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2013年数学（三）真题解析一、选择题（1）【答案】（D）.【解】由 lim*2）=lim=0,得（A）正确；HfO X X,O（J7）O（J7 2）.O（H）O（g2）c A由 lim-:-=lim-=0,得（E）正确；ho x Ho x x由 limO2）二。2）=lim 匹孚+lim 匕=0,得（C）正确；x-*0 X 工0 X H0 X2 I 3取 J：2 o（JC）9 X 3=O x 2），因为 lim -2 =1工0,所以。（工）+o（工2）=0（工2）不对 9工-*0 X事实上 O（2）+O（J：2）=O（J7）,应选（D）（2）【答案】（C）.【解】显然一1,0,1为 2）的所有间断点.（一一1 严小一1 r Jn（工）_ r 1由塑工（工+l）ln（r）=JiHCz+l）ln（工）四心（工+1）111（工）一工巴y+1一，得工=1是无穷间断点，不是可去间断点.x1 1 ejlnj 1由凹+l)ln工=凹工(工+l)ln工lim-L1 Xxn jc(z+l)ln3C，得工=1为可去间断点.jc In jc=!忙(工+1山工T，x In(x)_乂 Cz+l)ln(H)x-o z(攵+l)ln(oc)x-o-2(z+l)ln(jc)而f(0)无定义，故工=0,2=1为可去间断点，应选(C).(3)【答案】(B).由limr f()+X X 1.-(-=lim X(j?+l)ln re zfo+(一一1limx-Olimx-*0 x(a：+l)ln h 严F 一 1I9得 lim/Cz)=1.X0严【解】由对称性得1|=0,13=0.12=jj Ly+(z)dcr0(因为 jy+(2)0),2i4 JJLy+(一2)册0(因为夕+(x)vo),应选(B).4(4)【答案】(D).【解】方法一令lim/a”=lim牛=A$0.当 A=0 时，取 0=1，存在 N0,当 zzN 时，|-y 0|1，从而 0 W a”0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因为工*收 n=1 n=1 九 n=l 兀敛，所以收敛，应选(D).n=1I-I 00方法二 取a”=-，显然a”a卄1,因为lima”=1#0,所以工(一1)一。”发散,(A)”8”=不对；取=-Fn(B)不对；/_ n-1 00 00，显然 丫(一 1)一0”=工n=1 n=1(一 1)”一】n2+当收敛，但S”不单调,nn取a1-+)書(二15，级数收敛，但当p 1时，vsxnpa=+,(C)不对，应选(D).(5)【答案】(B).【解】令A=1,。2,，a”)61121b 2“22blnk2n,C=(Y1 理2,，人)，bnb2b nn由ABAB=(7得Yi=611a1+b2a2-bnXan,y 2=6 12 1 22 2+*+b 2(X ,Yn=”ai+b2a2 H-bnan,即矩阵C的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示；因为B可逆，所以由=7得6一1=A,同理可得矩阵A的列向量组可由矩阵C的列向 量组线性表示，即A,C列向量组等价，应选(B).(6)【答案】(E).由AB,得矩阵A A ,B,B的特征值相同./Iah(20【解】令A=aba,B=0bJ1aJo0J显然B的特征值为入i=2,A 2=6,入3=0.1 a-1由|2E A =a 2 一 b a=一 4a 2=0,得 a=0.-1 a 1因为AB，所以r(A)=r(B),/I0I101而A 0b0-A Ob00J000(20B=10b00Jb取任意常数时,AB；总之，当a=0,b为任意常数时,AB,应选（B）.（7）【答案】（A）.【解】由正态分布的性质，得p.=F-2 2=（2）（一2）-20（2）-1,P2=P-2X2 p2处，应选（A）.方法点评：本题考查正态分布的性质.关于正态分布的随机变量需要掌握如下重要性质:设XN（，2），则（1）PX M=PX“=*；（2）士A N（O,1）；a弘vx“T宁）-（于）.（8）【答案】（C）.【解】由 PX+Y=2=PX=l,y=l+FX=2,Y=0+PX=3,y=-l,再由X,Y独立，得P（x+Y=2=px=iPy=i+Px=2Py=o+Px=3Py=-i12+24+24=_6应选（C）.二、填空题（9）【答案】一2.【解】因为点（1,0）在曲线y=/Q）上，所以/（D=0；又因为曲线y=/（a-）与曲线y x2 x在（1,0）处切线相同,所以厂（1）=（工？一 工）|乂=1=1,于是limz?/n-*oo兀+2(10)【答案】2-21n 2.【解】将 h=1=2 代入(z y)x=Jcy 9 得 z=0.(n yy=y 两边取对数 9 得 x ln(+y)=In x+In y,两边对x求偏导9得ln（N+夕）+将 z=1，夕=2,n=0 代入 9 得 I=2 21n 2.ox I(1,2)=2 21n 2.(11)【答案】In 2.r【解】In x(1+工)2In x1+H(1+JC)=ln=In 2.(12)【答案】(Cj+C2)ef(C1?C2为任意常数).【解】二阶齐次线性微分方程的特征方程为人I+P。,特征根为A 1=A2=+,故该方程的通解为夕=(G+C2工)e.C,C2为任意常数).(13)【答案】一1.【解】由街=ss，得A*=人丁，两边取行列式，得|A*|=(-1)3|A|=-|A 因为 IA*|=|A|1 2,所以 AA 2 2 =AA|,即|A 丨=0 或 IA|=1.1 一 cos 2x 1 一 cos-2-r cos x cos 2x -JC-X不妨设 Qn H O9 因为|A|=a n A n+a 12 A12+a 13 A13=+0JC 2limx-*-01 一 co2 X+limH f 01 一 cos 2工+limx*-01 cos 3h 14 9=空+空+万=7方法二由 COS7；=1-2!T 2 4-o(j?2)9 cos=1 9cos 3jc=1 一 j;+o(工)9也！得 1 一 cos x cos cos 3x 2,于是 n=2=7.方法三1 一 COS X cos 2工 cos limr f 0axlimx0sin jc cos 2h cos 3jc+2cos x sin 2工 cos 3x+3cos x cos 2工 sin Zxnaxn_1sin jc cos cos 3x limZf 0naxn_1丄2alimx-*02cos x sin cos 3工naxlimx-03cos x cos 2 j：sin_9_2 a十 八.1 一 cos x cos 2j?cos 3jc所以limr-0ax7=一，故=2卫=7 a(16)【解】方法一如图所不9卩工=兀Vy=7za2 a 37T1以 1(j/3)2 dj/=7TQ 3 06k 4=Ta由 V,=10V,得 a=7#方法二 Vx=7t1 Sjr A(工 3)2 djc=ci 3 0 5三(16)题图得 72=2，Q=7 因为当“=2时,X 2X 2naxn_1J 0 5JC 2Z$+o(/)94取9 h+dr U 0，a 9 由 dVy丄=2兀2 x3得VydVy=2tc0-7 T由匕10V,，得 a=7#.(17)【解】如图所示，由3/=3h 9得丄+y=8,y=6,由y=xy 3得、工+夕=8，A=2,无=6，于是D2x2 Axf3xIfdy+03 dx+J：416丁(18)【解】(I)收入函数为R(Q)=PQ=Q(60 匸驚)，总成本函数为C(Q)=60 000+20Q,Q2利润函数为 L(Q)=R(Q)C(Q)=40Q-60 000,dj?dj/=J(故该商品的边际利润函数为L(Q)=40 bOO(II)当 P=50 时，由 50=60 匸鴛，得 Q=10 000,L(10 000)=20,其经济意义为：当P P=50时，销售第10 001件产品时利润为20元嘉得Q Q(HI)令 L(Q)=40=20 000,由 L，(Q)=-|-0,得当 Q=20 000,即 P=40 时，利润最大.500(19)【证明】(I)方法一 取(j:)=/(j7)1.因为爭(0)=1。9工-*+8所以存在a 6(0,+),使甲(a)=0,从而/(a)=1.方法二 因为lim/()=2,所以存在c 0,使得/(c)1.工-*+8因为/()在0,c上可导，所以/()在0,c上连续，又因为f(0)1 y(c)，所以由介值定理，存在a c(0,c)，使得/(a)=1.(n)由拉格朗日中值定理，存在 e(o,a)，使/z(e)=/(a)/(Q)=丄.a a(20)【解】JC!X 2%c=x 3 X 4wc=(!o)tX 2+ax 4工2+G+工4ax iaz 3/2+ajc 3 ax I+2 I-4ACCAACCA =X 3 X 4 X 2 CiX 3一 X2+CLJC 3=0 9一 ax!+jc 2+a兀 4=19由AC-CA=B,得JC 1 一 X 3 一 X 4=1 9X 2 CL3C 3=b 此为四元非齐次线性方程组，欲使C存在，此线性方程组必须有解，设方程组对应的系数矩阵为D,则 0-1a000-1a0010-1-11a10a101一a01+a01a0010-1-1110-1-1101a01+a、01一a0b.01一a0b01一a0b,10-1_ 1101一 a0000001+a0000b 当a=-1,6=0时，线性方程组有解，即存在C,使ACCA=B.ACCA=B.001-11-1:o i10又 D=90000:02000 10,1rjCl+C2+1所以X=c1+c20+0_Cl10()Cl01()Co/C+C2+1 c!所以c=(G，C2为任意常数).C1 C 2 严1（21）【证明】（I）令X=%-r 3由/(j?!,X2，攵 3)=2（工1,x2，工3）(5 严pia-2(21,a2,23)-2 +Czi,攵2，工3)a3 3 b3严1(12”3)1-2匕=XT（2aaT+妙）X,得二次型/（厂，工2,工3）的矩阵为A=2aaA=2aaT T+pp+ppT T.（II）由 Aa=（2aa r+妙）a=2a,A0=（2（/（/+妙丁）0=0,得 a,0 为矩阵 A 的属于特征 值入1=2,A 2=1的特征向量.因为 r（A）=r（2aar+T）r（2aaT）+r（妙）=r（a）（0）=2 2Y=Jjx2y1 1fir,夕)dz dy=00 X(23)【解】(I)E(X)=12XAx-0*8 r-z f(h)dr=8 J I0 X=d*+ee7d02x2 dj?=0 o*8 Q2 _邑_ e*djco xe-/dt=3令E(X)=X，得参数0的矩估计量为0=X.(fl)似然函数为L(0)=f(J7!；(9)y(J72；9)f(X ；0)=0(_Z 1_Z 2 Z”)一3 其中 Xi 0(?=1,2,In L(0)=2nIn 0 9(-1-+工 i z 22n由存11 L(0)=字一右=0,得0”t)i=i jc i 12=1 i2n故参数e的最大似然估计量为9 n eIn jr z 9r(*+士+”+士)