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20192020 年度ZMOW110高中数学联赛基础第 0 章目录1函数综合 1.11.1基本初等函数.11.2函数的图像与性质.41.3函数的值域与最值.62函数综合 2.82.1函数的迭代.82.2抽象函数.102.3函数方程.123三角函数 1.153.1知识梳理.153.2经典例题.164三角函数 2.214.1知识梳理.214.2经典例题.225数列 12.265.1数列的通项与求和.265.2数列综合问题.306不等式 1.346.1知识梳理.346.2经典例题.357不等式 2.387.1知识梳理.38课程QQ群：8173893197.2经典例题.398平面向量及应用.428.1向量的运算.428.2向量的分解.449立体几何与空间向量.469.1空间中的位置关系.469.2距离与角度.479.3空间向量的应用.489.4截面与投影.499.5几何体.5110解析几何综合.5410.1知识梳理.5410.2经典例题.5411计数与概率.5811.1知识梳理.5811.2经典例题.5912杂题选讲.6213综合复习.70课程QQ群：817389319ZMOW110 高中数学联赛基础第 1 章.函数综合 1第 1 章函数综合 1K 1.1基本初等函数 1.1.1指对函数例 1.1.1.xx=201220122013.x=.2.求最小的正整数 n,使得 222|zn 3333.例 1.2.关于 x 的方程 23x+1 17 22x+2x+3=0 所有实根的乘积为.例 1.3.S 是关于 x 的方程 4x=x4的所有实根之和.则离 S 最近的整数为.例 1.4.已知点 P 在曲线 y=ex上,点 Q 在曲线 y=ln x 上,则|PQ|的最小值是质心教育 http:/ 1 章.函数综合 1ZMOW110 高中数学联赛基础 1.1.2二次函数例 1.5.已知 a,b,c 为正整数,方程 ax2+bx+c=0 的两个实根 x1,x2满足 1 x1 x2 2;B.a 6 2;C.b 1;D.b 6 1.2质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 1 章.函数综合 1例 1.7.设函数 f(x)=ax2+(2b+1)x a 2(a,b R,a,0)1.若 a=2,求函数 y=|f(x)|在 0,1 上的最大值 M(b);2.若函数 f(x)在区间(0,1)有两个不同的零点,求证:(2+a)(12b)a2 b 0,函数 f(x)=xax2bx2的最大值是例 1.15.求函数 y=xx3(1+x2)2的最大值和最小值例 1.16.求函数 f(x)=|sin x1|32sin x2cos x的值域6质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 1 章.函数综合 1例 1.17.已知函数f(x)=2ax+a2 1x2+1在区间 0,+)上既有最大值,又有最小值,则 a 的取值范围是例 1.18.已知 Sn=|n 1|+2|n 2|+3|n 3|+10|n 10|,n N,则 Sn的最小值为例 1.19.已知函数 f(x)=|ax2+bx+c|满足 f(2),f(0),f(2)6 2.求 f(x)在区间 2,2 上的最大值质心教育 http:/ 2 章.函数综合 2ZMOW110 高中数学联赛基础第 2 章函数综合 2K 2.1函数的迭代例 2.1.已知函数 f1(x)=2x1x+1,对于 n=1,2,定义 fn+1(x)=f1(fn(x),则 f28(x)=例 2.2.f(x)=x2+2x+1.设 g(x)=f(f(.f|z 2019(x).).已知 g(x)还可以被写作g(x)=x22019+a220191x220191+.+a1x+a0,其中 ai(i=0,1,.,22019 1)是常数.则 a221091=.8质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 2 章.函数综合 2例 2.3.f(x)=x2+4x+2.令 r 表示方程 f(f(f(f(x)=0 最大和最小的根的差.已知 r 具有形式 r=apq.则 r=.例 2.4.设 Q 是四次多项式.如果 Q100(x)(Q1(x)=Q(x),Qi+1(x)=Q(Qi(x)(i=1,2,.)所有根之和为 8,Q(x)=0 的所有根之和为 S.则|log2(S)|=.质心教育 http:/ 2 章.函数综合 2ZMOW110 高中数学联赛基础K 2.2抽象函数例 2.5.设定义在 R 上的连续函数 f(x)满足 f(x)不恒为 0,且存在非零实数 T 使得 f(T)=0,对一切实数,均有f(+)+f()=2f()f(),则下列命题一定正确的是.Af(0)=1Bf(x)=H(x+2T)Cf(x)是偶函数Df(x)是有界函数例 2.6(2019.Canadian Mathematical Olympiad Qualifying Repchage.1).若实数函数 f 是一个单射,且对定义域中的两个 m,n 有1f(n)+1f(m)=4f(n)+f(m)证明:m=n.10质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 2 章.函数综合 2例 2.7.已知 f(x)定义域为 R,满足 f(1)=1 f(1);对任意实数 x,y,有 f(y x+1)=f(x)f(y)+f(x 1)f(y 1)1.求 f(0),f(3)的值;2.求12f(1 6x)+?f(3x)?2的值;3.是否存在常数 A,B,使得不等式|f(x)+f(2 x)+Ax+B|6 2 对一切实数 x 成立?如果存在,求出常数 A,B 的值;如果不存在,请说明理由质心教育 http:/ 2 章.函数综合 2ZMOW110 高中数学联赛基础K 2.3函数方程例 2.8.设函数 f(x)的定义域 D=(,0)(0,1)(1,+),且 x D,f(x)+f?x1x?=2x,则 f(x)=例 2.9.若 limx0f(x)=f(0)=1,f(2x)f(x)=x2,求 f(x)例 2.10.已知 f(x)的定义域为 R,解函数方程:f(x+y)+f(x y)=f(x)cosy12质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 2 章.函数综合 2 2.3.1自然数集上的函数方程例 2.11.设 f(n)是定义在 N上的函数,满足:1.f(f(n)=4n+15,n N;2.f?2k1?=2k+5,k N;则 f(4411)=例 2.12.设 N0是全体非负整数的集合.三元组(f,a,b)中,f 是 N0到自身的函数,a,b N0,且满足:1.f(1)=22.f(a)+f(b)6 2pf(a)3.n 0,f(n)=f(n 1)f(b)+2n f(b)所有可能的 f(b+100)的值之和为.质心教育 http:/ 2 章.函数综合 2ZMOW110 高中数学联赛基础例 2.13.求所有的函数 f:Z Z,满足 f(h+k)+f(hk)=f(h)f(k)+1 对任意整数 h,k 成立.例 2.14.已知 f(a+b)=f(a)+f(b)+ab,且 f(75)f(51)=1230.则 f(100)=.14质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 3 章.三角函数 1第 3 章三角函数 1K 3.1知识梳理定义 3.1(任意角三角函数).让角 的顶点与坐标原点重合,始边在 x 轴正半轴上,则它的终边落在平面直角坐标系内,从角 终边上任取一个异于原点的点 P(x,y),那么三角函数的定义如下:正弦 sin=yr=ypx2+y2;余弦 cos=xr=xpx2+y2;正切 tan=yx;余切 cot=xy;正割 sec=rx=px2+y2x;余割 csc=ry=px2+y2y;正切、余切、正割、余割的定义需要分母不为零,所以有些终边在坐标轴上的点没有一些三角函数值任意角的三角函数也可以通过角 终边上的点与单位圆的交点的坐标去定义,此时 r=px2+y2=1定义 3.2(同角三角函数的基本关系式).常用同角三角函数的基本关系式如下sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,1+cot2=csc2;sin=tan cos,cos=sin cot,cot=cos csc,csc=cot sec,sec=csc tan,tan=sec sin.tan cot=1,sin csc=1,cos sec=1.定理 3.1(和差角公式).C:cos()=coscos+sinsin,C+:cos(+)=coscos sinsin.S:sin()=sincos cossin,S+:sin(+)=sincos+cossin.T:tan()=tan tan1+tantan,T+:tan(+)=tan+tan1 tantan.质心教育 http:/ 3 章.三角函数 1ZMOW110 高中数学联赛基础定理 3.2(辅助角公式).a,b 是非零常数,有 asin x+bcos x=a2+b2sin(x+),其中(a,b)是 终边上一点,有 tan=ba定理 3.3(半角公式).cos2=?1+cos2,sin2=?1 cos2,tan2=?1 cos1+cos=sin1+cos=1 cossin.定理 3.4.(和差化积与积化和差公式)积化和差公式:sincos=12?sin(+)+sin()?,cossin=12?sin(+)sin()?,coscos=12?cos(+)+cos()?,sinsin=12?cos(+)cos()?.和差化积公式：sin+sin=2sin+2cos 2,sin sin=2cos+2sin 2,cos+cos=2cos+2cos 2,cos cos=2sin+2sin 2.定理 3.5.(万能公式)sin=2tan21+tan22,cos=1 tan221+tan22,tan=2tan21 tan22.K 3.2经典例题例 3.1.已知 e 是自然对数的底,那么下列四个数e,1e,sine,tane 的大小关系16质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 3 章.三角函数 1例 3.2.已知 cos(75+)=13,则 sin(15)+cos(105)的值为例 3.3.计算 arctan(tan65 2tan40).例 3.4.若 tan x+tany=4 且 cot x+coty=5,求 tan(x+y).质心教育 http:/ 3 章.三角函数 1ZMOW110 高中数学联赛基础例 3.5.若函数 f(x)=a+sin x2+cos x+btan x 的最大值与最小值之和为 4,则 a+b 的值为例 3.6.已知三内角成等差数列的三角形的最长,最短两边只差为第三边上的高的 4 倍.则最大内角比最小内角大多少?例 3.7.?1+cos7?1+cos37?1+cos57?的值为18质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 3 章.三角函数 1例 3.8.求 cos59+cos559+cos579的值.例 3.9.求方程 arctan1x+arctan1y+arctan1z=4的所有正整数解的组数.例 3.10.设 x 和 y 为正实数,满足 ,2n,其中 n 为整数,若sinx=cosycos4x4+sin4y4=97sin2x3y+y3x求xy+yx质心教育 http:/ 3 章.三角函数 1ZMOW110 高中数学联赛基础例 3.11.已知函数 f(x)=sin2x2+12sinx 12(0)，x R若 f(x)在区间(,2)内没有零点,则 的取值范围是例 3.12.多项式 x4+ax3+bx2+ax+c 有且仅有 3 根,且分别为 tany,tan2y,tan3y.其中 y 为实数.求满足条件的(a,b,c)实数组的个数.20质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 4 章.三角函数 2第 4 章三角函数 2K 4.1知识梳理定理 4.1(正弦定理).在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,有asinA=bsin B=csinC=2R,其中 R 为 ABC 的外接圆的半径定理 4.2(余弦定理).在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边为 a,b,c，有a2=b2+c2 2bccosA,b2=a2+c2 2accos B,c2=a2+b2 2abcosC.定理 4.3(射影定理).已知 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，则有a=bcosC+ccos B,b=ccosA+acosC,c=bcosA+acos B.定理 4.4(三角形面积公式).S=12absinC=12acsin B=12bcsinA=abc4R,S=12(a+b+c)r,其中 r 为三角形的内切圆半径定理 4.5(三角形内角恒等式).sin2A=2+2cosA,cos2A=1 2cosA.sinA=4cosA2,cosA=4sinA2+1.sin2A=4sinA,cos2A=1 4cosA.tanA=tanA,tanA2tanB2=1.质心教育 http:/ 4 章.三角函数 2ZMOW110 高中数学联赛基础K 4.2经典例题例 4.1.在锐角 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若b2accos2BcosA cosC,求 B 的取值范围.例 4.2.已知 G 是 ABC 的重心,且 AG BG,1tanA+1tan B=tanC,求实数 =.例 4.3.ABCD 为圆内接四边形,BC=CD=2.I 为三角形 ABD 的内心.若 AI=2,求对角线BD 的最小值?22质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 4 章.三角函数 2例 4.4.ABC 为直角三角形,A=90.设 D 为 AB 中点,E 为线段 AC 上一点满足 AD=AE.BE交 CD 于 F.若 BFC=135,求 BC/AB.例 4.5.凸五边形 ABCDE 满足 AB=BC,CD=DE,ABC=150,BCD=165,CDE=30,BD=6.求凸五边形的面积.例 4.6.三角形 ABC 边长 AB=4,BC=6,AC=5.O 为三角形 ABC 外心.圆 与 AOB,AOC,BOC外切且将三个圆包于内部.求圆 的直径.质心教育 http:/ 4 章.三角函数 2ZMOW110 高中数学联赛基础例 4.7.关于 x 的方程 sin2x+acos x 2a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是什么?例 4.8.已知sin+sin+sin=3cos+cos+cos=2cos2+cos2+cos2=1，求 sin2+sin2+sin2 和 tan(+)例 4.9.已知正数列 an的前 n 项和为 Sn，且 4n anSn=1，a1=12则数列的通项公式为24质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 4 章.三角函数 2例 4.10.sin2sin4sin6sin90=p5/250,p 为整数,求 p 的值.质心教育 http:/ 5 章.数列 12ZMOW110 高中数学联赛基础第 5 章数列 12K 5.1数列的通项与求和例 5.1.1 22+2 32+3 42+.+19 202=.例 5.2.设 f(n)为最接近4n 的整数,则2018k=11f(k)=.例 5.3.计算:2019k=1k?2019k 2009k?.其中 x 表示不超过 x 的最大整数.26质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 5 章.数列 12例 5.4.设数列 an 满足 a1=5,a2=13,an+2=a2n+1+6nan(n N),则.Aan+2=5an+1 6anBan都是整数Can 4nDan 中与 2015 最接近的项是 a7例 5.5.已知数列 an 满足 a1=1,a2=9,且 nan+2 6(n+1)an+1+9(n+2)an=0,求 an 的通项公式质心教育 http:/ 5 章.数列 12ZMOW110 高中数学联赛基础例 5.6.已知数列 xn 和 yn 满足 x0=5,y0=2,以及xn+1=72xn+6yn,yn+1=3xn+5yn.求 limnxn以及 limnyn例 5.7.已知 a1=1,b1=1,an+1=anbn+1,bn+1=bn14a2n,求数列 an 和 bn 的通项公式28质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 5 章.数列 12例 5.8.已知数列 an 满足:a1=1,an+1=18a2n+m(n N),若对任意正整数 n,都有 an 1.试求|x1+x2+x2006|的最小值.数列 xn 满足 x0=0，|xk|=|xk1+3|,k 1.试求|x1+x2+x2006|的最小值。质心教育 http:/ 5 章.数列 12ZMOW110 高中数学联赛基础K 5.2数列综合问题例 5.10.已知ak=2k32k+1,k N,Sn=a1+a2+an,Tn=a1a2an.求S9T9的值30质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 5 章.数列 12例 5.11.已知在数列 an 中,a1=2,ap+aq=ap+q(p,q N)1.求数列 an 的通项公式;2.若数列 bn 满足 b1=1,bn+1=an2bn,求证:1b1+1b2+.+1bnp2an 1.质心教育 http:/ 5 章.数列 12ZMOW110 高中数学联赛基础例 5.12.设数列 an 满足 an+1=a2n an+1(n N),Sn为数列 an 的前 n 项和证明:1.当 a1 0,1 时,an 0,1;2.当 a1 1 时,an(a1 1)an11;3.当 a1=12时,n?2n36 Sn6 n 1+12n32质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 5 章.数列 12例 5.13.将 2n(n 2)个不同整数分成两组 a1,a2,an;b1,b2,bn证明:16i6n,16j6n|ai bi|16i n.质心教育 http:/ 6 章.不等式 1ZMOW110 高中数学联赛基础第 6 章不等式 1K 6.1知识梳理推论 6.1.一元二次不等式 ax2+bx+c 0 的解集是对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在 x 轴上方的部分解一元二次不等式 ax2+bx+c 0 的一般步骤为：先将二次项系数 a 化为正数（为了减少失误，非必须步骤）；计算一元二次方程对应的判别式 =b2 4ac：当判别式 0 时，考虑对左边进行十字相乘（优先）或求根公式求得零点；结合草图得到解集推论 6.2(解分式不等式).只含有一个未知数，且分母含有未知数的不等式称为分式不等式分式不等式的求解思路通常是先移项再通分后,将分母变成一个因式,再转化为同解的整式不等式去求解,但要注意分母不为零的限制条件推论 6.3(解含有绝对值的不等式).含有绝对值不等式是指绝对值中含有未知数的不等式,解题的关键是去绝对值符号,去绝对值符号的通常方法有分段讨论（按照绝对值中代数式的零点进行分段）、平方后去绝对值,有时我们会借助绝对值的几何意义去绕开绝对值含有绝对值不等式的常用转化|f(x)|g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)|f2(x)g2(x)34质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 6 章.不等式 1K 6.2经典例题例 6.1.解不等式4x2(1 1+2x)2 02x2+(5+2k)x+5k 0的整数解只有 2,求实数 k 的取值范围.例 6.5.若对一切 x 1,1,有|ax2+bx+c|1.证明 x 1,1 时,有|cx2+bx+a|2例 6.6.满足 k xk(a1b1+a2b2+anbn)2,也可简写为?ni=1a2i?ni=1b2i?ni=1(aibi)2,其中等号成立的条件是 ai=bi(i=1,2,n),是一个常数定理 7.4(排序不等式).若 a1 a2 an，b1 b2 0 且 a1+a2+an=1，求证：11+a1+11+a1+a2+11+a1+a2+an 0,求证:a2 bdb+2c+d+b2 cac+2d+a+c2 dbd+2a+b+d2 aca+2b+c 0例 7.6.三角形 ABC 为边长 AB=5,BC=4,AC=3.P 和 Q 为三角形内的正方形且底边均在AB 上,P 有一个顶点位于边 AC,Q 有一个顶点位于 BC.求两个正方形面积和的最小值.40质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 7 章.不等式 2例 7.7.已知 a,b,c 0,求证：a2b(b c)a+b+b2c(c a)b+c+c2a(a b)c+a 0例 7.8.设正实数 a,b,c 满足 abc=1求证：1a+b+1+1b+c+1+1c+a+16 1例 7.9.设 x,y,z 0,求证：18(x+y)(y+z)(z+x)13(x+y+z)(xyz)23质心教育 http:/ 8 章.平面向量及应用ZMOW110 高中数学联赛基础第 8 章平面向量及应用K 8.1向量的运算例 8.1.若向量 a,e,?e?=1,对任意 t R,?a t e?a e?成立,则 a e=例 8.2.设向量 i,j 是一组单位正交基底,则向量 a=i+2j 在向量b=3i+4j 上的投影(a)b=例 8.3.若?2 a b?6 3,则 a b 的最小值是42质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 8 章.平面向量及应用例 8.4.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a b=12,e 为单位向量,则|a e|+|b e|的取值范围是例 8.5.已知向量?a?=?b?=2,?c?=1,?c a?c b?=0,则 a b 的取值范围是例 8.6.设向量 a1=(1,5),a2=(4,1),a3=(2,1).1,2,3都是非负实数,且1+22+33=1,则?1 a1+2 a2+3 a3?的最小值为质心教育 http:/ 8 章.平面向量及应用ZMOW110 高中数学联赛基础K 8.2向量的分解例 8.7.已知 O 是 ABC 的外心,且 3 OA+4 OB+5 OC=0,求 cosBAC 的值例 8.8.已知 O 为 ABC 的外心,AB=2a,AC=2a,BAC=120,若 AO=AB+AC,则+的最小值是44质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 8 章.平面向量及应用例 8.9.已知扇形 AOB 的圆心角为 120,P 为弧 AB 上一点.OP=x OA+y OBx+y 的取值范围是例 8.10.在 ABC 中,AB=2,AC=3,角 A 的平分线 AD 与 AB 边上的中线 CM 的交点为O,若 AO=x AB+y AC,则 x+y=质心教育 http:/ 9 章.立体几何与空间向量ZMOW110 高中数学联赛基础第 9 章立体几何与空间向量K 9.1空间中的位置关系例 9.1.正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别为棱 DD1,AB 上的点下列判断中正确判断的有.AA1C 平面 B1EFBB1EF 在侧面 BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形C在平面 A1B1C1D1内总存在与平面 B1EF 平行的直线D平面 B1EF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与点 E 的位置有关,与点 F的位置无关例 9.2.在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点现将 AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD 平面 ABC.在平面 ABD 内过点 D 作DK AB,K 为垂足设 AK=t,则 t 的取值范围是例 9.3.已知 m,n 是异面垂直且距离为 d 的两条直线,长度为 l 的线段 PQ 的端点 P,Q 分别在直线 m,n 上滑动,求线段 PQ 中点 M 的轨迹46质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 9 章.立体几何与空间向量K 9.2距离与角度例 9.4.已知长方体 ABCD A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c,则点 A 到平面 A1BD的距离为,异面直线 A1D 与 B1D1之间的距离为例 9.5.正方体 ABCD A1B1C1D1中,二面角 A BD1 A1的度数是质心教育 http:/ 9 章.立体几何与空间向量ZMOW110 高中数学联赛基础K 9.3空间向量的应用例 9.6.一个正四面体的四个顶点到同一平面的距离分别为 0,1,2,3,求正四面体的棱长48质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 9 章.立体几何与空间向量K 9.4截面与投影例 9.7.证明:正方体的三角形截面一定是锐角三角形.例 9.8.用一个平面去截正四面体,使它成为形状,大小都相同的两个几何体,则这样的平面个数为.A6B7C10D无数例 9.9.四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,E,F 分别为 CD,PB 的中点,在线段PC 上是否存在一点 Q,使 A,E,Q,F 四点共面?若存在,求出PQQC质心教育 http:/ 9 章.立体几何与空间向量ZMOW110 高中数学联赛基础例 9.10.作平面 与正方体 ABCD ABCD的对角线 AC垂直,使得 与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则.A.S 和 l 均为定值B.S 为定值,l 不为定值C.S 不为定值,l 为定值D.S 和 l 均不为定值例 9.11.在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 的对角线 BD 在平面 内,则当正方体绕着 BD 旋转的过程中,正方体在平面 内的投影面积 S 的取值范围是50质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 9 章.立体几何与空间向量K 9.5几何体例 9.12.在四面体 ABCD 中,AB=CD=5,AC=BD=34,AD=BC=41,则 ABCD 外接球的表面积是例 9.13.设有一个棱长为 1 的正方体,有两个球内切于该正方体,这两个球与相切,则两球体积之和最大时,半径分别为质心教育 http:/ 9 章.立体几何与空间向量ZMOW110 高中数学联赛基础例 9.14.点 M 是棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱切球上的一点,点 N 是 ACB1的外接圆上的一点,则线段 MN 的取值范围是例 9.15.已知正三角形 ABC 的边长为 6,M,N 分别为 AB,AC 的中点,将 AMN 沿 MN 折起,当四棱锥 A MNCB 体积最大时,四棱锥 A MNCB 的外接球的体积为52质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 9 章.立体几何与空间向量例 9.16.一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个小正四面体,若小正四面体可以在纸盒内任意转动,则小正四面体棱长的最大值为质心教育 http:/ 10 章.解析几何综合ZMOW110 高中数学联赛基础第 10 章解析几何综合K 10.1知识梳理定义 10.1(直线).如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做直线的方程，这条直线叫做方程的直线定义 10.2(直线的方向向量).直线由直线上的两个点 A(x1,y1)，B(x2,y2)确定与向量 AB共线的非零向量称为直线的方向向量，例如(x1 x2,y1 y2)就是直线 AB 的一个方向向量与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量定义 10.3(圆).平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径定义 10.4(椭圆).平面上到两个定点 F1,F2的距离之和等于定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹称为椭圆，其中 F1,F2称为椭圆的焦点F1F2的距离称为椭圆的焦距.定义 10.5(双曲线).平面上到两个定点 F1和 F2的距离之差为定长 2a(2a|F1F2|)的的点的轨迹为双曲线.F1和 F2为双曲线的两个焦点.定义 10.6(抛物线).平面上到定点 F 与定直线 l(F 0)内一定点,过 E 作斜率分别为 k1,k2的两条直线,与抛物线交于 A,B,C,D.M,N 分别为线段 AB,CD 的中点.(1)当 n=0 且 k1k2=1 时,求 EMN 面积的最小值;(2)若 k1+k2=,0,证明:直线 MN 过定点.质心教育 http:/ 11 章.计数与概率ZMOW110 高中数学联赛基础第 11 章计数与概率K 11.1知识梳理定义 11.1(加法原理).如果做一件事,完成它有 m 类不同的方法,在第一类方法中有 n1种不同的方法,在第二类方法中有 n2中不同的方法.在第 m 类中有 nm种不同的方法,那么完成这件事一共有 n1+n2+nm种不同的方法.定义 11.2(乘法原理).如果做一件事,完成它有 m 个步骤,做第一步有 n1种不同的方法,做第二部有 n2中不同的方法.做第 m 步有 nm种不同的方法,那么完成这件事一共有n1n2nm种不同的方法.定义 11.3(排列数).从 n 个不同的元素中取出 m(m n)个不同元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.因为这个排列中无重复元素,故又叫作无重复的排列.从 n 个不同的元素中取出 m(m n)个不同元素的排列个数记为 Amn或Pmn定义 11.4(组合数).从 n 个不同的元素中取出 m(m n)个不同元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.因为这个组合中无重复元素,故又叫作无重复的组合.从 n 个不同的元素中取出 m(m n)个不同元素的组合的个数记为 Cmn定理 11.1(容斥原理).设 A1,A2,An为有限结合,用|Ai|表示集合 Ai中的元素个数,那么|A1A2An|=ni=1|Ai|1ijn|AiAj|+1ijkn|AiAjAj|+(1)n1|A1A2An|定义 11.5(古典概型).若一个试验满足有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的样本点;等可能性:每个样本点发生的可能性是均等的我们称这样的试验为古典概型.定义 11.6(概率的古典定义).对于古典概型，如果样本空间中样本点的总数为 n,随机事件A 包含的样本点个数为 m，其中 m,n N，则P(A)=mn.这一定义称为概率的古典定义58质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 11 章.计数与概率定义 11.7(几何概型).若将事件 A 理解为区域（样本空间）的某一子区域 A,A 的概率只与子区域 A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，则称这样的试验为几何概型在几何概型中，事件 A 的概率定义为P(A)=A,其中 表示区域 的几何度量，A表示子区域 A 的几何度量定义 11.8(离散型随机变量的数学期望).一般地,设一个离散型随机变量 X 所有可能的值是x1,x2,xn,这些值对应的概率是 p1,p2,pn,则E(X)=x1p1+x2p2+xnpn叫做这个离散型随机变量 X 的均值或数学期望（简称期望）K 11.2经典例题例 11.1.从 9 个人中选出一个 5 个人的委员会.但是 9 个人中的 A 和 B 不能一起入选,C 和D 要么一起入选,要么都不入选.求委员会的选法个数.例 11.2.4 个红珠子和 8 个蓝珠子随机穿成一条项链,没有红珠子相邻的概率是多少?质心教育 http:/ 11 章.计数与概率ZMOW110 高中数学联赛基础例 11.3.集合 S 为满足 i+j+k=17 的三元数组(i,j,k)的集合.计算(i,j,k)Sijk例 11.4.设 a,b,c 是 0,1 上的随机数,求 a,b,c 是某个三角形三边的长度的概率例 11.5.在平面直角坐标系上,A 从(0,0)点走到(5,1)点.A 会经过集合 S=(i,j)|0 i 1,0 j 5,i,j Z 中的每一个点.在两点之间行走时会沿两点的连线进行.若 A 不会让自己的行进路线相交,共有多少种不同的走法?60质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 11 章.计数与概率例 11.6.数独游戏是一个很有意思的智力游戏.若果我们已知第一行第一列的数字为 1,第二行第二列的数字为 2;则第三行第四列的数字为 3 的概率为多少?例 11.7.在一个无限大的国际象棋棋盘上,国王初始位于(0,0)的格子上.国王的每次行动有0.1 的概率去往任意直线相邻的格子,0.05 的概率去往对角线相邻的点,0.4 的概率原地不动.求 2020 轮后,国王两个坐标均为偶数的概率?例 11.8.某常染色体遗传病，基因型为 AA 的人都患病，Aa 的人有患病，aa 的人都正常一对新婚夫妇中女性正常，她的母亲患病且基因型为 Aa，她的父亲和丈夫的家族中均无该病患者，请推测这对夫妇的子女患该病的概率.质心教育 http:/ 12 章.杂题选讲ZMOW110 高中数学联赛基础第 12 章杂题选讲例 12.1.化简:101011.11|z 20110101110011.11|z 20110011例 12.2.满足 x1+2x2+3x3+.+2019x2019且能被 2109 整除的 2019 元数组(x1,x2,.,x2019)有组.其中 x1,x2,.,x2019 0,1,2,.,2018.例 12.3.将 1,2,4n 分成 n 组,每组 4 个数,满足每组中有一个数是另三个数的算术平均数,求所有可能的正整数 n62质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 12 章.杂题选讲例 12.4.1993 年,美国数学家 FSmarandache 提出许多数论问题,其中之一便是著名的Smarandache 函数.正整数 n 的 Smarandache 函数定义为 S(n)=minm|m N+,n|m!,比如:S(2)=2,S(3)=3,S(6)=31.求 S(16)和 S(2016)的值;2.若 S(n)=7,求正整数 n 的最大值;3.证明:存在无穷多个合数 n,使得 S(n)=p,其中 p 为 n 的最大质因数质心教育 http:/ 12 章.杂题选讲ZMOW110 高中数学联赛基础例 12.5.20 个巫师孤岛聚会.在这期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师.证明:其中必存在某个巫师,他至少受到过其他九个巫师的诅咒例 12.6.30 个人排成矩形,身高各不相同把每列最矮的人选出,这些人的身高中最高的设为 a;把每行最高的人选出,这些人的身高中最矮的设为 b1.a 是否有可能比 b 高?2.a 和 b 是否可能相等?64质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 12 章.杂题选讲例 12.7.设 x1,x2,x100 1,1,求证:存在 i,j 使得|xixj+1 xjxi+1|112质心教育 http:/ 12 章.杂题选讲ZMOW110 高中数学联赛基础例 12.8.已知函数f(x)=1+x x22+x33x44+.+x20172017,函数g(x)=1 x+x22x33+x44+.x20172017.设 F(x)=f(x+3)g(x 3),且函数 F(x)的零点在区间 a,b(a b,a,b Z)内,则 ba 的最小值为例 12.9.在复数范围内解方程:x4+2x3+2x2+2x+1=0.66质心教育 http:/ 高中数学联赛基础第 12 章.杂题选讲例 12.10.多项式 P(x)=x2007+17x2006+1 的零点为 r1,r2,.,r2007.一个次数为 2007 的多项式 Q(x)满足 Q(rj+1rj)=0,j=1,.,2007.求Q(1)Q(1)例 12.11.设 1,1,.,10是 x11 1 的复根.存在唯一的多项式 f(x)=x10+c9x9+.+c1x,满足 ci是整数,f(0)=f(1)=0,且对任意的 1 6 i 6 10,我们有(f(i)2=11.则|c1+2c2c9+3c3c8+4c4c7+5c5c6|=.质心教育 http:/ 12 章.杂题选讲ZMOW110 高中数学联赛基础例 12.12.函数 f(x)的定义域为(0,1),且f(x)=x,x 0)的两个根,其中 p 0.令 y1=pq,yn+1=y2n 2,n=1,2,.证明:limn+?1y1+1y1y2+.+1y1y2.yn?=p.68质心教育 http