2010D：学生宿舍设计方案的评价【公众号：数模加油站】.pdf

2010201020102010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：D我们的电子文件名：所属学校（请填写完整的全名）：泸州职业技术学院参赛队员(打印并签名)：1.庞梅2.叶超3.张德煜指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：邓敏英日期：2010年 9 月13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576572010201020102010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576571学生宿舍设计方案的评价摘要随着高等教育改革,高校合并,扩大招生,后勤社会化改革等一系列高校发展措施的实施,加强高校学生宿舍的建设已成为一项重要的任务。但是,我国传统的学生宿舍建设水平较低,设计师在进行创作的过程中可以凭借的理论资料较少,这一切使高校学生宿舍的研究显得十分迫切和重要。为了保障学生的经济性方面、舒适性方面和安全性方面和学院的经济效益综合考虑。对此，采用定性与定量相结合的层次分析法对学生宿舍设计方案的评价进行分析，本文给出了它的原理、思想和评价步骤，并进行了算法比较。并用改进层次分析法确定各评价指标的权重，最终得出最好建设方案。采用定性与定量相结合的层次分析法(AHP)对学生宿舍设计方案进行分析，并从经济性、舒适性和安全性方面等因素建立模型。建立各个层次的判断矩阵，通过MATLAB软件计算各个方面的总权重值并进行排序，从而判断出哪个因素是我们考虑的重点，进而抉择出哪种方案最好,最终得出第二种方案最好。从实例中得到的结论与实际相符，并且数学模型简单，容易掌握，是切实可行的、易接受的、也便于推广。实例证明：论文所建立的学生宿舍设计方案评价方法是先进的，该模型和算法具有严密的逻辑推理和数学依据，为学生宿舍设计方案评价提供了一个新的方法。关键词：层次分析法关键词：层次分析法MATLABMATLABMATLABMATLAB 计算法判断矩阵量化数据计算法判断矩阵量化数据获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576572一、问题重述一、问题重述一、问题重述一、问题重述随着社会的发展教育越来越重要，学生的数量越来越多，学生的生活成为了我们比较观注的问题。学生宿舍事关学生在校期间的生活品质,直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理,同时要考虑成本和收费的平衡,这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。安全性：人员疏散和防盗等。附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。二、问题分析二、问题分析二、问题分析二、问题分析本文首先从目前高校学生宿舍的建设情况出发,参阅了多种理论著作。然后,通过对高校学生进行实地走访和问卷调查,了解到目前高校学生宿舍在使用上的一些不合理现象。接着,结合调查分析指出影响宿舍设计的主要因素,提出“以人为本”的设计原则。从学生的经济性、舒适性和安全性各方面因素考虑，也要从学院的投资、收益上来考虑，本问题的定量数据不多，但问题包含的因素及其关系具体而明确。我们运用层次分析法，两两比较列出成对比较矩阵，进而求出相应的最大特征值和权向量。并进行层次单排序、组合总排序及其一致性检验，得出最佳方案。获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576573三、问题的假设：三、问题的假设：三、问题的假设：三、问题的假设：1、假设每个设计方案建设成本的单价一致；2、假设各宿舍公共设施一致；3、假设每平方米的消耗（运行成本）一致；4、假设每个平方米的收费标准一致；5、假设城市的区位、文化习俗的差异不大；6、假设每套方案的建筑楼层的使用年限是一致的；7、假设每个地域的光照强度和风的动力因素相差不大；8、假设每个地域的治安条件相差不大；9、假设每个地域的自然灾害因素的发生几率是一致的；10、假设每个寝室与寝室之间互不干扰。四、符号说明：四、符号说明：四、符号说明：四、符号说明：A:表示准则层 A 对目标层 O 的成对比较矩阵；iA:表示子准则层 B 对于准则层 A 的成对比较矩阵；i=1,2,3iB:表示方案层 C 对子准则层 B 的成对比较矩阵；i=1,2.9ij:表示每个矩阵的最大特征值；ijCI:表示各一致性指标；ijRI：表示各随机一致性指标；ijCR:表示各随机一致性比率；jB：表示子准则层的各个因素；jA：表示准则层各个因素；ij：表示未归一化的权向量；ij：表示归一化后的权向量；n表示 A 层对目标所建立矩阵的阶数；1n表示经济性方面的子准则层因素对经济性的对比矩阵的阶数；2n表示舒适性方面的子准则层因素对舒适性的对比矩阵的阶数；3n表示安全性方面的子准则层因素对安全性的对比矩阵的阶数。获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576574五、模型的建立与分析：五、模型的建立与分析：五、模型的建立与分析：五、模型的建立与分析：运用层次分析法分析、解决学生宿舍设计方案的评价。层次分析法是一种定性与定量相结合的系统分析法，根据问题的总目标，以系统化的观点，把问题分解成若干因素，并按其支配关系构成递阶层次结构模型，然后运用两两比较的方法确定决策方案的重要性，从而获得满意的决策。5.1 构造层次结构图：将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图如下：学生宿舍评价设计方案经济性安全性舒适性建设成本运行成本收费标准使用方便人均面积互不干扰采光和透风人员疏散防盗方案一方案二方案三方案四目标层 O准则层A方案层 C子准则层B5.2 构造成对比较矩阵在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不易被别人接受，因而我们采用了 Santy 等人提出的一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比；此时采用相对尺度，尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素ija用 Santy 的 19 标度方法给出。从层次结构的第二层开始，对于从属于上一层每一获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576575个因素的同一诸因素，用成对比法和 1-9 比较尺度构造成对比较阵，每次取两个因素iA和jA用ija表示iA和jA对目标的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵：=jiijnnijaaaA,0,)()1ija（i,j=1,2,3）比较子准则层各因素iB和jB（i=1,2,3,4,5,6,7,8,9;j=1,2,3,4）相对于准则层 A 的每个因素的重要性，构造成对比较矩阵：ijjijiijnnijijbbxxbbB1,0,)(=（i=1,2,3,4,5,6,7,8,9;j=1,2,3,4）比较准则层三个因素iA（i=1，2，3）对目标 O 的影响。采用两两成对比较，用ija表示因素iA与因素jA对目标 O 的影响程度之比。通常用 1-9 及其倒数作为程度比较标准，即九级标度法：标度含义1表示两个因素相比，具有同样重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2、4、6、8上述两相邻判断的中值倒数因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aijA 层对目标层：=13/15/1313/1531AB 层对 A 层：获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576576=14/124132/13/111A=12/12/12/1212122/112212/112A=133/113AC 层对 B 层的对比矩阵：=112/12111521132/15/13/111B=122/132/113/1323143/13/14/112B=12/12/13213/1223153/12/15/113B=12552/11245/12/1135/14/13/114B=122/152/113/1323145/13/14/115B=123/132/113/1233133/12/13/116B=12/13/15/12122/132/113/152317B=12532/11325/13/112/13/12/1218B=1233/12/112/14/13/1213/134319B1B：表示方案层对建设成本的成对比较矩阵，是根据四个方案中的建筑总面积以及公用设施等来进行量化的；2B：表示方案层对运行成本的成对比较矩阵，是根据四个方案中的房间数量，每一个房间所住的人数来进行量化；3B：表示方案层对收费标准的成对比较矩阵，是根据四个方案中的每一个房间所住的人数，以及楼层的公用设施的多少与方便来进行量化；4B：表示方案层对人均面积的成对比较矩阵，是根据四个方案中的每一个人占有的人均面积多少来进行量化；5B：表示方案层对使用方便的成对比较矩阵是根据四个方案中宿舍房间内部是否自带卫生间和沐浴室等等情况来进行量化；6B：表示方案层对互不干扰的成对比较矩阵，是根据四个方案中的宿舍内设计是否是双层中间加一走廊的形式，或者是否是单一排面的形式来进行量化；获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765777B表示方案层对采光和通风的成对比较矩阵，是根据四个方案中的楼层是否向风，是否是单一排面等因素来进行量化；8B表示方案层对人口疏散的成对比较矩阵，是根据四个方案中的楼梯通道以及走廊的人均面积来进行量化；9B表示方案层对防盗的成对比较矩阵，是根据四个方案中的每个寝室的门窗质量和寝室是否设计有门窗等一系列因素来量化。以上的成对比较矩阵的计算过程见附录表5.3 计算权向量并做一致性检验对于每一个成对矩阵，计算最大特征根及对应特征向量ij，利用一致性指标1=nnCI，随机一致性指标RI和一致性比例1.0=RICICR作一致性检验。（CI=0，有完全的一致性；CI接近于 0，有满意的一致性；CI越大，不一致越严重）若通过一致性检验，特征向量归一化后即为权向量；若通不过，需重新构造成对比较矩阵。对矩阵A用 matlab 求得最大特征根：,0385.3max=未归化的权向量：)150.0,372.0,916.0(1=归化后的权向量为：)022.0,138.0,839.0(1=A的一致性指标：0193.01330385.31max=nnCIA，表明A有满意的一致性。为了确定A的不一致程度的容许范围，我们引入了随机一致性指标RI如表所示：n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.51表中3=n时，58.0=RI这时的一致性比率,1.00336.058.00193.0=AAARICICR表明判断矩阵A有满意的一致性，各个分量作为相应的各个因素的权重值是合理的，可以用1作为其权向量。获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576578用上述的方法，同理可得其他判断矩阵的最大特征根、权向量、一致性指标、随机一致性指标、一致性比率，如下表所示：判断矩阵最大特征值归化后权向量（ij）CIRICICRA3.0385)0127.0,1380.0,8393.0(0.01950.58000.03361A3.1078),2499.0,6469.0,1032.0(0.05390.58000.09302A4.1855)0399.0,4609.0,2794.0,2198.0(0.06170.90000.06863A2)9000.0,1000.0(0.00000.00000.00001B4.1053)1718.0,3756.0,4089.0,0436.0(0.03510.90000.03902B4.0875)2826.0,0674.0,6311.0,0189.0(0.02910.90000.03243B4.1587)0987.0,1588.0,6935.0,0490.0(0.05290.90000.05884B4.1046)7124.0,2198.0,0546.0,0132.0(0.03490.90000.03875B4.1032)2907.0,0945.0,5961.0,0187.0(0.03440.90000.03826B4.1431)1649.0,1276.0,6881.0,0194.0(0.04770.90000.05307B4.1074)0022.0,3445.0,0750.0,5782.0(0.03580.90000.03988B4.0145)6813.0,2307.0,0280.0,0600.0(0.00480.90000.05309B4.1431)1649.0,1276.0,6881.0,0194.0(0.04770.90000.0530表中数据显示,1.0=ijijijRICICRi,j=1,2,.,9 说明各判断矩阵有完全的一致性，通过检验，可按照总排序权向量表示的结果进行决策。5.4 层次总排序及其一致性检验5.4.1B 层对目标层的总排序及其组合一致性检验B 层对目标层组合权向量：AXB=获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576579其中T)0,0,0,0,0,0,2499.0,6469.0,1032.0(21=T)0,0,0399.0,4609.0,2794.0,2198.0,0,0,0(22=T)9000.0,1000.0,0,0,0,0,0,0,0(23=TA)0127.0,1380.0,8393.0(=),(232221=XTB)0114.0,0013.0,0055.0,0636.0,0386.0,0303.0,2097.0,5429.0,0866.0(=B 层对目标层的组合一致性检验：利用总排序的一致性比率：=31CR399388377366355344333322311399388377366355344333322311RIaRIaRIaRIaRIaRIaRIaRIaRIaCIaCIaCIaCIaCIaCIaCIaCIaCIa+第三层通过组合一致性检验的条件1.00400.031=CR；故第三层的组合一致性通过检验。5.4.2方案层对目标层的总排序方案层对目标层的总排序方案层对目标层的组合权向量：BYC=其中)0194.0,0600.0,5782.0,0194.0,0187.0,0132.0,0490.0,0189.0,0436.0(31=)6881.0,0280.0,0750.0,6881.0,5961.0,0546.0,6935.0,6331.0,4089.0(32=)1276.0,2307.0,3445.0,1276.0,0945.0,2198.0,1588.0,0674.0,3756.0(33=)1649.0,6813.0,0022.0,1649.0,2907.0,7124.0,0987.0,2826.0,1718.0(34=TC)2351.0,1245.0,6013.0,0301.0(=方案层对目标层的组合一致性检验：利用总排序的一致性比率：=41CR444433422411444433422411RIbRIbRIbRIbCIbCIbCIbCIb+第四层通过组合一致性检验的条件为=41CR=0.0452 eig(A)ans=3.0385-0.0193+0.3415i-0.0193-0.3415i v d=eig(A)v=0.91610.91610.91610.3715-0.1857+0.3217i-0.1857-0.3217i0.1506-0.0753-0.1304i-0.0753+0.1304id=3.0385000-0.0193+0.3415i000-0.0193-0.3415i v/sum(v)ans=0.83930.13800.0227 A1=1 1/3 1/2;3 1 4;2 1/4 1A1=1.00000.33330.5000获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657133.00001.00004.00002.00000.25001.0000 eig(A1)ans=3.1078-0.0539+0.5764i-0.0539-0.5764i v d=eig(A1)v=0.2215-0.1107-0.1918i-0.1107+0.1918i0.92140.92140.92140.3194-0.1597+0.2766i-0.1597-0.2766id=3.1078000-0.0539+0.5764i000-0.0539-0.5764i v/sum(v)ans=0.04910.84890.1020 A2=1 1/2 1 2;2 1 1/2 2;1 2 1 2;1/2 1/2 1/2 1A2=1.00000.50001.00002.00002.00001.00000.50002.00001.00002.00001.00002.00000.50000.50000.50001.0000 eig(A2)获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765714ans=4.1855-0.0928+0.8763i-0.0928-0.8763i-0.0000 v d=eig(A2)v=Columns 1 through 30.4538-0.2941-0.3021i-0.2941+0.3021i0.5502-0.2364+0.5476i-0.2364-0.5476i0.65100.67530.67530.25980.0145-0.1007i0.0145+0.1007iColumn 4-0.37140-0.74280.5571d=Columns 1 through 34.1855000-0.0928+0.8763i000-0.0928-0.8763i000Column 4000-0.0000 v/sum(v)获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765715ans=0.21980.27940.46090.0399+0.0000i A3=1 1/3;3 1A3=1.00000.33333.00001.0000 eig(A3)ans=20 v d=eig(A3)v=0.3162-0.31620.94870.9487d=2000 v/sum(v)ans=0.10000.9000 B1=1 1/3 1/5 1/2;3 1 1 2;5 1 1 1;2 1/2 1 1获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765716B1=1.00000.33330.20000.50003.00001.00001.00002.00005.00001.00001.00001.00002.00000.50001.00001.0000 eig(B1)ans=4.1053-0.0243+0.6549i-0.0243-0.6549i-0.0567 v d=eig(B1)v=Columns 1 through 30.17570.0311-0.1576i0.0311+0.1576i0.63860.4557-0.1430i0.4557+0.1430i0.6227-0.7207-0.72070.41650.1272+0.4588i0.1272-0.4588iColumn 40.1592-0.8869-0.24980.3546d=Columns 1 through 34.1053000-0.0243+0.6549i000-0.0243-0.6549i000获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765717Column 4000-0.0567 v/sum(v)ans=0.04360.4089-0.0000i0.37560.1718 B2=1 1/4 1/3 1/3;4 1 3 2;3 1/3 1 1/2;3 1/2 2 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