2003A：非典数学模型的建立与分析(1)【公众号：数模加油站】.pdf

第 2 0 卷 第7 期 工 程 数 学 学 报 年 州 J OURNAI OF ENGI NE ERI NG MATHEMATI C S Vo 1 2 0 NO 7 D e c 2 0 0 3 文章编号：1 0 0 5 3 0 8 5(2 0 0 3)0 7 0 0 4 5 0 8 非典数学模型的建立与分析 王议锋，田 一，杨倩 指导老师：尚寿亭(哈尔滨工业大学，哈尔滨 1 5 0 0 0 1)编者按：这是一篇公布在h t t p：w w w h i t e d u c n h m c m 2 0 0 3 0 6 2 6 a 1 d o c 上的论文 完成于 2 0 0 3 年 6月 9 日。2 0 0 3 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛中，有些做 A题的队部分地引用了这篇论文，也发 现一些队明显地抄袭了它的结果，未将该文列人参考文献，也未在论文中指出，违反了他们自己签 名的保证书 全国组委会已进行了严肃、认真的处理。现在我们刊登该文，以供参考。由于篇幅的 限制，请作者进行了压缩和删节，简化了文字的叙述。摘要：本文以2 0 0 3 年 6 月以前的有关数据为资料，在传统的 S E I R传染病模型的基础上，对人群作了合 理的分类，建立了控制前传播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法 得到了各个参数。重点分析了控后模型，用龙格库塔法求解了方程，并对北京、内蒙古、广东、香 港四个S A R S重点疫区的疫情作了具体的分析，最后评价了模型的合理性、实用性，提出了模型的 改进方 向和思路。关键词：微分方程；概率平均；龙格一库塔方法；曲线拟合 分类号：A MS(2 0 0 0)3 4 B 0 8；4 1 A 2 0 中图分类号：0 2 4 1 8 1 文献标识码：A 1 问题的提出(略)2 数学模型的分析与建立 2 1 分析与假设 S A R S 爆发初期，政府和公众对其重视程度远远不够；当被感染者大幅度增加时，政府才开 始采取多种措施以控制S A R S的进一步蔓延。所以S A R S的传播可以分为三个阶段：a)黼，接近于自然传播时的传播模式。b)，在公众开始意识到 S A R S的严重性到政府采取得力措施前的一段时间内。c)励，后，在介入人为因素之后的传播模式。我们统一将所有地区的 S A R S传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来分析。1)总体假设 1 假设一个 S A R S康复者不会二度感染，他们已退出传染体系，因此将其归为“退出 者”。维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576574 6 工程数学学报 第 2 0 卷 2 不考虑这段时间内的自然出生率和死亡率由 S A RS引起的死亡人数，归为“退出者”。3 假设潜伏期为一常数 r：5天。n j 4 根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的 S AR S病人不具有传染性。2)控制前(包括控制力度不大的阶段)的传播模型的相关假设 1 直接接触。2 在疾病传播期内所考察的地区的总人数 N视为常数。3 设每个病人单位时间有效接触的人数可视为常数。4 流入和流出的人群 中的带菌者处于潜伏期。5 将人群分为四类：健康者(易受感染者)：用 s表示健康者在人群中的比例。处于潜伏期者：用 E表示他们在人群众的比率。病人(已受感染者)：用 I表示病人在人群中的比例。退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用 R表示退出者在人群 中的比例。3)控制后的传播模型的相关假设 1 由于对人口流动加以了限制，假设此阶段无病源的输入和输出 2 设每个病人单位时间有效接触的人数，可视为常数。3 在控制后阶段，因与非典传染源或疑似非典传染源接触而被隔离的人群视作健康者。这部分人在隔离期限过去后又重新进行正常的社会活动，相当于又进入了传染链中，故可将 他们作为健康者处理。4 考虑到采集到的数据，将人群分为五类：健康者(易受感染者)：用 s表示健康者在人群中的比例 病人(已受感染者)：用 I 表示病人在人群中的比例 退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用 R表示退出者在人群中的比例 自由带菌者：不可控的病毒携带者。用 M 来表示这部分人在人群中的比例 疑似者：所有被疑似为非典病 的非健康者。包括已出现有关症状但来确诊的被隔离者，未出现症状但已疑似带菌的被隔离者：用 l，表示疑似者在人群中所占比例 2 2 模型的建立 1)控前模型的建立 参数设定 1)每个病人平均每天有效接触(足以使被解除者感染)的人数。2)q 退出率，为S A R S 患者的日死亡率和日治愈率之和。3)(流入)流出人口占本地总人 口的比率。4)处于潜伏期的病人的日发病率。5)流入人 口中带菌者所占的比例。控前方程的建立 根据变量的分析 l，结合实际的疫情的传播规律，可以建立如下的方程组(I)：维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657第 7期 非典数学模型的建立与分析 4 7 方程组(I)萼=I S 訾=E+lE 一E 警=q So 0，Eo 0，I o 0，R0 0 参数的确定 1)根据医学资料和有关数据推导而得。2)q 由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。3)卜一由经济发达程度和交通状况决定。4)e 根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。5)由流人该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。2)控后模型的建立 补充参数设定 1)Y 疑似中每日被排除人数占疑似人数的比例；2)Y 2 疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例；3)e 每个自由带菌者转化为病人的日转化率；4)：l 2 每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数；5)a 被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率。6)接触病源的人的发病率 控后方程的建立 经分析得到如下的方程组(I I)方程组(I I)=。MS d I=e M q，+2 y 警=q 一 M Sa =2 MS(1 一e M(1)(2)(3)(4)(初值)(5)(6)(7)(8)(9)(初值)此模型的优点：(1)明确了疑似者所指的范围；(2)可从现有数据中分析出所需的参数 和变量初值；(3)将 2 定义为“有效接触人数”既有利于数据的分析也可减少未知参数的数 量。参数的确定 以北京为例来说明参数分析方法。维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657工程数学学报 第 2 0卷 a)Y l 疑似者的日排除比例：计 算 公 式：=鞍 首先根据卫生部“每 日疫情公布”所公布的数据求出相应的Y 1，用 Ma t la b 画图，如下图1 所示：I=!J r 的概 率毋 市田 、：_ ：图 l 北京地 区S A R S疑似者的日排除比率 y 1 分布 图 2 用 c u b ic 拟合 y l 初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图 2 所示(光滑的线为 c u b i c 拟合曲线)。可以看出 v 有两个峰值，第一个峰值是 由于政府措施很得力，加之强化控制初期市民 的恐慌心理，导致疑似病例中非感染者所占比例升高；第二个峰值则是由于大部分带病的疑 似者转化为确诊后，实际未带菌的疑似者相对比例增大造成的。三阶拟合一定程度上反映了y 1 的变化规律，但经分析发现：如果用原始图来分析误差 就会特别大，不妨去除几个偏离太大的点，得到图3，其中。平直的线为l i n e a r 拟合直线。图 3 经 处理后 的 l的图像 以及 l in e a r 拟合 曲线 图 4 l的威布 尔分 布 图 现用威布尔分布 观察一下处理后的 Y l 的值的分布情况，如图4 所示。可见 l 主要分 布在 2-4 5 之间，其中概率最大的取值为：3 5 1 9 6，故取3 5 1 为Y 1 的概率平均值。b)v，疑似转化为病例的日转化 比：计算公式：=堡 堑 由已知数据求得的每天 y 2 的变化趋势如图5所示。去除一些偏离太大的点得到图6。从原始数据看到 y 2 总的趋势是下降的。先用曲线拟合处理得到如图7所示的图形(光 滑的线是 y，的五阶拟合线)。因初期 自由带菌者较多，y 2 会有一较大的峰值，疫情得到重视后 Y 2 总趋势是下降的。最后用威布尔分布来观察一下 y 2 值的分布情况，如图 8 所示。可以看出 Y 2 的值主要分 布在 0 0 5-2 之间，但 y 2 不同于 y 1 分布的那么均匀，所以我们不能简单的用一个有效 维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657第 7期 非典数学模型的建立与分析 4 9 图 5 北 京地 区 S ARS疑 似 转化 为病。习 图 6 经处 理后 的 2的 图像 雪!-、，啪援罩分布啊 l 一 ll_ _ 藿 l 图 7 y 2的 五阶 拟合 曲线 图 8 y 2的威 布 尔分布 图 值来取代 2 的值。经过仔细分析，把 2 的值等效为两个阶段值：2 2 2 9 和 0 5 9，如图9 所示 Y 的两个有效值分布在中直线的两侧。从对 Y 1 与 Y 2 的分析来看，可以将强化控制后的这段时间分为两个阶段：过渡期和平稳 期；这两个阶段的产生与非典 自身的特性有关；同时由于强化控制初期。非典控制力度不够，造成很多自由带菌者与健康者自由接触；加之各项措施从颁布到实行有一段缓冲期等等诸 多因素造成了过渡期的形成，其中过渡期特征为：2 较大，q(退出率)较小。c q 的 计 算 公 式：堡 冀 嘉 从 q的原始数据可看出，q的值也存在阶 段性。5 1 6 E t 以前，q的值大概在 1 左右摆 动，不存在较大的波动；而 5 1 6 E t 以后，q的值 基本都在 1 以上。q的定义 中包括了治愈率与 死亡率两部分，在过渡期，由于发病人数较多，治愈率相对较低；当进入平稳期后，发病人数减 少，治愈率必然增高。故这与我们上面对于过渡 期和平稳期的假设是吻合的。d)e 从 数 据 可 推 算 出 其 值 在 1 2 一3 0 之间，经过分析取 e=2 0。图9 Y 2 等效为两个有效值 e)a 与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员流动控 制得相当严格，还采取了诸如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们可估计 口=7 0 9 0 4)模型的求解：维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576575 0 工程数学学报 第 2 0卷 从建立的模型是无法得到 s，I，R，y，M 的解析解的。为了解决这个问题，我们求助于 ma t l a b中的龙格 一库塔方法来求出方程的数值解。先通过采集到的实际数据算出每一天的S，J，R，l，M 做出它们与时间的函数图象，然 后画出通过模型解出的数值解的图象。对比两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差 异。这必然是 因为参数估计不合理造成的。必须通过不断调整那些非计算得到 的参数(，e，。)来使实际图象和理论图象趋于一致。如：经过多次调试，发现求解北京模型时，取，=0 7 1 人，=0 2，a=0 8时，实际 图象和理论图象有最好的符合。而这三个值均在估计的范围内，即认为这三个值合理。3 各地疫情分析 3 1 北京地区 首先看一下实际的北京地区病人比率图(如图 1 0所示)：可见，北京的发病人数在 4月 2 9 E t 到5 月1 5 E t 这段时间内有最大的增长率；由于政府措施得力，公众防非意识增强，疫情 从 5 月 1 6 E t 号后趋于缓和。在参数分析中，北京各参数取值如下：Y 1=0 0 3 5 1，y 2 1=0 0 2 9 9，Y 2 2=0 0 0 5 5 5；q 1=0 0 0 8 7，q 2=0 0 2 5，2=0 7 1，d：0 8，=0 2。每个 自由病 人平均每天感染 0 7 1 人，这说明北京地区政府采取的隔离措施较为得力及时就阻断了大部 分病源与健康人群的接触，有效的阻止了疫情的进一步扩大；q 2=3 q 这说明控制后北京的 治疗水平有较大提高。3 2 内蒙古地区 图 l 1 为根据原始数据画出的内蒙古 累计病人比率的统计图：由于内蒙古疫情始期较 晚，其时全国对非典已较为重视，因而疫情的控制比北京难度要小。数据取定如下：v 】=0 0 2 71，y 1 2=0 0 6，2 l=0 0 4 5 6，2 2=0 0 0 7 8；q 1=0 0 1 4，q 2=0，0 3 0，2=0 7 5，a=0 7 8，=0 2。2 取的是 0 7 5，比北京的稍高，这是由于内蒙人口比较分散、自由带菌者不 易控制；q 2=3 q ，说明内蒙古卫生部门控后的医疗水平有较大提高。图 1 0 北京 地 区原始 I T 图 图 1 1 内蒙古地 区原始 I T 图 3 3 广东地区 广东地区的病人累计比率统计图(如图 1 2 所示)：参数取定：】=0 0 6 9 4，v 1 2：0 0 1，Y 2 1=0 2 5，Y 2 2=0 0 0 1；q1=0 0 0 6，q o=0 0 0 6 5，2=0 8，1：0 8，2：0 8 5，：0 2。q 2 q ，可见广东的卫生部门采取的措施开始不是很得力，疫情初期没有得到政府的 充分重视，从而导致了疫情的持续，快速增长，一直到国家下达严防命令后才采取有效的措 维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657第 7 期 非典数学模型的建立与分析 5 1 施，故广东的疫情缓解也是从 5月 1 0 号左右才开始的。3 4 香港 图 1 3 是根据香港原始数据画出的病人累计统计图。可以看出：香港采取的措施 比较早，效果较好。但是由于人 口流动很快，导致不可控的病毒传播者比较多，因此，疫情一直呈现出 上升趋势，在近期内病人比率还不会有较大幅度的下降，因此香港的非典工作需加大力度；图 l 广东地区原始 I T图 图 l 3 香港地 区原始 I T图 4 各地疫情预测 总体的分析与假设：1)根据现有的控制程度进行预测。如果随着疫情的缓解人们的警惕心理下降，政府的 措施不再得力，将会导致疫情的传播死灰复燃，引起病人的比率又出现小的升高。2)根据现在的医疗水平进行预测。随着医学研究的深入和S A R S 治疗方案的完善，治愈 率可能会有较大的提高，同时，预防措施也会更加有效(据有关资料，在不久的将来可能会研 制出非典预防针)，因此实际疫情很可能会比我们预测的提前结束。4 1 北京地区的疫情预测 利用控后模型对北京地区的S A R S发病人数进行预测，得到图 1 4(病人比率图，其中的 离散的点是实际住院病人数占的比率)。可见：1)病人数目在4 月2 4日 到5 月3 号左右增长最快，即疫情达到“高峰期”。5 月3 号以后 虽然病人很多，但增长趋势已趋于平缓。此时疫情进入“高平台期”，虽然表面看来病人数目 高居不下，实际上疫情已经得到了控制。；2)疫情大约在5 月3 0 号之后趋向缓解。从5 月末到7 月末病人下降速率最快。说明在这 段时间内将有大量的病人 出院，这段时期可称为“缓解期”。3)发病者的比率将在 1 1 月以后逐渐趋向于0，即进入疫情的“最终控制期”。需要指出 的是，预测是依据现在的医疗水平进行的，实际的 S A R S最终控制期可能会有所提前。4 2 内蒙古地区的疫情预测 利用已知数据求解控后模型，得到内蒙古的疫情预测图(图 1 5，注意图中 _y轴值的数量 级为 1 0 )。其中离散的点是实际住院病人比率。可以看出：1)4月2 3 号到5月 8号左右是疫情的“高潮期”；2)发病人的比率在=2 2即5 月 1 41 5 号左右出现最大值，达到“高平台区”。3)疫情大约在 5月 3 0号逐渐趋向缓解。从 5月末到 7月末是疫情的“缓解期”；4)发病者的比率将在 1 0月以后逐渐趋向于 0，即进入疫情的“最终控制期”。易见内蒙 维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576575 2 工程数学学报 第 2 0卷 图 1 4 北京地区疫情预测图 图 1 5 内蒙古地 区疫情预测图 古进入“最终控制期”的时间比北京要早，这是因为内蒙古的初始病人数目比北京少，人口 分散。4 3 广东地区的疫情预测 求解方程得到广东的疫情预测图(图 1 6)，其中离散 的点是实际住院病人 比率，可以看 出：1)广东省病人数目的初值较大，且在 5月初 以前一直以一个较快的速率上升；2)病情在 5 月 1 O号左右达到“高平台期”；3)5 月中旬到明年2月为疫情的“缓解期”。随 后病人比率趋近于0，疫情进入“完全控制期”。比较三地疫情预测，广东地区疫情的“最终控 制期”偏晚。这是因为：从数据来看，这段时期广东 地区的病人治愈人数一直比较少，按现在的治愈 率来预测疫情维持 时间必然 比实际的长。还需要。一 图 1 6 香港地区疫情预测 图 指出的是，采集到的数据是从 4月2 1 号才开始的，而广东的疫情是从2 0 0 2年1 1 月开始的，因此数据的不完备可能会给预测带来较大的误差。5 模型优缺点分析与改进方向(略)本论文的模型因查到的统计数据不完善、对非典的传播规律了解不够，预测结果有较大 偏差。相信随着人们对 S AR S的进一步认识，随着社会各界的深入研究，从数学角度看，模型 将更加完善，预测结果将更准确，从医学角度看，S A R S将有更好的治疗方案和防控措施，疫 期将进步缩短。参考文献：1 2 3 4 5 中华人民共和国卫生部网站，h t t p：w w w m 0 h g o v c n 王树禾著 常微分方程模型与混沌 M 中国科学技术大学出版社，1 9 9 9年2月第 1 版 朱道元编著 数学建模精品案例 M 东南大学出版社，1 9 9 9 年 8 月第 1 版 茆诗松编著贝叶斯统计 M，中国统计出版社，1 9 9 9年 1 0月第 1 版 吕本富北京 S A R S防御措施的效果分析 J h t t p：w w w b l o g c h i n a t2 0 m n e w d i s p i a y 8 0 2 3h t ml 2 0 0 3；9：2 4 (下转 6 2页)维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576576 2 工程数学学报 第2 0 卷 当大家害怕得藏在家里，见到亲人朋友连握手都担心的时候，是因为我们对传染病的传 播途径不了解，所以恐慌。当政府说明已采取了许多措施，而大家看到医院每日收治病人仍然不断攀升的时候，是 因为我们不了解传染病的发展规律，所以恐慌。这一切的恐慌，都是因为我们不了解疫情而带来的。而要全面了解、控制疫情，除了相 关的医学知识外，重要的问题之一是建立恰 当的数学模型。如果在疫情一开始，我们对传染病的常用数学模型有一定的认识，了解如何确定一种传 染病 的危害程度，何时进行控制，如何用科学的观点，详细的数据向民众解释，我们就不会因 为盲 目而恐慌。如果我们了解基本传染病传播规律以及相应模型的决定因素，那么我们在生活中也可 以通过控制这些因素以有效控制疾病，而不必恐慌。如果我们知道传染病的发病曲线，我们也不会为新闻发布新的各种疫情数字而恐慌。今天，在网上搜索一下“S A R S 数学模型”，我们可以找到近千篇文章，十几种基本的传 染病数学模型及其改进的模型，也许这些模型不一定很符合这次S A R S传播的实际情况，也 许我们对这些模型中的各种深奥的公式与定理不太了解。但是，模型得到的一些结论如：高 峰期的到达时间，控制因素的效果等，至少可以让我们心安，不必盲 目恐慌。而更精确的模 型，以利于我们更好地制定相应的应急措施，有效的医疗保障系统等。S AR S曾让我们惊慌失措，也让我们相信科学，认识与了解科学。拥有医学与数学等科 学知识，我们应该有信心，流行病并不可怕。(上接 5 2页)The M a t h e ma t i c a l M o d e l i n g a n d Ana l y s i s o f S ARS WANG Yi f e n g，TI AN Yi，YA NG Qi a n Ad v i s o r：S HA NG S h o ut i n g (Ha r b in I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y，H a r b i n 1 5 0 0 0 1)A b s t r a c t：I n t h i s p a p e r，t wo ma t h e ma t i c a l m o d e l s f o r t h e s p r e a d i n g o f S AR S b e for e a n d a f t e r t h e c o n t r o l r e s p e c t i v e l y we r e e s t a b l i s h e d b a s e d o n t h e d a t a d i s p l a y e d o n t h e I n t e r n e t b e f o r e J u n e 2 0 0 3 a n d t h e c l a s s i c S E I R mo d e l f o r i n f e c t i o u s d i s e a s e，i n wh i c h p e o p l e a r e d e f i n e d i n t o s e v e r a l g r o u p s r e a s o n a b l y Ea c h p a r a me t e r s wa s s o l v e d b y r e a son a b l e e s t i ma t i o n，me t h o d o f c u r v e f i t t i n g a n d me t h o d o f s t a t i s t i c a l t h e o r y Th e n t h e p r i ma r y a n a l y s i s i s l a i d o n t h e a f t e rc o n t r o l mo d e l，sol v i n g t h e e q u a t i o n s b y Ru n g eKu t t a me t h o d，a n a l y z i n g t h e s p e c i f i c s i t u a t i o n s i n Pe k i n g，I n n e r Mo n g o l i a，Gu a n g d o n g a n d Ho n g k o n g wh e r e t h e S ARS wa s r a mp a n t F i n a l l y，t h e e v a l u a t i o n wa s ma d e a b o u t t h e r a t i o n a l i t y a n d p r a c t i c a b i l i t y o f t h e mo d e l s，s u g g est i n g t h e me t h o d for f u r t h e r r e v i s i n g o f t h e mo d e I Ke y w o r d s：d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n；Ru n g e Ku t t a me t h o d；me t h o d o f c u r v e f i t t i n g；s t a t i s t i c a l t h e o r y 维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657