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2011年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解解】方法一麦克劳林公式法r 3(3/)3由 sin x x o(工3),sin 3工=3工-o(工彳)，o!J!得 3sin x 一 sin 3工x3+o(z3)故 c=4M=3：应选(C).方法二 待定次数法丄).3sin x sin 3x 3cos x 3cos 3x由 lim =lim-=lim-口-工-*0 X 工十 X 工0 kxlim工一*03sin x+9sink(k-1)工1一 3cos x+27cos 3x=lim-1)(2)/t得 k=3,且lim 予)=4,故 k=3,c=4,应选(C).r f 0 X（2）【答案】（B）.【解解lim=lim工-*。JC了一f（0）_2/（a：3）-fmXX 3=y(0)2/(0)=y(0),应选（:B）.方法点评：本题考查导数的定义，本题虽然是+型的极限，因为/Xh）在y=0的去心邻 域内没有可导的条件，所以若采用洛必达法则求极限方法将是错误的.（3）【答案】（C）.【解解】/(?)=In|x|+In|工 _ 2|+In|x 3 ,令/（工）1_ _ 3川二 12工+11jc 1 x 2 x 3(j;1)(jc 2)(jc 3)得工=2 土眷，即函数/&）有两个驻点，应选（C）.方法点评：本题考查函数求导数及驻点的定义，很多考生对含绝对值的函数求导数 不熟悉，一般情况下，先将其写成分段函数，再分别求导数，但本题不需要这样讨论，事 实上（In|工|）=.JC（4）【答案】（C）.【解解】0的特征根为入1=入，入2=入，y y=eAj的特解形式为ax eAj yf，y e_A 1的特解形式为bx e_Aj,则 y=e+e-的特解形式为 r（aeAj;+beAl），应选（C）.101 淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程ypy V（iy）当f工）=Pn（x）ekx时的特解的形式.情形一：若&非特征根，则%（工）=（a。+a 口+）占；情形二：若怡与其中一个特征根相等，则jo（a：）x（a0+arx+a”z）ek,；情形三：若怡与两个特征根都相等，则yQ（x）=x 2（a0+UjX+a”H ）/.【答案】(A).驴=八広)g(jy),oxd Z r=f(JC)g(y),dy【解解】3 z 显然占OX(0,0)(0,0)=0,即（0,0）为函数z=/（%（）的驻点.=/(0)g(0),B=/（0）g（0），(0,0)“j dx 3yAC-B2=y(0)g(0”(0)g(0),则(0,0)为z=f)gCy)的极小值点的一个充分条件 为/(0)V 0,g(0)0,应选(A).(6)【答案】(E).(0,0)(0,0)=0 9 C【解解】当z G（冷）时，由sin X C cosx V cot x 得 In sin z V In cos z V In cot x,于是 In sin x J odr V In cos z dr J o.1 In cot x dx 艮卩 I VK V 丿 9应选(B).o方法点评：（1）积分限相同的几个定积分比较大小，一般比较其被积函数即可.（2）本题In sin x dx与|In cot x dx都是反常积分，z=0为其瑕点，0In sin x dx=xn sin x0Z 7 X COS X o_Josm xdx,因 为 lim x In sin x lim sin x In sin x=4imho+sin x r-o+1=0,又7 X COS X,.-djr 为 o sm x正常积分，所以4 In sin xdx收敛.J 01 In cot x dx oTln coshcLt-01 In sin x0tdlr 9因为 In cos x dx为正常积分，所以 J oIn cot xdx收敛9故本题即按正常积分比较大小的方法比较.0（7）【答案】（D）.再由 P?1=P29 得 A=P2PJ，应选(D)./I0/I0【解】由题意得B 110,E=（，01 PE=P2AP1，从而 A=PP02 一 12 19 1=lim-=lim2J In 2=n-j2，zf0 2 x*0cos x，得dr得limr 0(10)【答案】sin x.【解解】方法一由“+y=ee_Jr cos x dz+C)e因为夕(0)=0,所以C=0,于是y=e-sin x.方法二+y=0的通解为jy=Ce=Ce7.令原方程的通解为y=C(x)ex,代入原方程得C()eF=e解得C(z)=sin x+C,即原方程的通解为y=(sin+C)e_J,由夕(0)=0得C=0,故原方程满足初始条件的特解为y sin x.(11)【答案】ln(l+施).sin x+C)e_J:=Cex+e22xsin x,COS X,【解解】由由ds=dr=v 1+tan2 x Ax=sec x dj?9 得rsec x Ax=ln(sec x+tan x)=ln(1+a/2).0方法点评：本题考查变积分限函数求导、弧微分的公式、定积分的计算.需要熟练掌握曲线的弧长计算公式：(1)若 L:y=/(x)(a W 工 W b),则 ds=丿1+广(工)dr,s=a/1+f，2(x)dx；J a(工=(t)，_ CP _(2)若 L：则 ds=丿申(/)+0(/)ck,$=2(i)+0/2 Q)dt；=0(t)J a(3)若 I：r=r(0)(a W 0 W/3),则 ds=丿r(0)+r?(0)d0,s=|Jr 2()+r2(9)dd.J a(12)答案】y【解解】r+f-z f(工)chz=J OO J(*-J-OO、AxAx ei,dx=Xx e_Aj d(Ajc)A J o0t e_/=-T(2)=A1 r方法点评：积分区间无限的反常积分的计算，一般采用分部积分法，但很多情况下若采 用r函数的定义和性质计算将减少运算量，提高结果的可靠性.r函数的定义为：IXa)【例】r函数的性质为：F(a+1)=a r(a),卩(+1)=!，卩(*)=/.如：计算 104.淘宝店铺：光速考研工作室【解解】*4-00Tx e r dz=F02P(1I )-2/2【例2 计算*-|oo 2x2 er dx0【解解】2ex2d 丄丄0g 1 d 1 严严t e -dr 0 24t 24t efdt +1o 2 Z7(13)【答案答案】-【解】方法一极坐标法令x=rcos 9 9.则 y=rsin 9,D=(r,(9)dfsOW 厂 W 2sin 9/94 2 丿于是D方法二deT2sin 0厂3 sin 9 cos 9 Ar=0:sin(9 cos 0 de12 sin e 7r=迈.o区域划分xyAo+Jj xyda 9D2其中JJ=J ydx dj?D DDi*:心=+2在中，令jc=rcos 0，D2y 一 1=rsin 9 dd I r2cos 0(1+rsin 0)d厂J oo0W RW 厂 1)9 则xo7丄cos 6 H sin 6 cos 0)d04 2 cos ede+*2 sin 0d(sin 9)=+*9 0 3 o于是卜夕dc=D方法三 直角坐标法由 D=(z,;y)|OWz+J_ x1,得=*(攵(1+/1 x2)-x2x卜仙=Dx dj?01+J1-/yy0(2+z yijc20I 1 1j：3)djc=-(1 工 2)21 _丄0 4712 105 淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：二重积分一般都是对基本计算方法的考查，所以要熟练掌握二重积分的直 角坐标法和极坐标法.注意使用极坐标法计算的特征有两个：(1)积分区域的边界曲线含工？+/；(2)被积函数中含x2+y2 x a=rcos 0?y b=rsin 0.若区域为D:jc2+y2 2ax+2by 9则往往使用1,入3=4,则/的正惯性指数为2.(14)【答案】2./!1!A-1-1-1【解】A=1 3 1,由|AE-A|=-1 A-3-1=A(A 1)(A 4)=0?h 1 1-1-1 A-10 9入2得A 1三、解答题(15)【解解】因为当a=0时，limF(z)=+oo,所以a 0.工_ _|_8ln(l+厂)dtoln(1+工$)1 3X39 即ln(1+2)由洛必达法则得limX-*()+2故由 lim F(h)=O 得 a V3;Zf 0+limZ-*()+3x20ln(l+r2)d/0由洛必达法则limFS)=lim工+8 X-*4-OO 无即a1,故a的取值范围为1 V3.lim叫0,得 a-l0,ax【例1J 设)=方法点评：本题考查无穷小与无穷大及其层次比较，注意如下几个小技巧:(1)对除幕函数之外的无穷小确定其阶数时，一般可采用待定次数法.才2 dz 9且/(J：)心，求a的值.sin x2Lx 工 sin t i-ch 4-2 0 t-.X-=lim:-=lim,工0 nx-工亠o njc【解】由lim=lim兀xn 工 0 X r，得 n 2=0,即=2，且 lim f=1，即 f O j:,故 a=1,6=2.o x.【例2】设/(j;)一阶可导9且lim d=2 9又g(w)=X-*O xCr u)/(w)(du)=xt f(x t)dt ax，求 a Ji.0【解解】g(H)=x、T t=Utf(+oo时Jn 0),I tn qr I T*T Ubx(b 1)的无穷大的阶是由低到高的，即lim 一r=0,lim 耳=0,lim 牛=0.丁-*+x aJ 工-*+8 b由 lim 3x-*0得 72 2=1，即 72=3 9=0 9 limrf+8 a2 106 淘宝店铺：光速考研工作室（16）【解解】dT1 dx/dt （厂+1尸i2-I当/=一1时，工=一1,夕=1,因为丁W V0,所以当工=一1时，函数y=y（工）djc t=i/取极大值_y=1;当 ul时，工=,$=,因为當=0,所以当工=糅时，函数y=&）3 3 qjc|_i/o取极小值y=.令Q岭=0得t=0,且/=0时,工=，参数/V0对应工6（，）;参数/0对应 djr 3 3/工6（*，+T当 0得 ax 3/Ajc曲线夕=夕（工）的凹区间为工6（，+*），且（*，）为曲线了=夕（工）的拐点.方法点评：本题是讨论由参数方程确定的函数的单调性与凹凸性，利用参数方程求导 数的方法求函数的一阶导数和二阶导数，根据其符号讨论单调性与凹凸性，根据参数的情况 得到函数的极值与凹、凸区间.（17）解】方法一 由题意得g（l）=0,学=yf +yf gQ），OX+于：2 g&）+fz gQ）+ygS）R咒i+咒2 gS），ox dyd2z将 h=1,g（l）=l,g（l）=0 代入得 f（1,1）+/li（1,1）+/爲（1 1）.（i,i）方法二 由题意得gd）=0,=yf +yf gQ），将工=1 代入得 J=（:y，y），djt*JC 工=1=(y，y)=/；(l,l)+rUl,l)+/；2(l,l).（18）【解解】【解解】由题意得J/(O)=0,y(0)=1且tan a 107 淘宝店铺：光速考研工作室令p=学，则原方程化为p=p+p3,因为p H0,所以字=1+/2,Ax dy dy7T解得 arctan p=y Cx,由夕（0）=0,j/（0）=1 得&=玄，于是y=tariff+手），分离变量得-=山，tan N+-积分得 In sin(夕+刊=工+In c2,即 sin(y+詈)=C2ex,由$(0)=0 得 C2=晋，于是 y=arcsin俘e)中.方法点评：本题需要注意两点：(1)为z的函数，即a=a(力)；(2)根据导数的几何意义得 tan a ax(19)【证明】(I)方法一 单调性令/(工)=ln(l+jr)-y9 f(0)=0,1十工/(小二亠書0(工0),1十工(1+无)由(/,0)=0,得八工)0(工 0),即当工0 时 0Q 0)1+工令 g(j?)=x ln(14-jr),g(0)=()9 g(z)=l -0(乂0),由，得 g(2)0Q0)9 即当工0 时,ln(l+jc)L x,lg(工)0(工0)于是当工0时，有-ln(l 取工=，则有一V ln(l-)V 1+jc n 7?+1 ti 丨 n方法二 中值定理令/(Z)=ln(l+t)(t0),f(0)=0,ft)由拉格朗日中值定理，存在w e(o,丄)，使得丄)一y(o)=心P n 7?/n即1址1+吕)=駅占冇因为忌占即命忌V】所以忌(】+1-n方法三 因为当工e 5,”+i时，亠丄w丄且不恒等，n+1 x n 108 淘宝店铺：光速考研工作室帥+i i”+i i r”+i i i i所以 djc d_z V dr,即vin(”+l)ln“V,整理得J n 7?+1 J n X J n Tl Tl+J Tl Vln(l+丄)ln(l+l)+ln(l+y)所以仏”单调减少且有下界，故a”收敛.In n=InCzz+1)一 In n0,方法点评：在本题基础上需要掌握不等式证明中使用的放缩法.1 1【例】证明：ln(l+/2)1+-+-1+In n.2 n2 12 1【证明】当x G 1，2时，由丁一得|dx AI djr，即1$I dx，3 13 13 1当x 6 2,3时，由+上丄得|三山 21 dx，即三$|dj：,同理丄dz 9，丄$3 J 3 x ns+i d.x,相加得 n X卄1 1d1(1 y2)(2 一 y)dy3胡17)d討汁吟方法点评：定积分的物理应用是数学一、数学二考查的内容，需要熟练掌握元素法的思想.1(21)【解解】显然|djr|/(jra 9oI=yfxy(g,y)cLr dy=D由闷冗(広，y)=”;(2)J 0J 000由工f：工,l)dz=J 0dz yfy,y)dy=Jo J(f：C，夕)dy=f,1),y)dy 得Io Jo J 0I=x f?l)djr 一J 0 x d/(jr,1)=0 得odr/(z,y)dy,J 00I=一 J x djr (j?y)dy再由 jrd/(jrJ 0 dy q)cLz=dy|Jo Jo J 0 J()I o jQ/(,)dz=/(l,3/)I/(jc,j/)dz flx d/(jr,_y),0=f/Cz，3/)dz 得 J 0|/(z)(Lz=dx f(x,y)dyo0100J 01J 010a 方法点评：本题主要考查二重积分转化为累次积分及改变累次积分的积分次序，抽象 函数的定积分的分部积分法.110 淘宝店铺：光速考研工作室1 0 1(22)解解】(1)方法一 口1卫2，化为三个三维向量，因为|a1,a2,a3 1=0 1 3=1工0,1 1 5所以aj,a2,a3线性无关.因为你，02，03 一定可由a!,a2,a3线性表示，而ax,a2,口3不能由01，02，03线性表不，所以P1,02,03的秩小于a 1,a2,a3的秩,=a 5=0,故 a=5.1 1 31 1 3从而 1 01902 903、=1 2 4=0 1 113a0 2 a 3方法二 01,02,卩3,=1,2,3)为四个三维向量，则卩I,02，03,a,G=1,2,3)一定线 性相关.若01,02,03线性无关，而件,02,03,a,(=1,2,3)线性相关，则a,G=1,2,3)可由向量 组01，02，03线性表示，矛盾，于是|01，02，03 1=0.1 1 3由 I，“2,03 丨=1 2 4 a 5=0,得 a=5.13a(II)将矩阵(5皿2,。3,01,02，“3)进行初等行变换得/I0111 3、I10021 5(a 1 ct23 90i 902 903)=1312 41042 1041513 5/o01-10-2趴二=2ai+4a2-a 3 9于是P=a i+2+0a 3 9、03=5ai+10a 22a3 方法点评：本题使用向量组的如下性质：(1)若一个向量组的向量个数大于向量的维数，则该向量组一定线性相关；(2)若一个向量组的个数与维数相等，则该向量组线性相关的充分必要条件是该向量 组构成的行列式为零；(3)若向量组A可由向量组E线性表示，但向量组E不可由向量组A线性表示，则向量 组A的秩小于向量组B的秩.(23)【解解】(I)由r(A)=2 3,得|A|=0,于是入1=0为A的一个特征值.又由已知条件得A101，根据特征值与特征向量的定义得:入2=1为A的特征值，其对应的特征向量为g 2101入3=1为A的特征值，其对应的特征向量为3=(o 111.淘宝店铺：光速考研工作室工1令=卜2|为入1=0对应的一个特征向量，由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正 攵3/x；一 x 3=0,X!+X 3=0,交得0,即0,基础解系为L=1，即S1为入1=0对应的一个o2特征向量.故A的特征值为小=0,入2=1,入3=1，其对应的所有特征向量为C,1,C2,C33(C1,c2,c3为全不为零的任意常数).(H)方法一 令 P=(1，23)A=P00/1/0000,由PAP=0-100-1/010/0-10 P1 _(,00 0Jh0，得方法二0由 A(1,2，3)=(Ag 1,A2,A3)=()()，2，3)，得0 110.0-1 10 0 01 0 000000 1 10-1 1100方法点评：本题注重考查特征值与特征向量的定义，很多考生忽视了定义而不知道本 题所给已知条件如何解读.事实上求特征值常用方法有：(1)公式法，即由|入E A 1=0求出特征值；(2)定义法，即令AX=AX,根据矩阵的关系式，求出矩阵A的特征值；(3)关联矩阵法，即找矩阵使得P XAP=即AB,从而|AE-A|=|AE-B|,于是求出A的特征值.求特征向量的常用方法有：(1)设入。为A的特征值，则属于入。的特征向量为(A0E-A)X=0的非零解；(2)定义法，满足AX=A0X的非零X即为心对应的特征向量；(3)利用矩阵关系求特征向量，如Ala=Aoa,则a为A的属于特征值丄的特征向量.112 淘宝店铺：光速考研工作室