2023数学三真题解析（一等文）.pdf

2023 考研数学考研数学三三真题及解析真题及解析 老王（王博）老王（王博）一、选择题：一、选择题：110 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1已知函数()(),lnsinf x yyxy=+，则（）.（A）()0,1fx不存在，()0,1fy存在（B）()0,1fx存在，()0,1fy不存在（C）()0,1fx()0,1fy均存在 （D）()0,1fx()0,1fy均不存在【答案】（A）【解析】本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f=()()()()0,1000ln 1 sin1sin1,10,1sin1,0limlimlimsin1,0 xxxxxf xfxfxxxxx+=故()0,1fx不存在()()()0,1110,0,1lnlimlim111yyfyffyyyy=，()0,1fy存在，选（A）2.函数()21,0,()11 cos,0.xf xxxx x=+的一个原函数是()(A)2ln(1),0,()(1)cossin,0.xxxF xxxx x+=+(B)2ln(1)1,0,()(1)cossin,0.xxxF xxxx x+=+(C)2ln(1),0,()(1)sincos,0.xxxF xxxx x+=+(D)2ln(1)1,0,()(1)sincos,0.xxxF xxxx x+=+【答案答案】(D).【分析分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解详解】由于当0 x 时，()()2()1 cos d1 sincosF xxxxxxxC=+=+w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 由于()F x在0 x=处可导性，故()F x在0 x=处必连续 因此，有00lim()lim()xxF xF x+=，即 121CC=+.取20C=得2ln(1)1,0,()(1)sincos,0.xxxF xxxx x+=+应选(D).【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与 2016 年真题的完全类似，在真题精讲班系统讲解过.原题为 已知函数2(1),1,()ln,1.xxf xxx=则()f x的一个原函数是()(A)2(1),1,()(ln1),1.xxF xxxx=(B)2(1),1,()(ln1)1,1.xxF xxxx=+(C)2(1),1,()(ln1)1,1.xxF xxxx=+(D)2(1),1,()(ln1)1,1.xxF xxxx=+3若微分方程0yayby+=的解在(,)+上有界，则（）（A）00ab，（B）00ab，（C）00ab=，（D）00ab=时，方程的通解为1212()eer xr xy xcc=+，当12,c c不全为零时()y x在(,)+上无界.当12,c c不全为零时()y x在(,)+上无界.当0=时，1202arr=，方程的通解为1112()eer xr xy xcc x=+，当12,c c不全为零时()y x在(,)+上无界.当0 时，21,2422aba iari=,方程的通解为()212()ecossinaxy xcxcx=+只有当0a=，且240ab=时，lim()lim()0 xxy xy x+=，此时方程的解在(,)+上有界.故选（C）【评注】此题关于x +方向的讨论，在基础班习题课上讲解过，见基础班习题课第八讲常微分方程第 15 题.w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 4.已知()1,2,nnabn是未知参数，若 12a XX=为的无偏估计，则a=（）（A）2 （B）22（C）（D）2【答案】（A）【解析】()1220,2NXX，记()1220,1NXXU=w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 221222011|ed2ed22222uuuuXEuXUuE+=222022ed()2uu+=由题设()12E a XX=得2a=，故2a=，故选（A）【评注】此题在选择题中属于难度较大的题，求两正态分布绝对值的数学期望，我在暑假强化班重点讲过，强化班讲义第四讲题型二类型 3，例 2，原题为【例例 2】设二维随机变量()1,1,2,1,4,8X YN，求|2|EXY及|2|DXY 二、填空题：二、填空题：11-16 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案写在答题纸指定位置上。请将答案写在答题纸指定位置上。11极限211lim2sincosxxxxx=【答案】23【解析】方法 1 原极限232211 11 11lim2162xxxoxxxx=+22221 11 112lim623xxoxxx=+=方法 2 令1xt=原极限2300112sincoslim2sincoslimttttttttttt=2002coscossin2sinsincos42limlim3663tttttttttttt+=12已知函数(),f x y满足()22ddd,xyyxfx yxy=+，()1,14f=，则()3,3f=_.【答案】3【解析】由全微分的运算法则，知()22,xyfx yxy=+，()22,yxfx yxy=+做偏积分得()()22,darctanyxf x yxyxyy=+w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 对y求偏导得()()()222221,1yxxfx yyyxyxyy=+=+故()0y=，()yC=，由()1,14f=得2C=(),arctan2xfx yy=+，于是()33,3arctan32623f=+=+=13()202!nnxn=.【答案】ee2xx+【解析解析】令22420()1(2)!2!4!(2)!nnnxxxxS xnn=+，则 213211()(21)!3!(21)nnnxxxS xxnn=+，2()()1e2!nxxxS xS xxn+=+=.解一阶线性微分方程 ()()exS xS x+=得1()ee2xxS xC=+.由(0)1S=知，12C=.则ee()2xxS x+=.【评注】这是强化班讲义第九讲【题型四】幂级数求和例 22 原题.数字都一摸一样.14.设某公司在t时刻的资产为()f t，从 0 时刻到t时刻的平均资产等于()f ttt，假设()f t连续且(0)0f=，则()f t=【答案】()212ett+【解析】由经济学平均资产的含义及题设知()0d()tf xxf tttt=整理得()20d()tf xxf tt=，求导并整理得()()2ftf tt=e()e()2 etttf tf tt=积分得()e()2 ed21 etttf ttttC=+()()21etf ttC=+,由(0)0f=，得2C=()()212etf tt=+w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 15已知线性方程组13123312211,0,20,2axxxaxxxxaxaxbx+=+=+=+=有解，其中,a b为常数，若0111412aaa=，则11120aaab=【答案】8【解析】由方程组有解知()(),34r Ar A b=（系数矩阵只有 3 列）于是,0A b=故()()1 44 401111011111011221111280120012002aaaaaaaaaabaabab+=+=+=111280aaab=【评注】此题考查了非齐方程组有解的判定，考查了行列式行列展开定理.本身难度不大，具备一定基本功可顺利解出.16设随机变量X和Y相互独立，且()()1,2,XBpYBp,()0,1p，则XY+与XY的相关系数为 【答案】13【详解】【详解】由()()1,2,XBpYBp，()1DXpp=，()21DYpp=()()()()()cov,cov,cov,cov,cov,XY XYX XY XX YY Y+=+()()()1211DXDYpppppp=()()31D XYDXDYpp+=+=，()()31D XYDXDYpp=+=故()()()()()cov,11313XY XYppppD XYD XY+=+【评注】解题模板班概统编综合练习【5】【5】设随机变量12,X Y Y 相互独立，11(1,),0,1,2XBYU20,1YU.令12,(1)UXY VX Y=w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠(I)求ZUV=+的密度函数()Zfz;()求U与V的相关系数UV 三、解答题：三、解答题：17-22 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本题满分 10 分）已知可导函数()yy x=满足()2eln 1cos0 xayyxyb+=，且()()000yy=(I)求,a b的值(II)判断0 x=是否为()y x的极值点.【解析解析】(I)在原方程中代入0,0 xy=得0ab+=原方程对x求导得()cose2ln 1sin01xyayyyxy yx+=+（），代入0,0,0 xyy=得10a=综上有1,1ab=(II)对（）式代入1a=两边继续对x求导得()()()22sin1cose22ln 1sin01xy yxyyyyyxy yx+=+代入0,0,0 xyy=得()020y=，故0 x=是()y x的极大值点.【评注】本题较简单，只要会求导和简单了解极值的判定方法即可顺利解出【评注】本题较简单，只要会求导和简单了解极值的判定方法即可顺利解出.18（本题满分（本题满分 12 分）分）已知平面区域()21011Dx,yy,xxx=+(I)求D的面积(II)求D绕x轴旋转所得旋转体的体积【解析】(I)211d1Axxx+=+1221d11xxx+=+1211d11xx+=+()2111ln1ln 12xx+=+=+(II)12dyVx+=()211222111dd11xxxxxx+=+11arctan14xx+=【评注】本题是常规题与【评注】本题是常规题与 2020 年数二第年数二第 18 题和数三的第题和数三的第 12 题完全类似，在真题精讲班重点讲过题完全类似，在真题精讲班重点讲过.原题原题w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 为（为（20 数二（数二（18）设函数()fx的定义域为()0,+，且满足()2221221xxfxx fxx+=+求()fx并求曲线()13,22yfxyy=及y轴围成的图形绕x轴旋转一周的体积.（20 数三（数三（12）设平面区域21(,),0121xDx yyxx=+，则 D 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为_.19（本题满分（本题满分 12 分）分）设平面区域()()2211Dx,yxy=+，计算221d dDxyxy+【详解】由于积分域关于x轴对称，122221d d21d dDDxyxyxyxy+=+1D为D在x轴上半部分，做221xy+=分1D为左右两部分，左侧为2D，右侧为3D，1221d dDxyxy+()()2322221d d1 d dDDxyxyxyxy=+()()21222221d d1 d dDDxyxyxyxy=+其中()()()212cos223200031d dd1dd1dDxyxyr r rr r r+=+2323182coscosd3 63=+()()2223381 cos2d1 sindsin183=+32233181sin2sinsin1823233=+2163 3994=+()()12cos222001 d dd1 dDxyxyrrr+=32208cos2cosd3=8 211623 32 292=故1222163 316163 31d d2994921892Dxyxy+=+=+221d dDxyxy+1223221d d3 399Dxyxy=+=+【评注】本题考查含绝对值的分段函数的二【评注】本题考查含绝对值的分段函数的二重积分，见强化班第七讲【题型四】例重积分，见强化班第七讲【题型四】例 2，原题为，原题为【例例w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 2】计算+Dyyxd222,其中D由422+yx所确定.20（本题满分（本题满分 12 分）分）设函数()f x在,a a上具有二阶连续导数，证明(I)若(0)0f=，则至少存在一点(,)a a，使得21()()()ff afaa=+；(II)若()f x在(,)a a内取得极值，则至少存在一点(,)a a，使得21()()()2ff afaa.【证明】()22()()()(0)(0)(0),2!2fff xffxxfxx=+=+分别令xa=和xa=得 211()()(0),02ff afaaa=+222()()(0),02ffafaaa=+两式相加得212()()()()2af afaff+=+又由于()fx在,a a上连续，故()fx在12,上必有最大值M，最小值m 12()()2ffmM+，由介值定理知，存在12,(,)a a ，()12()()2fff+=，故21()()()ff afaa=+()设()f x在0(,)xa a 处取得极值，由费马引理0()0f x=()()()22000000()()()()()()2!2!fff xf xfxxxxxf xxx=+=+分别令xa=和xa=得()2100()()()2ff af xax=+，10a()2200()()()2ffaf xax=+20a 两式相减.并取绝对值，得()()()()222212120000()()()()|()()|2222fffff afaaxaxaxax=+.记12|()|max|()|,|()|fff=w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 则()22001|()()|()2()2f afafaxaxaf+=21()()()2ff afaa【评注】此题两问的思想与老王二模卷中证明题如出一辙，原题为（19）设函数()f x在0,1上具有二阶连续导数，且(0)(1)0ff=.(I)证明至少存在一点(0,1)，使得1()2()(0)(1)24ffff=+；(II)证明至少存在一点(0,1)，使得()(1)(0)4fff.21（本题满分（本题满分 12 分）分）设矩阵A满足对任意12,x x均有112321233232xxxxxxxxxxx+=+(I)求矩阵A(II)求可逆矩阵P与对角矩阵，使得1P AP=【详解】(I)由112312123232331112211011xxxxxxxxxxxxxx+=+=对任意12,x x均成立 知111211011=(II)由11|21(2)(2)(1)011110=+=+=+EA得 特征值12=，22=，31=由3110211020010001111EA得2=对应的特征向量为()10,1,1T=，；由1110422013100131030=EA得2=对应的特征向量为()24,3,1T=，w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 由212110200110010000=EA得1=对应的特征向量为()31,0,2T=，令()12343001,1112=P ，则1000002210=P AP【评注】本题第(I)问只要能将右端矩阵写成矩阵乘向量的形式即可，第(II)问也是常规题，见强化班第五讲题型四例 2，原题为【例例 2 2】设矩阵与B相似,其20010022,02031100 xy=AB中.(1)求x和y的值.(2)求可逆矩阵P,使得1=P APB.22.（本题满分 12 分）设随机变量X的密度函数为()2e(),e1xxf xx=+，令eXY=（I）求X的分布函数.(II)求Y的概率密度(III)求Y的期望是否存在？【解析】（I）()()()2de11 e1 edtxxxttf ttF xt=+e1 exx=+(II)()()()eXYyP YFyPy=当0y+=其它(III)()()()220001 11ddln 1111yyEYyyyyyy+=+=+Xw w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠 或直接由反常积分审敛法说明反常积分发散即可.【评注】本题虽然给了三问，但都比较简单见 强化班第二讲题型二【例例 2】设随机变量X的概率密度为|()()xf xAex=+，试求：（1）系数A；（2）(01)PX；（3）X的分布函数 基础班第四讲【例例 4】设随机变量X密度函数为211()1f xx=+，()x +，求EX 解题模板班【2 2】设随机变量X的概率密度函数2(),xf xaex=+.(II)求2max,YX X=的概率密度函数.本质上与这几道题的思路如出一辙！w w w.y i d e n g w e n.c o m 官网输入兑换码W 5 0 7 5 下单2 4 课程优惠