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1997年数学（三）真题解析一、填空题(1)【答案】-f(In x)+ff(x)/(ln x)e/(x)dx./(x)【解】由 3/=-厂(In 无)+/(z l/Xln z,得xre/-r)ndy=-/z(In x)+)/(ln x)e)dr.（2）【答案】7T4 7T【解】令 A=f fjc)djr,则于(无)=-+A J_ f,Jo 1+JC两边从0到1对工积分得抄+町;11+工戸也=于+于A,解得A=.4 tt（3）【答案】兀=C+（t 2）2（C为任意常数）.【解】yt+i yt=0的通解为yt=C,令 yl+yt=t2的特解为 y（）（t）=（at+6）2,代入原方程得 a=1,b=2,故方程yt+i-yt=t2的通解为兀=C+（t 2）2（C为任意常数）.（4）【答案】麗 r 0,=1 0,|A|0,因为|A|=1-，所以一2 V t V.(5)【答案】z,9.【解】由 X】H-X9 N(0,92)得*(Xi+-+X9)-N(0,l),由 Y,N(0,32)得N(0,l)(J=1,2,-,9),于是+（并H-比）X2（9）,二、选择题（1）【答案】（B）.【解】方法一由 lim(无)sin x sin(1 cos x)2 jc6=lim 5=lim(1 COS X)得右広T-*0.X-r-*0 6无 HfOz(2sin肯)i=Hm 5=%，lo 246jc 5因为g(w);0川，所以/（x）是gQ）的高阶无穷小，应选（B）.方法二 当t Ta 0 时，sin厂厂，则flCOS X/(jc)=sin/2 d Z (1 cos 工)J 0 31 65 6-I而g(z)=?+?-/，故f O 为g(z)的高阶无穷小，应选(B).5 6 5(2)【答案】(C).【解解】因为/()为偶函数，所以仆工)为奇函数，厂(工)为偶函数，故在(O,+*)内有 fO o,/(H)o,应选(C)(3)【答案】(C).【解解】方法一 令A=(a 1,a2),则厂(A)=3,/I 0 1(a 1+2ot 2，2a 2+3x 3,3a 3-|-x!)=A I 2 2 0o3 31 0 1/I 0 1由2 2 0=12 H0得2 2 0可逆，0 3 3 0 3 3从而厂(a i+2 a 2 9 2 a 2+3ct 3,3a 3+u】)厂(A)-3,故 a 1+2a2,2a2+3x3,3+22a 3,3a,+5a 2 5a.1)=A 11-35,s225/z123 由 r(A)=3得，厂（B）=r 1-35h22-5/1 2 3因为1 3 5=0,所以r（B）3,即5+业+血，2a】一3血+22血，3+5心一 5业 线性相关，排除1 22-5（D）,应选（C）.(4)【答案答案】(D).【解解】由A,B同阶可逆得r(A)=r(B)=，故存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,应选(D).事实上，矩阵乘法没有交换律，两矩阵秩相等，两矩阵不一定相似及合同，故(A),(B),(C)不对.【答案】(A).【解解】PX=Y=PX=1,Y=1+PX=1,Y=1=PX=1PY=1+PX=1PY=1=*,应选(A).事实上，PX+Y=0=PX=1PY=1+PX=1PY=1=*,PXY=1=PX=Y=y,所以(B),(C),(D)都不对.三、【证明】limQ(x)=AlimWx+(1 讥一叮丁J-0 T-*0由得=Alim+(1-S)LXI才+(15门工 一1+(】一讥一工Aev 8KX+(1-1lim-rf 0 X=lim SKxnK (1 ClnLx-*0=-nKs lnL-=-lnKaL1_a,limQ(_r)=AkSl1S=AKL1-6=Q.四、【解解】dud7dzd7f+fz 譽+fexy y=0两边对h求导9得尹(y+工等)警=0 9解得 dy=夕2dx re y 1 工歹ez xz=0两边对jc求导9得ez血d7学=o,解得 arcdz _ z dr xz x故五、【解解】d“d7设政府征税总额为T,则T=tx,XZ 一 X(1)利润函数为L=R 一 C T=px 一(3z+1)tx=(4 一 t)戈0.2x2 由学=(4 z)0.4j:=0,得无=(4 t),dx 乙1,因为器-0.4 0,所以当销售量工5=(4 I)时，该商家利润最大.一 N 3C=f+fz2匕+门N5(2)T=tx=(4r t2),AT 5由r=(4 2t)=0 得 t=2,At 2因为=-5。+所以FQ）在工=0处连续，从而FQ）在0,+oo）上连续；乂+1/（工）一广于（刀曲当工 0 时，F（z）=-,因为八乂）在0,十处）上单调不减且/（0）$0,所以当広$0时，/（）$0,从而tn f(t)dt x f(x)dz=j;n+1/(j;),J 0 J 0于是当z 0时，FQ）Mo,即FQ）在0,+oo）上单调不减.七、【解解】（1）如图所示，抛物线y=工？在点Q,1,1）处的切线为 y 1=2（乂 一 1）,即 y=2jc 1.令y 0得卩2（*，0）点Q的坐标为Q2（y），抛物线y=工2在点Q处的切线为y 右=2.*（工*）,即 y=z_*,令y=得P3（右0），点Qs的坐标为Q：（*），由归纳法得P,1,2,-),则万可=11卜 尸”UqJ i/1/1/iPPl七题图-1由Q,P”=(OP)2=尹(”=1,2,-)得_ _ _/1 2n2 q1p1+q2p2+-+qpzi+-=14_ II14八、【解解】由 jj/(+)dzdy=dojo 厂/(*广)dr=2兀(+厂)dr，得/(t)=e+2厂/(存)dr,两边对t求导得/z(z)8tf(t)=87re4nz,解得./(?)=(奴占 eEdt+0)片=(4兀厂+C)e2由/(0)=1 得 C=1,故 f(t)=(47t(2+l)e4n,.九、（1）【解解】PQ =（丘a 1 AaaT A*a+|A 16A a0|A|(6-aTA_1a)(2)【证明】|PQ|=|P|=|A|2 (b-arA-a),由|P|=|A|HO,得|Q|=I A I (b-arA-a),故Q可逆的充分必要条件是丨Q丨H 0,即 rA 工b.十、【解解】(1)设矩阵A的属于特征值3的特征向量为a3=(厂，工2，乂3)丁，a3=0,(j?!x2 十広3=0,因为At=A,所以 即lala3=0,i 2_r 2 工3=0.该方程组的基础解系为(l,0,l)T,故属于特征值3的全部特征向量为03=&(l,0,l)T(其中怡为任意非零 常数).1/I0(2)令 P=-1-2 0,由 P AP=P20得 1-1 Jo03，5213十一、【解解】当当z1时，F(z)=0；1 工+1当一1 w 乂 1 时，F(z)=PX=1+PI 0,由XE(5)得几(工)=Io,工 w o,(5严，j-0,由 Y E(5)得/y(3-)=(0,y 0,f工，y)=f x=由X,Y独立，得(X,Y)的联合密度为25”少，xO,y 0,0,其他，T的分布函数为F(Z)=P T t=jj f(x,y)dar dy,当 t 0 时,F(z)=0；当 t 0 时，F(r)=25 P e_5j eSydy=5 P(e5j-e)djr=1-e5/-5ze-s,J 0 J 0 J 0(0,t 0,/0,t 0,f+i r+i+8 iE(T)=t 25te5,dt=(5z)2e5,d(5z)=4 t2 edt=T(3)=-Jo 5 J o 5 J o 5再由 ECT2)t2 25teck=召化一厲)=穆 严-，山=丄 1X4)=Jo Z5J o 25J o 25 25得 D(T)=E(T2)-:E(T)2=-=.