2014数学一解析.pdf

2014年数学（一）真题解析一一、选择题选择题(1)【答案答案】(C).【解解】对y+sin,x由由 lim =lim(1+sin)=1,lim(3/x)=limsin =0得曲线y=x+sin 有斜渐近线y=x，应选（C）.x（2）【答案答案】（D）.【解解】方法一 令=/(j?)g(j?)=/(a-)/(0)(l j?)/(l)jr且爭（h）=f 工）,当f工）$0时，申（z）=f（工）$0,曲线y=（p（工）为凹函数,因为卩（0）=0,甲（1）=0,所以当z G 0,1时，卩（z）W0,即7（工）g（工），应选（D）.方法二 如图所示，当f（工）A 0时,y=/（jc）为凹函数，因为y=gQ）为连接A（0,/（0）与B（l,/（1）的直线，所以/（攵）M g（工），应选（D）.方法点评：本题考查函数大小比较.利用凹凸性证明不等式是不等式证明的重要方法，设函数/（）在a,b上二阶可导，且/（r）$0（W0）,若 f（a）=/（6）=0,则当工 G _a,b 时，/（工）=0（$0）.（3）【答案答案】（D）.【解解】A=rcos 9,令.b=r sin 9,sin 6+cos 0O2=(r,(9)|守,则则0则j、=JZ dJroU，+，nS/(rcos 0,rsin(9)rdr H-Jn/(rcos 9,rsin(9)rdr,应选(D).(4)【答案答案】(A).【解解】令 F(a,b)=(jr a cos x bsin x)2 dj?(jc2+a2cos2jr+62sin2a：2ax cos x 2bg sin x+2absin x cos jc)dz=2(o2+a2cos2jc+62sin2jr 2bx sin 工工)d_zJ o由_A 33 71_A 33兀2 3=7t3+2a2+4/cos2jc dx+21)11 00 1两列不成比例，所以k I 反之，若a】+kaA,ai+加3线性无关,a】,a2.3不一定线性无关，如a,a2线性无关,a 3=0.显然a(+ka3,a 2+/a：j线性无关，但a ,a,a,线性相关,应选(A).(7)【答案答案】(E).【解】由F(B)=0.5得P(巨)=0.5,由 A 相互独立及减法公式得 P(A-B)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5P(A)=0.3,则 P(A)=0.6,从而 F(A)=0.4,于是 P(B-A)-P(AB)=P(A)P(B)=0.4 X 0.5=0.2,应选(E).(8)【答案答案】(D).1 f+1【解解】(,),)=：/1(j；)+/2()d3；=yE(X1)+E(X2),02 cos2 j;dj?+4620sin2 jc dr 4b jc si0 J 0rf.2 7Tsin x dj?一 4b o 2-sin x dxo+兀az+id,一 4k6,F：=2iza=0 9.得 a=0 9 b=2 9Fb=2tcZ?一 4tu=0A=F：由 AC-B2 应选(A).(5)【答案答案】(B).【解解】2tt,0b0dB=F鴛=0,C=F；b=2 兀，0且 A 0 得 a=0,b=2时，F(a,b)取最小值，故5=0,山=2,a 01)a 0 h=a0 d00 c 0c 0dc 0 d=4兀？0aba0000d0=一 ad ad 一 be)+be ad 一 be)=一a1 d.2+2a bed 一 b2 c2=一(ad be)2,应选(E).(6)【答案答案】(A).【解解】若线性无关,I1由(a】+Z?a3,a2+/a3)=(a】,a2-a3)001因为(!.a2,a3)可逆9所以a十ba 3,a 2+/a 3的秩与矩阵0為秩相等，因为11=2,故 a +ba3皿2+心3线性无关.r0kE(Y2)=*E(X1)+E(X2),显然 E(YQ=E(Y2).i r+iE(Y!)=-y2LfAy)+f2(y)ldy=-E(Xh+，Z J 8 Z1 1 1 1D(Y1)jE(XD+E(Xl)-E(X1)T-E(X2)T-ECXJECX,)=D(Xi)+0(X2)+*|：E(XD+E(X；)-*E(Xi)E(X2),-jDCXJ+jD(X2)+*E(Xi-X2)2,D(y2)=jEDCXj)+D(X2)J,显然 DCYJ D(Y2),应选(D).二二、填空题填空题(9)【答案答案】y z 1=0.【解解】F=jj2(1 sin y)+j/2(1 sin x)z,n=(2h(1 sin y)j/2 cos,2(1 sin 工)一工cos y,1),在点(1 9 0 9 1)处的法向量为II=(2 9 1，一 1)9切平面为7T：2(.z 一 1)一 y 一(n 一 1)=0,1 卩 2工y 一 z 1=0.(10)【答案答案】1.【解解】由/(工)=2(工一1)口 G 0,2得/(工)=(工一1)2+C9J：G 0,2,因为/(0)=0,所以 C=1,故/(7)=力2 2鼻 M G 0,2，/(7)=/(-1)=-/(1)=1.(11)【答案答案】工尹工尹+】.【解解】xyf+3/(In 工ny)=0 化为岁+In =0,djr x y令“=2,则“十工典“in =0,变量分离得-石血_,、=主x ax 况(Inzz 一 1)x积分得 ln(ln w 1)=In jc+In C，艮卩 In u=Cx+1,原方程通解为 y=x eCj+1，由 j/(1)=e3 得 C=2,故 3/=xex+x.(12)【答案答案】Tt.6.x+y dz=Lz=cos t,【解解】方法一 令5j/=sin,(起点t=0 9终点t=2tt),则n=sin 192n f nsinLck+sin t(cos t)dt=sin2zdz+sin t(cos)df 0 J 7TL=2 sin2 tdt=4 2 sin2 tdt=nJ 0 J 0方法二 设截口面上侧为工，则n=(0,1,1),cos a=0,cos=丄,cos 7=丄，由斯托克斯公式得 V2 V2L01 1do-+3/dz=1133x0而 dS=a/1+z.2+zy djr dj/=麗d_z djy,所以djr+j/dz=丄dS=dx dj/=k.L 7(13)答案】2,2./I 0【解】A=0-12,A =a2 4,a 20丿 丿因为A的负惯性指数为1,所以|A|0.由|A|0 得一2aV2.若|A|=0 得 a=2 或 a=2,当a=2时，由E-A|=0得儿=一3,入2=0,入3=3,负惯性指数为1;当a=2时，由|XE-A|=0得入1=一3,入2=0,A3=3,负惯性指数为1,故一2 a o,故X=为函数y=/()极小值点9极小值为y=2.cLz 9将（17）【解解】3y2工=1,y=23 j：azz=e cos y ff e2j cos y ff，,3x带z I 32 z _ 2工胃=e f，dx oya2 Z d2z 令况=e cos y 9 由-_7-7=(4z+eT cos y)e2J 得3jc dy f2=4/()+”，或 y()V(“)解得/(“)=Ge+C2J 土，e工 cos y /+e2r sin2 y/9U 9G+c2=0,由/(o)=0,yz(0)=0 得丿I 2 C i+2 C 2故 f(u)=7-(e2u e2u)-u.Io 4解得G=_寺C=命,1方法点评：本题考查偏导数与二阶常系数非齐次线性微分方程.偏导数与微分方程结合问题是一种综合和重要的题型，首先按题目要求计算出相应的偏 导数，根据给定的等量关系式将偏导数代入等式中，整理得微分方程，再根据微分方程的类型 对微分方程求解.（18）【解解】方法一 令X0：z=l（2+j/2 1）,取下侧，其中X与/围成的几何体为0,由高斯公式得（工一1）3djdz+（j/1）3dzda;十（z 1）djr Ay=Jjj3（工 一 1）2+3（.y 1）2+ldv n由三重积分的对称性与奇偶性性质得J_zch=0,JydQ=0,n n从而/=3（于+夕2）6工6j/+7dp=JJ3（工彳+夕?）+7血n n臥(3 厂3+7r)dro3(jc 2+J/)+7du=dz deJ o J o J odZ f3 2丄7T+7Zo0dz=2兀T+I=一 4开 9由于IIx 一 l)3dj/dz+(y 一 1)3 dzdjr+(z Ddx dy=jjz 一 1)djr dj/=0,故/=jj(jc 1)3dj/dz+(3/l)3dNcLr+(z 1)djr dj/=4兀 2方法二 由z x2+y2得字=2z,字=2，曲面的法向量为=(2z,2y,l),dx dy2oc _ 2ycos a=/1+2+4j/29 cos%/1+4jc2+4y2cos ady dz=cos a dScos ycos y dS=2工 dr djy,cos7_1丿1+4工 2+4j/2cos y dS=2j/djr dy 9令 D=(z，jy)|x2 y2 0 1-13，o 4-3_4/I-210 11/o 03-4一一 1 11-3I1-20010010 0 110-20 1-3则方程组AX-0的一个基础解系为=（1,2,3,1）1（n）方法一I1由(A：E)=04-23-410I1-23-41001-11010 0 0-1101020-300104-31-101方法二2局一 13k 1 1ki6 2-23-4:10I1-20 5:4 12-31-1101()-010-2-1-3 101-3 i-1-41丿 丿001-3 i-1-4 1001；26T、10-2-1-3101-31-1-412k 2 3-3-12孔+13k 3+1（紅，紅，力为任意常数）.k2令 B=(X,X2,X3),得3=2 k 3紅一4则 AB E 等价于 AX】=ex,AX2=e?,AX3=e3,方程组AX】=e】的通解为（铝为任意常数），方程组AX2=e2的通解为Ck2为任意常数），-r6 紅+62-32k 2 3+=3-43紅一 4.1、0,、k2,方程组AXs=e3的通解为g为任意常数），为任意常数）.故B=一為 1+22b、13k!1方法三令B=工1 工2工4 力5S 8力3工6工9工12JC 3 2乂 6+3工 9 4无 12=0 9X 49由AB=E得x 5JC!2x 4+7 4工 10=1，J7 2 5+3工 8 4工 11=0 93C.7+JC io=0,工8+工11=1,力9+2 12=0,+2工4-3jcio=0,+2工5-3x I】=0,+2工6-12=1,久6解得2玄3一i+2 怡2+62k.、1 2k 2 33k 1 1 3怡 2 4故B=-k3-l2孔+1(紀，紅也3为任意常数).b k2方法点评：求未知矩阵一般有如下三种情形：(1)矩阵方程经过化简得AX=B或XA=B,其中A可逆，则X=A XB或X=BA 1；(2)矩阵方程经过化简得AX=B,其中A不可逆或A不是方阵，则一般将AX=B拆成几 个方程组，求每个方程组的通解，将通解合成矩阵X；(3)矩阵对角化法设A的特征值为入1,入2，入”，其对应的线性无关的特征向量为aa?,，a”，右 0 0 0 A 2 0令 P (a x,a 2,a,),P 可逆，且 P AP=.,00A 000入20于是A=P:P 0 0(21)【证明】11 10 0111 10 02令A=:9B=:11 10 0n由丨入EA|=0得A的特征值为入=入”_i=0,入”=”，由|入|=0得B的特征值为入=入”_i=0,入 因为At=A,所以A可对角化；因为r(OE-B)=r(B)=1,所以B可对角化，因为特征值相同且都可对角化，所以AB.方法点评：本题考查矩阵相似.设为两个“阶矩阵，若AB,则的特征值相同；反之，若A,B的特征值相同，两矩阵不一定相似，即特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件.注意如下结论：(1)若特征值相同，且A,B都可相似对角化，则A於；(2)若A特征值相同，但A,3中一个可相似对角化，另一个不可相似对角化，则两矩阵 一定不相似.(22)【解】(I)Fy(y)=PYy=PX=1PY y|X=1+PX=2PYWy I X=2当当当当=jPYy X=l+PYy X=2,_yV0 时,Fy(y)=0；0_y V 1 时，Fy(y)=*lWjy 2 时，Fy（）1,0,夕V0,0 3；1,故Y的分布函数为Fy（y）=V1 J V2,1,夕$2.2I0 y 1,（n）几（夕）=乂丄1 2,0,其他.E(Y)=1 3工,dj-o 42 Td_z i 4（23）【解解】（I）总体X的密度函数为=o2工-r-e飞十g=区工20,E(X)=*-|-00 xf jc)cLr=2+X 2。尹*4-Ze_z02#1 0,2=4!兀02+专e一方dz=e0 uE(X2)=0（11）设工 i 2，X 2，工”为样本x1,x2,-,x的观察值，似然函数为=0(2)=9.L（0）=y（,；0）/（工2；0丁（工”；。）=0,有limP 9 a丨$=0.”f 8