2008考研数一真题解析【公众号：考研兔】.pdf

2008年（数一)真题答案解析一、选择题(1)B解f(x)=ln(2+x2)2x=2xln(2+x2),又因为ln(2+x2)0，所以f(x)只有一个零点.(2)A11解由f:=y。y3y2y?由f5=y1十x2x2十y会传得f(0,1)=0.所以gradf(0,1)=1i+0j=i.(3)D解由y=C1e+C2cos2x十C3sin2x可知其特征根为1=1，2,3=士2i.故对应的特征方程为(入-1)(1+2)（-2i)=(入-1）（2+4），即A3一入2+4-4=0，所以所求微分方程为y-y+4y-4y=0.(4)B解若x.单调，则由f(x)在（一，十）内单调有界知，f(xm)单调有界，因此f(xn)收敛，(5)C解(E一A)(E十A十A2)=E一A3=E,(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E,所以E一A,E十A均可逆，(6)B星此三次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为-之1，所以A的正特的值个数为1.(7)A解设Z的分布函数为Fz(x),则Fz(x)=P(Zx)=PmaxX,Yx=PXx,Yx.=4r.(13)1解Aa1,a=Aa1,Aa=0,2a,十a:-aa:002记P=a1,a2,P可逆，故02P-AP=B,01A有B相同的特征值IAE-BI=入-2=（入-1），0-1入1.2=0,1，所以非零的特征值为1.(14)2解因为DX=EX一(EX)2,所以EX2=2,X服从参数为1的泊松分布，2e-1所以P(X=2)=2e三、解答题(15)解limsin x-sin(sin x)Jsinsin x-sin(sin x)=lingcos x-cos(sin x)cos x-limg3.x81-cos(sin x)=limY*03x22sin=lim 3x2x*06(16)解法-sin2xdx+2(x2-1)ydy=sin 2x+2(2-1)sin x.coszdz0=rsin 2rdr2 cos 2x+rcos 2xdz0sin 2xdx元22解法二取L1为x轴上从点（，0）到点(0,0)的一段，D是由L与L1围成的区域.sin 2xdx+2(x2-1)ydy=sin 2r dx+2(-1ydy-sin2xdx+2(x2一l)ydy=-4xydr dysin 2xda0了sinx=dz14xydy-2 cos 2x0=-【2xsim2xdk0=-x(1-cos 2x)dax2/xxsin 2xdx22(17)解点(x,y,z)到xOy面的距离为|z,故求C上距离xOy面最远点和最近点的坐标，等价于求函数H=z2在条件x2十y2一22=0与x十y十3z=5下的最大值点和最小值点.令L(x,y,z,，)=z2+1(x2+y2-2z2)十(x+y+3z-5),由L4=2x十u=0,L)=2Ay十a=0,L:=2x-4之+3=0，x2十y2-2z2=0,x+y+3z=5,得x=y,从而|2x2-2x2=0,2x+3z=5,解得x=-5,x=1,y=-5,或y=1,x=5,2=1.根据几何意义，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为（一5，一5,5）和(1,1,1).