2000D：空洞探测(1)【公众号：数模加油站】.pdf

第31卷第1期2001年1月数学的实践与认识MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORYVol131No11Jan.2001空洞探测邹建光,刘丹娟,曾德刚指导老师:罗文华胡星航(岳阳师范学院,岳阳414006)编者按:本文用排除法求解,给出两个方案,方案一以未通过空洞的波源与接收器连线为依据,方案二定义一种几何平均值为依据,并逐次计算,简单可行,有启发意义.摘要:本文给出了两个方案:方案一基于对数据的分析,采用连线方法,用较小的计算量找出了空洞的位置及洞径.方案二通过对洞径求几何平均值确定空洞的位置.1问题的提出(略)2基本假设11 假设对弹性波传播时间的测量值存在测量误差.21 假设问题给出的所有测量数据均为可供分析用的可靠数据,即除测量误差外,不存在错误数据.31 若某路径上弹性波传播时间的实际测量值与该路径上无空洞时弹性波传播时间的理论计算值之差在测量误差范围内,则该路径上无空洞分布.3符号说明Li,jPiQj或RiSj路径的长度;i,jPiQj连线上测得的空洞的总长度;i,jRiSj连线上测得的空洞的总长度;!m n36个方格区域中的m n区(见图2);dm n方块!m n中的空洞的洞径;(m n)i,j连接Pi、Qj两点且通过方格!m n的波束线上的空洞总长度;(m n)i,j连接Ri、Sj两点且通过方格!m n的波束线上的空洞总长度.i,j=1,7;m,n=1,6.4对测量数据的初步分析已知均匀平板的尺寸为240(米)240(米),弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880(米?秒)和320(米?秒),如果介质中无空洞,则弹性波从Pi到Qi或从Ri到Si(i=1,2,7)的传播时间应为t=240(米)2880(米?秒)=0.0833(秒)通过对表中给出的测量时间的分析发现,弹性波从Pi到Qi或从Ri到Si(i=1,27)的测量时间从 7,7=010583(秒)到t7,7=011024(秒)不等,与理论计算值010833秒不符,最大偏差为:t=0.0833(秒)-0.0583(秒)=0.025(秒)结论1显然,实际测量值不应小于弹性波在纯介质中传播时的理论计算值,故根据基本假设1、2,此t应视为弹性波传播时间的测量值的最大误差.获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657图1结论2以t乘以弹性波在空气中的传播速度,得320t=8(米).可见,由于测量误差的限制,只能探测到沿传播方向上洞径大于8米的空洞.结论3根据上述数据分析及假设3可知,所有PiQi或RiSi连线上均无空洞分布,空洞仅可能分布于由诸PiQi连线及RiSi连线所划分的36个方格区域中.5空洞位置的确定方案一:仔细分析测量时间数据,发现有一特征:数据并不密集变化,即ti,j和 i,j不存在从011024秒到011768秒范围内的测量值.因011402(秒)-010833(秒)t,故可认为凡是传播时间不大于011042秒的弹性波均在无空洞的路径上传播.在平板上将此类ti,j和 i,j对应的收发点用直线连接,得到图1.依PiQi和RiSi连线(i=1,27)将平板划分为36个方格区域Am n(m,n=1,6).为判断各Am n区域是否有空洞存在,根据基本假设3,并考虑到前述的结论2,提出如下判断准则:图1中凡有1条以上连线通过的方块区域均无空洞存在.据此可知,仅有8个方格区域可能存在空洞.下面估算各空洞的大小.根据弹性波从Pi到Qi的传播速度,可写出下列计算弹性波传播时间的方程:Li,j-i,j2880+i,j320=ti,j(1)Li,j-i,j2880+i,j320=i,j(2)式中Li,j=40(j-i)2+62(i,j=1,2,37)(3)将方程(2)分别应用于直线R5S6和R6S5:R5S6直线:5,6=(5,6-L5,62880)360=(0.1874-0.0844)360=37.7(米)R6S5直线:6,5=(6,5-L6,52880)360=43.7(米)即直线R5S6或R6S5通过的区域的空洞总长约为40米左右,由图1及前述判断准则知,除A25以外,A15,A35,A45,A55,A65均有连线通过,可见仅在方格A25中存在空洞,洞径d25约为40米,同理可推出d53约为40米,d44约为36米.类似地,设PiQj连线或RiSj连线(ij)通过区域Am n,且测得Am n的洞径为dm n,则有:R4S5直线与R5S4直线:d34+d44=87+872(4)811数学的实践与认识31卷获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657P2Q3直线与P3Q2直线:d22+d23+d25=128+1182(5)P3Q4直线与P4Q3直线:d32+d33+d34=119+1152(6)R2S3直线与R3S2直线:d22+d32=72+852(7)P1Q7直线与R1S7直线:d22+d33+d44=161+16322(8)方程式(8)右端除以2是考虑到P1Q7直线与R1S7直线均以对角线方式通过方格区域.解方程组(4)(8)可得A22、A32、A23、A33和A34的洞径均在40(米)左右.计算结果中出现dm n大于方格线度的情况应归结于测量误差,据此可认定上述8个区域中均存在空洞,如图2中阴影区域所示.方案二:建立一个6行6列的方阵A,其元素为am n,为使am n约比例于所在区域中空洞的洞径,定义am n的值为:am n=i,jij1zi,j(m n)i,jl,kkl1zi,j(m n)k,llh(9)式中h为各(m n)i,j和(m n)k,l的个数之和,zi,j为波束线i j上可能具有空洞的区域的个数,按此定义,各am n为0的区域对应于无空洞的区域.am n的数值可依据下述方式分步计算:1.首先计算相邻波束线PiQj和RkSl(i-j=1,k-l=1)上的空洞总长对am n的平均贡献值(几何平均值),以am n(1)表示,此时取zi,j=6,得计算通式为:a(1)m n=16(m,m+1 m+1,m n+1,n n,n+1)14(10)计算表明,经取整后的矩阵为:A(1)=00000009121070091196001620171100162017120000000可见周边的小方格内无空洞,空洞仅可能分布于中间的16个小方格中.2.计算次相邻波束线PiQj和RkSl(i-j=2,k-l=2)上的空洞总长对am n的平均贡献值,以a(2)m n表示.考虑到1中的结论及方程(9),实际只须计算对应于中间的16个方格的a(2)m n,故取zi,j=4,得计算通式为:=14(m,m+2 m+1,m-1 n,n+2 n+1,n-1)14(m=2,3,n=2,3)9111期邹建光等:空洞探测获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657a(2)m n=14(m,m+2 m+1,m-1 n-1,n+1 n+2,n)14(m=4,5,n=2,3)余者类推.计算可得:A(2)=00000001617000017172400025280180026280000000003.依同法可计算出波束线PiQj和RkSl(i-j=3,k-l=3)上的空洞总长对am n的平均贡献值a(3)m n,得到矩阵:A(3)=00000002500180002417900131612120019151490000000对A(4),A(5),A(6)的计算可依法施行,此处从略.4.矩阵A各元素的值可依下式确定:am n=6i=1a(i)m n16由此得矩阵A为:A=00000002100000021230002225020001822000000000上述矩阵中仅有8个元素不为零,表明这些区域中有空洞存在,各非零元素对应的空洞位置与图2中的阴影区域一一对应.6对减少波源和接受器问题的讨论有两点理由,说明只根据由Pi发出的弹性波到达Qj的时间ti,j(i,j=1,7)是不能确定空洞的位置的:理由1:如果存在平行于A B连线方向的若干个空洞,其总长接近240米,且空洞的洞径在沿垂直于A B的方向上接近相等,则因这些洞引起的、由各Pi发出的弹性波到达所对应接受器的时间延迟都近似相同,此时便不能确定空洞存在的上下位置.理由2:过P2,P3,P4分别作P1Q7,P2Q7,P3Q7连线的垂线,高分别为h1,h2,h3,如图3.021数学的实践与认识31卷获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657h1=40sin(?4)=28.3(米)h2=40sinQ7P2P3h3=40sinQ7P3P4因Q7P3P4Q7P2P34,所以h3h2h128(米).同理有h3h4h5 28(米),即在波源附近存在直径大于28米的空间区域,这些空间区域是仪器的精度可以探测到但却因减少波源和接受器的个数而使波束线无法达到的死区,如在这些区域中有空洞存在,则将被漏测.由对称性分析,在接受器附近也存在类似的情况.在PlQl直线和P7Q7直线中点附近20米的地方,也是仪器测量的死区,如果存在空洞,也无法探测到,所以仅靠纵向探测装置是不行的.要想保证确定空洞的位置,可分别在R1R2的中点,R4点和R6R7的中点各设置1个波源,CD边对等地安放了3个接受器,由作图法可知,如此既可解决理由1中提出的困难,又能消除A B边和CD边附近的死区,按此设置使波源和接受器减少4对.7对模型的评价和改进本文的方案1采用连线方法,将空洞可能存在的区域用图标示出来,然后通过简单计算确定空洞的位置及近似的洞径,模型直观,计算简单.方案2先将任一波束线上测得的空洞总长平均分配给所经过的各方格区域,而后对每一方格区域所分配的诸平均洞长再求几何平均值,作为空洞存在与否的判据,所依赖的假设少,结果合理可信.但两方案均依赖于平板的分区,若空洞的分布跨越多个方格区域,则应寻求更为普遍的模型与算法.Exploring CavityZOU Jian2guang,L I U Dan2juan,ZEN G De2gang(Yueyang NormalU niversity,Yueyang414006)Abstract:Two schemes were proposed in this paper.The method of connecting two pointsw ith straight linewas adopted in thd first scheme based on data analysis,the position of cavitiesbeing found w ith smaller calculation amount.By calculating geometrical average value of cavitysize,the position of cavitieswas found in the second scheme.1211期邹建光等:空洞探测获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657