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2016年数学（三）真题解析一、选择题（1）【答案】（B）.【解】如图所示（#）的零点从左到右依次为工】（1）口2,工3.)O,z V 厂，由(.得=g为/(攵)的极大值点;0,!2 1(T(_r)V 0 i C x 1,由(，得x=1不是/(J7)的极值点；(工)0,1 V#0,乞2 V 27(2)0,工 2 3V 03，得z=為不是fa）的极值点,故/（J?）有两个极值点.厂（鼻）在2=1处不存在，又/7x）切线水平对应的点为乂。及工3，即/（aro）=0,/z/（x3）=0.tfO V0,h 1,由（得（1,/（D）为曲线y=/（x）的拐点；”（工）0,1 工 工。工）0,12乂0，由（”得Q，/（広。）为曲线夕=yQ）的拐点；（f（JT）o,0 g）V 0,a：o C x V g，由（得（工3/（工3）为曲线y）的拐点,|厂（工）0,工 工3即夕=/（）有3个拐点，应选（E）.（2）【答案】（D）.【解】则夕1)+(于)-2=于，应选).(j：y)(x y)Jc y(3)【答案】(B).【解】因为D1区域关于夕=x对称，所以人=jj R工 一 y djr dy=jj y jc dx dj=JJ x y cLz dj/,于是丿 i=0；Di D.D.令Do=(z,y)|0工1,工2夕，显然Do关于y=jc对称，J 2=JJ/x y dz Ay=JJ/x y dx dj/+JJ r y dr dy=JJ/jc y dz dy 0；D2 D0 D2D0 D2D0丿3/x y dj?dy+D3 do故J3 Jj V丿2,应选(E)./x y dg dy=/x y dj?dy=d3o/x y dj?djz 0,D3、D。H-F_ 4n a/tz+111/n+1=1L_a/?+1由 limS=1w-*o收敛,由正项级数比较审敛法得2n=li+1sin(n+&)收敛,1/+1sin（n+&）绝对收敛，应选（A）.（5）【答案】（C）.【解】由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得P P AP=B.AP=B.对 PPl lAPAP =B=B 两边取转置得PtAt（P_1）t=Bt,或（pT）TTAT（pT）T=bt,即人丁与M相似,（A）正确；由 P_1AP=B=B 得PATp=B 1，即 A-1 与 B 1 相似，（B）正确；由 P P APAP 及P A P 1，得 p i（A+A_1）P=B+B=B+B 1 1,即与B+BB+B 1 1相似，（D）正确，应选（C）.（6）【答案】（C）.1【解】方法一二次型的矩阵为A=a1111由 XE-AXE-A =aA a1-111 1-1A a1=(A 一 a-2)-1A a 一 1-1-1A a-1一 1 A 一 a11=(A a-2)=(A a 一 2)(A 一 a+l)2=0,得小0a+2 2=A 3=a 一 1.二:解得-2S0e3x-1【解】-h 2sin+nsin n-n-n sin =x sin x dx n n J o1.xo 3;cx d(cos j?)=x cos x o+cos jc dj?I 0 J o=cos 1+sin 1=sin 1 一 cos 1.(ID【答案】一d工+2dy【解】将x=0 9y=1代入得z=1.(工+l)z j/2=x2f(x N,y)两边关于无求偏导得+1)z=2jc/(j;z+x2 z 9y)(1n；),将工=0,j/=1,n=1 代入得 zx(0,1)=1;(乂 l)z y2=x2 f(x z 9y)两边关于y求偏导得(z+l)z：2夕=rZ_f(Z Z,3/)(Z，_y)，将 h=0,3/l,z=1 代入得 zy(0,1)=2,故 dz I(0,1)=dr+2djz.1 9(12)【答案】斗一 f.3 3e【解】令 Dx(x,y)则dj/0(0,1)Ddjc dy=2x2 ey dj?dy=2 D 丄f1+2入$+3入+4.o 3夕鼻一 dy oy2d(j/2)0丄卩0t e_f dz=-y23（13）【答案】【解】A-100043A4+入30_ 120_ 1A+10A 100-10=A 0 A-1+0 A-13 2 A+14 2 A+1A-10-1 1o-1=A A+L|2 A+13 A+1 J4 A+1+入+2)+3+4=A A(A 2=A4+A3+2A2+3A+4.?【解】前三次只能取到两种颜色的球，第四次取到的球不能在前三次中岀现.如第四次取到红球，则前三次中为两次白球一次黑球，或一次白球两次黑球，C；X C；X A；2_?（14）【答案】故所求的概率为P34三、解答题（15）【解】而limx-*01.4方法一 limCcos 2工+2 工 sin jcxx-*-0ln(cos 2x+sin x)4x.ln(cos 2x4-2xsin x)hm-4-.lnl+(cos 2_z+2_zsin z1)3 limx04 JC.cos 2x+2x sin x 1 lim4 X2cos 2jc+2cos x jc sin jc lim0X0.2sin 2工+2sin jc+cos xlimx*04z36 24sin 2工 一 3sin x x cos jc lim0=limx-*012z1 sin 2z 1 sin x cos x3 x 4 jc 12+1 故lim(cos 2无+2工 sin jc)x=e3x*0X方法二.4 I _i_lim(cos 2x+sin x)x=lim 1+(cos 2_z+2;r sin z l)c“nnHT(2丁)2(?丁)4 9由 cos 2z=1-1-o(a:4)=1 2+x4+o(z ),=片，故lim(cos 2x+2jc sin x)3 xo（16）【解】（I）由题意得dQdP _ PQ 120-PP整理得 罂+,J 口 Q=0,解得 Q=Ce_dP=C(120-P),dr 120 P因为最大需求量为1200,所以C=10,故Q=1200 10P.Q2(II)收益函数为 R=PQ=120Q-,边际收益为R(Q)=120 学.5当P=100时，Q=200,故当P=100时，边际收益为R(200)=80.其经济意义为：当销售第201件商品时所得的收益为80万元.(17)解】当0 VhV 1时，/(JC)=Cjc2 t2)dt f(t2 JC 2)At=JC3 JC3+-夂2(1工)Jo Jx 3 3_4 3,1 2J+三7；当 时)=f(J7 2 l2)di=JC2-9则/(J7)=50 V H V 1,Z$1.当0 V工V 1时，厂（鼻）=4工 当 _z1 时=2x.=2,即 yC（i）=2；工2 丄lim 少=lim-=2,即/；(1)=2,1+无1 L1+工_丄得厂(1)=2，于是十（工）=4x2 2r 92工90 V 无 V 19 Z$1.令厂（工）=0得2=*9当0 工 寺时,八工）0；当工 寺时，八工）。,故工=万为/（工）的最小值点,Z 乙 乙最小值为/(y)=y.C T H-t=U(18)解】/(z t)dt f(u)du=y(t)dt；J o Jo Jo(x Z)/(Od=jc J o Jo Jo原等式化为 M)d/=工 P/(i)di-+e_x-1,J o J 0 Jo两边求导得/(j:)=f f ex,J 0两边再求导得 f,x)从而 fCx)=血1卜5工+c=Ce ,1 ex+e_x由/(0)=1 得 C=，故 f(j：)=-.（19）【解】方法一因为lim2卄4 JCG+2)(2“+3)2“+2 X(/?+l)(2n+1)=工2,所以当|工|1时，幕级数绝对收敛；当|工|1时，幕级数发散.当工=+1时，因为(士 1)加+25+1)(2+1)1(n+l)(2n+l)/且收敛00 2卄2所以工=士1时，幕级数工；(丄:e 丄讥绝对收敛，故收敛域为-1,1.”=o(7?+1)(2n+1)严 2”+2记 SQ)=2&+1)(2“+1)，00 2卄1 00 oS(x)=2 工 1,SQ)=2h%=-(1 z 1).“=0 2/2+1 =0 1X因为 s(0)=0,S(0)=0,所以当工&(1,1)时，S(兀)=f S(h)cLz=ln(l+z)ln(1 x)?J oS(h)=f Sddz=(l+)ln(l+jc)+(1 z)ln(l工儿 1,又 S(1)=lim S(j:)=21n 2,S(1)=lim S(jc)=21n 2,x-*l 1)ln(l+jc)+(1 x)ln(l 一 x),1 C xjc=+1.当攵=1时，因为故 S(jc)=(1+JC21n 2，方法二由lim8an+l5=lim1/G+2)(2/?+3)1/G 十 1)(2+1)(+l)2n+2(n+1)(2tz+1)21得收敛半径K=1.占且右收釦所以幕级数n=0 令S（力）=工71=0(土 l)2n+2（丄丄、绝对收敛，其收敛域为-1,1.5十1）（加十1）工力+25+l)(2“+l)，则乂2卄2而工n=QS(八唱(2卄2)(2+1)2n+l 00 fn=0J f2 卄2 00匚仁+】sn=Q2n+1x2n+2x2n+22“+2x2n dr=z of OO(艺无2)drJo”=0=-ln(1+j;)ln(lz)(1 x 1),x X-dr0 -x2 1),故 S(h)=广 OO)=j(丫 g2n+1)dx)ln(l+z)+ln(l 工)(-1 _z于是 S(z)=(l+g)ln(l+_z)十(lz)ln(lz)(1工1)；又 S(l)=lim S(z)=21n 2,S(一1)-lim S(工)=21n 2,*1 工-*_1+(1+x)ln(l+2)+(1 jc)ln(l21n 2,一 1 V工 Z=1.X),1,（20）【解】（I）(A M)=/111 一 a0 卩11-a1 0 10ai r0-12a-1a+11a+12a 2o02a+2(2a 2因为AXAX =P=P无解，所以r（A）H r（A）,从而一a?+2a=0,于是a=0 或 a=2.I1 1-1i 0当a=2 时，（Ai“)0-131o 001 J此时r(A)=r(A)=2 y,x Y00_ 1010丄丄21=(2 2)cc 1+(2100 2)z 2+0a 3,故202=(1 2)a|+(1 2100)ot 2+Oa3,p3=(2 298)c!+(2 2)ct 2+Oa3.（22）【解】（I）区域D的面积为A=P（VT-2）d=J o 31303,（工，y）0,（z）G（D）设（U,X）的联合分布函数为G（“，z）,随机变量（X,Y）的联合密度为/a,y）=D,D.120F X 丄2 ck0772 3旳逅_丄 T _ T因为，所以U与X不独立.(皿)当 z 0 时，F(z)=0；当0 z 1时，F(z)=PZz=PU=O,Xy,Xz32 3dy=yz2 z3；当1 z 2 时，F(z)=1,0,z 0,yz2-Z3,OKI,故F(z)=2+2(Z-1)2(z-1)2,1 z 2,Li Li Lt Lt、1,z 2.(23)【解】(I)总体X的分布函数为FQ)=J_f(/)d/.当 h VO 时，F(h)=O；当 时,FQ)=1；工3工2 3当 9 9 时，F(z)=779 艮卩J 0&(/0,F(乔，1,z V 0,0 攵 V 0,Z$0.设丁的分布函数为Ft&),则Fr(r)=PT W/=P maxXi,X2 X3 t=PX1 W/,X2 W/,X3 Wt=PX tPX2tPX30,t e.随机变量t的概率密度为o v y e,其他.9/8 aa 10(n)EUT)aE(T)=/歹山=-6,E(aT)=&得 q=.