2023届江苏省南京梅山高级中学高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 2．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（　　） A． B．2 C． D． 3．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ） A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不确定 4．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为(　) A． B．1 C．2 D．0 5．如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（ ） A．点M在圆C上 B．点M在圆C外 C．点M在圆C内 D．上述三种情况都有可能 6．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ） A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2} 7．设集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ） A． B． C． D． 9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A．408 B．120 C．156 D．240 10．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则( ) A．， B．， C．， D．， 11．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．140 D．120 12．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______. 14．已知实数，满足则的取值范围是______. 15．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____. 16．函数的极大值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若，，，求证：. 18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）. （1）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值. （2）设为曲线上任意一点，求的取值范围. 19．（12分）已知与有两个不同的交点，其横坐标分别为（）. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 20．（12分）已知函数 （1）若函数在处取得极值1，证明： （2）若恒成立，求实数的取值范围. 21．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点). （1）求椭圆的方程； （2）已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 22．（10分）设函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值； （Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证： . 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求. 【题目详解】 由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为, 所以每个等腰三角形的面积为, 所以圆的面积为,即, 所以当时,可得, 故选:A 【答案点睛】 本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力. 2、D 【答案解析】 将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值. 【题目详解】 ∵ 所以展开式中的系数为， ∴解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题. 3、A 【答案解析】 利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可 【题目详解】 据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 4、C 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【题目详解】 若实数x，y满足条件，目标函数 如图： 当时函数取最大值为 故答案选C 【答案点睛】 求线性目标函数的最值: 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小； 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大. 5、B 【答案解析】 根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件，利用与圆心的距离判断即可. 【题目详解】 直线与圆相交， 圆心到直线的距离， 即． 也就是点到圆的圆心的距离大于半径． 即点与圆的位置关系是点在圆外． 故选： 【答案点睛】 本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 6、A 【答案解析】 解出集合A和B即可求得两个集合的并集. 【题目详解】 ∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}， B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A． 【答案点睛】 此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 7、C 【答案解析】 由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【题目详解】 ，且，，. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 8、C 【答案解析】 令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得． 【题目详解】 令，则，，，， ，因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 9、A 【答案解析】 利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况； 【题目详解】 解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种）， 当“乐”排在第一节有（种）， 当“射”和“御”两门课程相邻时有（种）， 当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种）， 则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种）， 故选：． 【答案点睛】 本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题． 10、C 【答案解析】 根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【题目详解】 表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以. 表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题. 11、C 【答案解析】 试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 12、A 【答案解析】 先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率 【题目详解】 解：抛物线经过点 ，， ，， 故选：A 【答案点睛】 考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、； 【答案解析】 求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【题目详解】 圆：的标准方程为，圆心为， 由题意，即， ∴，当且仅当 ，即时等号成立， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”． 14、 【答案解析】 根据约束条件画出可行域，即可由直线的平移方法求得的取值范围. 【题目详解】 . 由题意，画出约束条件表示的平面区域如下图所示， 令，则 如图所示，图中直线所示的两个位置为的临界位置， 根据几何关系可得与轴的两个交点分别为， 所以的取值范围为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了非线性约束条件下线性规划的简单应用，由数形结合法求线性目标函数的取值范围，属于中档题. 15、 【答案解析】 根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值. 【题目详解】 根据题意,连接,如下图所示: 在等腰三角形中,已知, 则由向量数量积运算可知 线段的中点分别为则 由向量减法的线性运算可得 所以 因为,代入化简可得 因为 所以当时, 取得最小值 因而 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题. 16、 【答案解析】 先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数的极大值． 【题目详解】 函数，， ， 令得，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 当时，函数取到极大值，极大值为. 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的应用． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17