 摘摘 要要 本文主要研究了刚体运动中旋转矩阵群对应的李代数本文主要研究了刚体运动中旋转矩阵群对应的李代数()so n的型心与拟型心的型心与拟型心。先应用解线性方程组的方先应用解线性方程组的方法，计算出了法，计算出了3维李代数维李代数()so 3的型心与拟型心的型心与拟型心。接下来把接下来把()so 3的结论推广到的结论推广到()so n中中。最终，完全确最终，完全确定了定了()so n型心与拟型心的矩阵表示型心与拟型心的矩阵表示。关键词关键词 李代数李代数，型心型心，拟型心拟型心，矩阵表示矩阵表示 Centroids and Quasi-Centroids of Lie Algebra()so n Corresponding to Rotation Matrix Group Zesheng Han,Min Wang,Keli Zheng*Department of Mathematics,Northeast Forestry University,Harbin Heilongjiang Received:Jul.3rd,2023;accepted:Aug.4th,2023;published:Aug.11th,2023 Abstract This paper mainly studies the centroids and quasi-centroids of the Lie algebra()so n corres-ponding to the Rotation matrix group in rigid motion.Firstly,the centroids and quasi-centroids of *通讯作者。韩泽晟 等 DOI:10.12677/pm.2023.138240 2326 理论数学 the 3-dimensional Lie algebra()so 3 are calculated by using the method of solving system of li-near equations.Next,the conclusion of()so 3 is extended to()so n.Finally,the matrix represen-tation of()so n centroids and quasi-centroids is completely determined.Keywords Liealgebra,Centroid,Quasi-Centroid,Matrix Representation Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 李群是一个古老的数学抽象对象，其在机器人学中关于刚体运动方面的研究中也日益发挥了重要的作用1。但李群结构高度抽象难以被理解，故可用指数和对数映射将李代数和李群相互转化，李代数是一个线性空间，相比于李群要更容易理解。李代数的型心与拟型心是结构理论的重要概念，其结构在某种程度上刻画了李代数的结构，对李代数的研究有重要意义。文献2中 Leger 和 Lucks 对李代数的广义导子、导子、型心、拟型心等概念进行了清晰的描述，并找到了这些概念之间的关系，将他们统一了起来。文献3通过计算给出 Poisson-3-Lie 代数的广义导子()GDer L、拟导子()QDer L、型心()C L、拟型心()QC L及中心导子代数()ZDer L的一些基本性质，并给出拟型心是李代数的充要条件。文献4给出了3-李代数的广义导子、拟导子、拟型心的定义，研究了他们之间的结构关系，并对具有极大对角环面的3-李代数的拟导子和拟型心结构进行了系统的研究。文献5主要研究 3-李代数的结构，给出了 3-李代数的广义导子，拟导子和拟型心的定义。对它们之间的关系及拟导子和拟型心的结构进行了研究。文献6给出李 color 三系的型心的定义，利用李 color 三系与李 color 代数的关系，得到李 color 三系的型心的一些结果。特别地，确定了单李 color 三系的型心。型心与拟型心具体的矩阵表示可以使型心、拟型心的结构更加清晰。文献7主要研究了复数域上的特殊线性李超代数(),sl m n的型心与拟型心，其中4+=mn。应用解线性方程组的方法，完全确定了这些李超代数型心和拟型心的矩阵表示。文献8讨论一般线性李超代数一类子代数()1,2gl的型心与拟型心，应用解方程组的方法完全确定此类李超代数的型心和拟型心的矩阵表示。由型心和拟型心的定义可知他们都是线性空间上的线性变换，因此通过找到()3so一组标准基，应用()3so本身的李乘运算并根据型心与拟型心的定义列出线性方程组，再通过系数比较法得到矩阵中的元素，最后用代数表达式写出矩阵的简化表示，并推广到()so n中。刚体运动中的旋转是机器人领域研究的重点，本文求得刚体中旋转矩阵群对应李代数的型心与拟型心的矩阵表示，可使后续对刚体运动中旋转的研究更加方便。本文结构如下：第一部分是预备知识，介绍了本文用到的一些基本概念及符号，第二部分为本文的主体部分，分别讨论了()3so及()so n的型心与拟型心的矩阵表示。2.预备知识预备知识 定义定义 2.1 9设 F 是特征为 0 的域，L 是 F 上的线性空间。如果 L 上有一个运算：LLL，Open AccessOpen Access韩泽晟 等 DOI:10.12677/pm.2023.138240 2327 理论数学 (),x yx y，满足以下条件，则称 L 是一个李代数。(1),0=x x，xL。(2)雅可比恒等式：,0+=x y zy z xz x y，,x y zL。其中，条件(1)含有反对称性,=x yy x，,x yL的意思。且李括号,x y具有双线,+=+axby czdwac x zcb y zad x wbd y w。定义定义 2.2 设 L 为李代数，则称()()()()|,=LEnd Lx yxyxyx yL 为 L 的型心，称()()()()|,=QLEnd Lxyxyx yL 为 L 的拟型心。3.李代数李代数()so 3 型心与拟型心的矩阵表示型心与拟型心的矩阵表示 由李代数()3so的定义可验证322313312112,eeeeee为李代数()3so的一组基，其中ije表示第 i 行第j 列的元素为 1，其余位置 0 的方阵。若 f 是()3so上的线性变换，则可设在基322313312112,eeeeee上的矩阵表示式如下：()()111213322313312112322313312112212223313233,=kkkf eeeeeeeeeeeekkkkkk 当 f 分别为型心与拟型心时，由元素ijk组成的矩阵即分别是型心与拟型心在此组基下的矩阵表示形式。定理定理 3.1 若 f 为拟型心，则 f 在()3so的标准基下的矩阵为3 3I，其中为任意数。证明：令322313312112,eeeeee为李代数()3so的标准基且设这组基在 f 作用下的像为：()()()()3223113223211331312112=+f eekeekeekee()()()()1331123223221331322112=+f eekeekeekee()()()()2112133223231331332112=+f eekeekeekee 根据拟型心的定义分别用()3so的标准基替代定义中的,x y进行运算。当1331=xee，2112=yee时，()1331f ee与2112ee的情况为：()()()()()13312112133121121331211222 3212 1322 23,=f eeeef eeeeeef eek ek ek e()()()()()13312112133121121331211213 1233 3213 2133 23,=+eef eeeef eef eeeek ek ek ek e 由拟型心定义知：()()1331211213312112,=f eeeeeef ee，比较系数可知：13120=kk，2233=kk。依据上述方法对每个基进行运算，同理可得：1213212331320=kkkkkk112233=kkk，即f 在()3so标准基下的矩阵为3 3I，其中为任意数。定理定理 3.2 若 f 为型心，则 f 在()3so的标准基下的矩阵为3 3I，其中为任意数。韩泽晟 等 DOI:10.12677/pm.2023.138240 2328 理论数学 证明：根据定理 1 及型心的定义分别用()3so的标准基代替定义中的,x y进行计算。当1331=xee，2112=yee时：()()1331211232233223,=f eeeef eeee()1331211222 3212 1322 23,=f eeeek ek ek e 又由型心定义()1331211213312112,=f eeeef eeee 可得：22=k，120=k其它情况同理可得：112233=kkk，其余项全为 0。即 f 在()3so的标准基下的矩阵为3 3I，其中为任意数。4.()so n型心与拟型心的矩阵表示型心与拟型心的矩阵表示 由李代数()so n的定义：当 n 为奇数，可验证 2112322343345445,11,1331244235532,241145225,33,1,1,n nnnnnn nn nnnnneeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 为()so n的基。当 n 为偶数，可验证 2112322343345445,11,1331244235532,241145225,33,11,n nnnnnn nn nnnnneeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 为()so n的基。将李代数()3so型心与拟型心的矩阵表示的证明方法推广到李代数()so n，得出以下定理。定理定理 4.1 李代数()so n的拟型心在其标准基下的矩阵为n nI，其中为任意数。定理定理 4.2 李代数()so n的型心在其标准基下的矩阵为n nI，其中为任意数。推论：推论：李代数()so n的型心与拟型心相同。基金项目基金项目 东北林业大学大学生创新训练项目(DC-2023182)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(2572021BC02)。参考文献参考文献 1 于靖军,刘辛军,丁希仑.机器人机构学的数学基础M.第 2 版.北京:机器工业出版社,2015.2 Leger,G.and Luks,E.(2000)Generalized Derivations of Lie Algebras.Journal of Algebra,228,165-203.https:/doi.org/10.1006/jabr.1999.8250 韩泽晟 等 DOI:10.12677/pm.2023.138240 2329 理论数学 3 张爽,王春月,张庆成.Poisson 3-Lie 代数的广义导子J.吉林大学学报(理学版),2021,59(6):1375-1379.4 白瑞蒲,李奇勇,张凯.3-李代数的广义导子J.数学年刊 A 辑(中文版),2017,38(4):447-460.5 李奇勇.3-李代数的广义导子D:硕士学位论文.保定:河北大学,2015.6 张健,曹燕.李 color 三系的型心J.黑龙江大学自然科学学报,2018,35(1):22-25.7 郭睿彤,李柏霄,郑克礼.4 阶特殊线性李超代数的型心与拟型心J.数学的实践与认识,2022,52(7):233-237.8 张洪娟,李明明,郑克礼.李超代数()1,2gl型心与拟型心的矩阵表示J.哈尔滨师范大学自然科学学报,2017,33(1):1-3.9 Erdmann,K.and Wildon,M.(2006)Introduction to Lie Algebras.Springer,London.https:/doi.org/10.1007/1-84628-490-2