2001A：旋转抛物面聚光效果的研究(1)【公众号：数模加油站】.pdf

第2 o 卷 第5 期 工 程 数 学 学 报 0 0 3 年o 3 月 J OURNAL OF ENGI NEERI NG MATHEMATI CS V0 1 2 0 N o 5 Ma r 2 0 0 3 文 章 编 号：1 0 0 5 3 0 8 5(2 0 0 3)0 5 0 1 3 8 0 5 旋 转抛物 面聚光效 果的研究 张 景 华 ，陈 务 深(1-东 南 大 学，南 京 2 1 0 0 9 6；2-南 京 工 业 大 学，南 京 2 1 0 0 0 9)摘要：根 据旋转 抛 物面 的性质 和 光的反 射定 律，本 文讨论 了位 于焦 点 的点光 源在 测试 屏 上 的 照度分 布、影 响因 素及 点 光源 的位 置对抛 物 面聚 光作用 的影 响。关键 词：点 光源；照度 分 布 分类 号：A MS(2 0 0 0)4 9 K 3 5 中图分 类号：0 2 2 4 文 献标识 码：A 对理想点光 源(光学上称为 朗伯特辐射体)而言，其光强 I 在 以该光源 为心 的球 面上 均匀分布，即在球 面上各点沿法线方 向其光 强相 等，故通 过球面上某 给定 区域的光通量 与该 区域面 积成正 比。因此单位 球面上的环带微 元面积 A与 纬度微元 A 0关 系 A：2丌(c o s Oc o s(0+)：2 丌 (c o s OC O S(0+AO)注 是 与点光源 的光 强成正 比的正常数。以抛物面焦点 为球心，作 一含 于抛物 面 的球，由光 的反 射定律和旋转抛 物面 的对称性 知，由焦点 出发通过 图示环带 区域的光线经抛物 面反射后，成为平行光照射到测试屏上形 成一 以光轴与测试 屏交点 0 ，为 圆心的光 环，且 同一 圆周上 各 点照度相等，由抛物 面定 义知抛物面上各点到焦点距离与 到抛物面准面距 离相等，故 由焦点 出发到达测试屏 的每束光 图1 线走过 的总路程相 等(都 等于准面到测试屏 的距离)且它们 都与测试 屏垂 直。故通过 测试 屏 上 圆环 的光通量 与通 过球面上环带 的光通 量相等。由照 度 定 义 知：E：d d S，而 V 测 试 屏上一 点 y ，包含 该 点 的微 圆环 面积 为 d s ：7 t(1 l Y l l 一 I l Y I l)，l l Y l l定 义 为 点 Y到光 轴 的距 离。通 过 该 微 元 的 光 通 量 d ：2 1 r x(c o s OC O S(0+d )，两者 均 只 与 角 度 及 d 有 关，故 可 将 问 题 化 到 二 维 研 究。为 此，将 抛 物 面 在 二 维 时 的 抛 物 线 方 程 写 为以焦点 0为极点 的极 坐标形 式(0角取 0 、f 由负极轴方 向沿顺 时针方 向旋转所 成的夹 角为正)如下 图 2 +。维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657第 5期 旋 转抛 物 面聚光 效果 的研 究 1 3 9 JD=p，(1一c o s(7 f一 0)=p (1+c o s O)Y o=D s i n 0=P s i n 0 (1+c o s 0)y 2：2P：p 笳=p (_ 1)，一。p 丽 p 一 一 1+c o s 0：p Y o A O P L 1+c o s(0+A0)一 ，圆环 o(Y ，Y o+)的 面 积 为 A S=7f ()，；+一 一)，；)=2 印 T _ 一 丁 南)2 c o s 0一c o s(0+)2叩 爰 _ ：(1+c o s )(1+c o s(0+)凸-)P 一l i m。A t=P (1=(若令 Y：t p，t 尺(显 然可将 t 视为距光轴远近程度的度量)，则得到 由此可见，对 理想点光源 而言，当其位 于抛物面 的焦 点时，在抛物面 出 M M径 内，测试屏 上任 意一点 的照度(如果不考虑直 射光)仅与它距光轴 的远近程度 和抛 物面焦距 长短有 关。某 点 的照度与抛物 面焦距 的平方成反 比关 系，且该点距光轴越远，照度越低。实际上，对 理想 点光 源而言，由直射 光产生 的照度与光源和被照点 的距离 的平方成反 比。由于本题 中测试距 离远 大于抛物面 出 M M径 和焦距，故直射光 的影响可忽略不记。以下讨论不在 焦点处 的理想点光 源其纵坐 标变化 对聚光 的影 响。本文 中对 聚光 的定 义 如下：设 点光源射 出的光 束夹角为 y，经抛物面反射后的夹角为，若 始终小 于 y，则认 为 抛 物 面 对 该 点 光 源 发 出 的光 线 有 汇 聚 作 用。如 图 3所示，0为抛 物面焦点，点光源 A在焦平 面上，A 日，A c为由点光源 A发 出的两条 光线，且分别交 抛 物面 于 B，C点，0，为 B，C点的极 角 的补 角。本文 仅讨 论 0(一1 r l 2，1 r l 2)，光源在焦点上方 的情况。(因由对称性可知，光源在 焦点下方必得 到相 同的结论。)设：O(p，0)，A(P，)，令：t P，t(0，1)l OB l=IDB，l OC l=ID c BOD=0，COD=，BOC=，则：B A C：y，由余 弦定理易得 I A B I=JD +一2 p B O J s i n 0 I A c I=JD +一2 p s i n fl I B c I=ID +ID 一2 p ID c o s A 0 由光路 的可逆性知，由 A射 出的光 线 A B、AC的反射线 与水平线 的夹角分别 为 O B A、O C A，故 O B A一 O C A=由三 角 函数 性 质 有：c o s =c o s O B A c o s L O C A+s i n L O B A s i n L O C A 维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576571 4 0 工 程 数 学 学 报 第 2 0卷 又由余弦定理得 啷 A OB A：pB c u s i n0 厂 C O S 0 C A=0C l+2 l D +c u 一 2pB ws i n0 一 c u 2 p B。I AB l A c l 一l 0 A l ID ccu s i n fl _ _ 厂 r A c I+I A B【一【B c【2 C OS BAC=C O S y=2I AB J I AC c u 一 lD B c u s i n 0一I D c c u s i n fl+ID B ID c c o s A0 ，卢(2)s i OB A _ ，s i O C (p B o J s i n 0)(P co J s i n f1)+(U c o s 0 c o s c 0 一 T T _ 一 ID B ID cI D B o s i n flID c ws i n 0+c u c o s A0 1丽 1 一 设 l A B l l A c l：1 k0，则有 c o s 一C O s y：k【(I D B ID cc u )(1一c o s A0)一(s i n fls i n 0)(ID BID c)c u】ID=，c u=p ID ，p !竺!翌=!1 P【l p p 1+c o s 0 1+c o s fl t 2 P )(1一c o s A0)一(s i n fl s i n 0)(=(T 一 )(1一c。s )一 (s i n fl (1 p p _ 一T _ 一s i n 0)(c o s fl c o s 0)=一(一 c。s )2 一 兰 -_ 芝 ；t+垒 a t +b t+C=f(t)+c o s f1)(1+c o s 0)1 一 C O S A0 对 此 关 于 t 的 二 次 三 项 式，显 然 a0，C0，b0曲 线 开 口 向下。设 t ，t 一 分 别 为，(t)=0的正、负根。易 知 t(0，t )时，()0，即 y，此时反射光 夹角 比出射光 夹角小，抛物面对点光 源起 聚光作用。，(s i n fls i n 0)(c o s flc o s 0)、2 可 面 T _ 万一 4(1 一c o s A 0)(s i n fls i n 0)(c o s flc o s 0)一T 丌 2(1 一 C O S A0 =M2 +4 N L2一-M L垒 1 一 c。s A0 M 垒(s i n fls i n 0)(c o s flc o s 0)，N 垒(1+c o s f1)(1+c o s 0)用 Ma t l a b绘 出一 系 列 A0下 的 一0曲 线，得 到 t 0 4 2，而 当 A0足 够 小(如 A 0 1 0 5 3 71 0 )时，则 有 t 0 4 7。与用 Ma t l a b编程计算求得 的如下 Mi n(t )基本一 致。A0：0 1，0 01，0 0 01，0 0 00 0 0 0 5，0 0 0 0 0 0 00 11 3 5 7 维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657第 5期 旋转 抛物 面 聚光效 果 的研究 1 4 1 Mi n(t )=0 4 2 5 5，0 4 2 5 3，0 4 2 5 3，0 4 2 5 3，0 4 6 6 9 于是 我 们 可 以断 定，当点 光 源 纵 坐标 位 于 一0 4 2 5 p到 0 4 2 5 p之 间 时，在 过 光 轴 和 点 光 源 的平 面 内总 是 聚 光 的。而 当点 光 源纵 坐标 位 于 一0 4 2 5 p和 0 4 2 5 p之 外 时，在 过 光 轴 和 点 光源 的平 面 内是否 聚光 与该光束的仰角有关。当点光源不在焦点位 置时，以上实 际上 只讨论 了过 光轴 和点光 源 的平面 内光 的反 射情 况，并得到简洁 的结果。这是 因为在此时，各入 射、反射光线均共 面，易 于处理。但若考虑 向任 意方 向的光 线的反射情况，则情况 复杂得多，首先反 射光线 几乎 都不共 面，其 次参数 变量增 加，表达式异常 复杂，仍沿用 上方法难于处理。在此情况下，我们首先建立 以光源点为心的单 位球面，使用 Ma t h e m a t i c s计算 了该球面上的点映射到测试平面上时 的 J a c o b i 值 J。再利用在 球 面 上 光 强 的均 匀 分 布 性 质，则 可 得 到 测 试 屏 上 光 强 度。设点光 源 P坐标(，Y ，)，抛物 面 上反 射 点 Q(，Y ，)，反 射 光与 测 试屏 的交 点 R(，Y，)。(其 中=0，=1 5，=2 5 0 1 5)则 Q点 处 法 向量 为=(3 0，Y q 3 0，一1)；P Q对 应 向 量 为=(一 )，(Y 一Y p)，(+Y )6 0 一,g p)；Q R对应向量为-g=(，一 )，(Y，一Y )，一(；+Y；)6 0+z，)；由：-g=i(一2 )得 到 l l r l,l l，=一(-(：一(9 0 0+Y；)(，；一 6 0 z，)一 6 0 x；(一 4 5+)一 (：+1 8 0 0 y +Y：+2 x (9 0 0一 Y p Y 口+Y )+5 4 0 0 0 z p一2 y p Y 口(1 8 0 0+Y 一6 0 z，)+5 4 0 0 0 z，一3 6 0 0 z p z，)，(一 3 6 0 0 X p X +：一 3 6 0 0 y y +2 7 0 0 y；+Y：+2 x；(1 3 5 o+Y 一 3 0 z p)+5 4 0 0 0 z p 一 6 0 y 2q z p)Y，=一(2 x 3，一 ：(+Y )一Y (1 8 0 0 y；+Y：一3 6 0 0(一1 5)一1 5 z，)+2 Y (Y；一 6 0(一3 0)一2 ；(Y (9 0 0+Y )一3 0 y (1 5)+(Y：一 6 0 y (一4 5)+5 4 0 0 0 z，)(一3 6 0 0 x +：一 3 6 0 0 y p y +2 7 0 0 y +Y：+2 x；(1 3 5 0+Y；一 3 0 z p)+5 4 0 0 0 z p 一 6 0 y 2q z p)得到光源在(，Y ，z )时，(，Y，)一(，Y )时偏 导数矩 阵(分号 表示行 的结束，逗号表示 列 的 间 隔)如 下(：+7 2 0 0 y y；(一1 4 9 9 1 0 0+Y )一 2 y p y (一1 4 9 7 3 0 0+Y；)(9 0 o+y Q)+(9 o o+Y )+2 ：(Y p Y +2(9 0 0+Y )+2 ：(Y p Y (一 4 5 0 8 1 0 0+Y；)+3(9 0 0+Y )+2 x；(1 0 8 0 0 y y；+2(9 0 0+Y；)一 ，(2 7 1 0 5 3 0 0 0 0+3 0 1 2 6 0 0 y；+Y：)(：一3 6 0 0 y p Y 口+2 x (9 0 0+Y；)+(9 0 0+Y )，(2 x 口 Y p(1 2 1 5 7 2 9 0 0 0 0 0 0一 ：一2 7 0 0 0 5 0 0 0 0 y +7 2 0 0 y P y 一 4 5 0 4 5 0 0 y 4+y：一：(一1 4 9 9 1 0 0+Y；)+(2 7 0 0 8 1 0 0 0 03 0 0 5 4 0 0 y；+Y：)(：一3 6 0 0 y p y 口+2 x；(9 0 0+Y；)+(9 0 0+Y；)；4 口 Y p(6 0 8 2 2 9 0 0 0 0 0 0+2 7 0 0 0 0 0 0 0 0 y p y 口 一1 3 5 0 8 1 0 0 0 0 y；一2 2 5 0 9 0 0 y：+Y：+：(7 5 0 9 0 0+Y；)一2 (一 6 7 5 8 1 0 0 0 0+1 8 0 0 y p y 口+7 5 0 0 0 0 y；一Y：)(：一3 6 0 0 y p Y 口+2 x (9 0 0+Y；)+(9 0 0+Y )，(：+4 x (9 0 0 一Y p Y +y )+2 x 4(1 8 0 0 y：一 4 y p y (一 1 1 2 4 1 0 0+y )+3(9 o o+Y )+(9 0 0+Y；)(1 0 8 0 0 y；(Y；一 5 0 0 3 0 0)+(9 0 0+Y )一1 9 2 0 0 y p y (1 5 7 y 一 4 2 1 8 7 5)+4 (Y p(4 0 4 9 1 9 0 0 0 0 y +1 4 9 4 6 0 0 y：一Y：)+(9 0 0+Y；)一1 3 5 0 0 0 0 0 0 0 y：)(4 一3 6 0 0 y p y +2 x (9 0 0+Y )+(9 0 0+Y )维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576571 4 2 工 程 数 学 学 报 第 2 0卷 此 行 列 式 值 J。为(9 0 0+；+Y；)(10+(9 0 0+Y；)一2 1 6 0 0 y 3p y (7 4 9 9 9 9 7 3 0 0 0 01 9 9 9 4 0 0 y；+Y：)一2 y Y (9 0 0+Y；)(Y：+9 0 0 0 y；一5 3 9 9 1 9 0 0 0 0)+：(5(9 0 0+Y；)一 2 y p y )+1 2 0 0 y；(5 0 3 3 y：一7 5 4 9 4 6 4 9 0 0 y：+2 0 2 2 9 7 5 2 4 3 0 0 0 0 y 一3 6 4 7 1 8 7 0 0 0 0 0 0)+2 x：(3 0 0 5 4 0 0 y；+5(9 0 0+Y；)一4 y p y (2 7 0 0+Y；)一 2 x：(1 0 8 0 0 y y 一5(9 0 0+Y；)一1 8 0 0 y；(5 0 1 7 y；一2 5 0 4 4 9 9 1 0 0)+6 y y (Y：+5 4 0 0 y；一8 9 7 0 3 0 0 0 0)+；(一4 3 2 0 0 y y (Y；一1 0 0 0 3 0 0)+9 0 0 0 0 y；(2 0 1 y：一2 0 0 8 3 9 4 9 6 y；一9 0 2 7 0 0 9 7 2 0 0)+5(9 0 0+Y；)一8 y Y (Y：+8 1 0 0 y：一 2 6 9 1 0 9 0 0 0 0 y；一2 4 2 7 8 1 3 0 0 0 0 0 0)，(：一3 6 0 0 y p y +2 x；(9 0 0+Y )+(9 0 0+Y；)若将 Q取以 P为心的球坐标(，0，R)，易得球坐标与直角坐标间关系式 一r ct an ar ccos 得 到(0，)一(，Y )的偏 导数矩阵 二 !兰!2 ，、2，2 ，、2，口+L Yp Y口 口+Yp Y口 6 0 x (9 0 0+；+2 y；一4 y p y +Y；)，；+(Y p Y )一 了 丽 而 6 0(2 y y +Y (9 0 0+；+Y；)+Y p(；一9 0 0 3 y；)，；+(Y p Y )一 万 此行列 式值 J 2 为 6 0 (9 0 0+2 一2 ，+，5 )：+3 6 0 0 y；一7 2 0 0 y p y +2 x；(9 0 0+Y；)+(9 0 0+Y )则 由(0，)一(，Y，)的变换的 J a c o b i 值为 J=J：，J。(6 o(9 o o+：一 2 y p y +Y )(：一 3 6 0 0 y p y +2 x：(9 0 0+Y；)+(9 0 0+Y：)，(9 0 0+：+Y；)(：+3 6 0 0 y；一 7 2 0 0 y p y +2 x (9 o o+Y )+(9 o o+Y：)、；+(+Y )(1 0+(9 o o+Y；)2 1 6 0 0 y y (7 4 9 9 9 9 7 3 0 0(一1 9 9 9 4 0 0 y；+Y：)一2 y p y (9 o o+Y；)(Y：+9 0 0 0 y；一 5 3 9 9 1 9 0 0 0 0)+：(4 5 0 0 2 y p y +5 y；)+1 2 0 0 y：(5 0 3 3 y：一 7 5 4 9 4 6 4 9 0 0 y：+2 0 2 2 9 7 5 2 4 3 0 0(y；一 3 64 7 1 8 7 0 0 0 0 0 0)+2 x：(3 o o 5 4 O O y；+5(9 0 o+Y；)一 4 y p y (2 7 0 0+Y )一 2 x：(1 0 8 0 0 y y 一 5(9 o o+Y：)一1 8 0 0 y；(5 0 1 7 y 一2 5 0 4 4 9 9 1 0 0)+6 y p y 口(Y：+5 4 0 0 y；一 8 9 7 0 3 0 0 0 0)一；(4 3 2 0 0 y 3p y q(，；一I lX E fl l30)一 5(9 o 0+Y；)4 9 0 3 13 0 y；(m l q 一 0 8 3 9 4 0 6 y 一 9 0 7【10 脚)+8 y p y 口(Y：+8 1 0 0 y：一 2 6 9 1 0 9 0 0 0 0 y；一2 4 2 7 8 1 3 0 0 0 0 0 0)由于分母可 以为 0，J的值 为，因而抛物面对不在焦点 的点光 源发 出的部分光 线也有 强烈 的 聚 焦 作 用。The St udy o f Pa r a bo l o i da l M i r r o r f o r Li n e a r H ea dl i g h t So u r c e Z HANG J i n g-h u a ，C HEN Wu s h e n 2 (1-S o u r e st U n i v e r s i t y，N a n j i n g 2 1 0 0 9 6；2-i n s t i t u t e o f S c i e n c e，N a n j i n g U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y，2 1 0 0 0 9)维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657