数学二解析1991.pdf

1991年数学（二）真题解析一、填空题（1）【答案】一丿咯山.3=+1【解】由“=3Tn3=-得1+3 x 3J+1,2【解】y=2xex,2 1由 yr=2（2/1）ex=0 得工=,1 逅当x V或乂丄时,yo；当工g V22故y=的凸区间为（3）【答案】1.【解】+In x.cLz1 JCIn x+8+1*+ydj?JCX1（4）【答案】y.【解】所求路程为S=/Esin t2 dtV7sin Z2 d（2）（5）【答案】-1.【解】2n sin tdt7t/o sin tAt=T-丄因为 lim ex=+,所以 limro+工一。+11-e7F 丄7 j?+e丄一1 丄 丄 lim L+三*1 ex=一1二、选择题（1）【答案】（D）.【解】因为曲线，=x2+ax+b经过点（1,一1）,所以a+b=2；由 y=X2+ax+b=2h+q,j/|X=1=a+2;2j/=1+xy3 两边对 z 求导得 2j/=y3+Sxy2yf，解得 yr|x=1=1,因为两曲线在点（1,1）处相切，所以a+2=1,解得a=1=1,应选（D）.15 淘宝店铺：光速考研工作室(2)【答案】(B).【解】当0 K 1时，FO)=当 IVh 2 时，F(h)=Adt+0(2 Z)dz=V+2工 o2 X T应选(B).(3)【答案】(B).【解】y=/()与=/(工)的图像关于夕轴对称，一工0为_/(工)的极大值点,从而一Ho为一八一工)的极小值点，应选(E)(4)【答案】(A).【解】如图所示，将积分区域D划分为Dx+D2+D3+Da.由于D,D2关于y轴对称,/Q,y)=巧关于乂是奇函数，有f(x 9y)=cos Tsin y关于无是偶函数，有j cos jcsin yAjcAy=2jj cos nW di同理JJD3+D4xydx dy=0,JJD3+D4cos x sin yAx dy=0.xydxdy=0,D+2jr sin ydrdy,Jj cos jr sin ydx dy，应选(A).Di故Cxy+cos x sin 3/)dx dy=2 D(5)【答案】(A).【解】取ur+cLrU Z,0,于是质点与细棒之间引力的大小为F=dF 斗.(Q X)22 4=21nT-z.x sin jc h sin jc柬乂论_1)=映如半，应选(A).一 I(Q X)三、【解】学=dy/dr _ sin t t cos t Ax/At cos t Z sin tdsin t+Z cos t cos t Zsin tt2+23djr/At(cos t Esin t)(2)*4yfjc=t，2 2tdt1 J；(1+)=21/2(1+/).2 dti/(1+t)=21nmL1 cos X 1(4)“亦牡=4z(l cos 2z)d_r+x d(sin 2x)-x sin 2壬+丄sin 2x Ajc4 4 Jx sin 2jc-cos 2x+C4 8 16淘宝店铺：光速考研工作室(5)方法一解得夕=(Je J dr+C)e =(工一l)e”+C 丄，(工一l)e”+1再由 j/(l)=1 得 C=1,故；y=-x方法二由 xyf-y=xex 得(xyY=jc eJ，解得 xy=ze(lz+C=(工一l)e+C,(r 1)ex 4-1再由 j/(l)=得0=,故 y=-.x四、【证明】方法一In(jc.1)jc-;-一:等价于(l+g)ln(l+z)wlna:,In x l+x令 f O=(1+x)ln(1+j;)x In x Cl)=21n20,fjc)=ln(1+jr)In j:=ln(l-)0(工 1),lf(l)0,由Uc得心6方法二ln(；+l)斗_ 等价于(i+z)ln(l+z)Jnz,In jc 1 十 h令/()=ln t(t 1),因为/(O=1+lnZ 0(Z 1),所以/(t)在(l,+oo)内单调递增，故当工 1时，/Q+l)/(工)，即旦+1).In x 1十工五、【解】特征方程为A2+1=0,特征根为A1i2=i,yr，+y=0 的通解为 y=G cos jc C2 sin x;yf+y=工的特解为(工)=工；令 yf+y=cos x 的特解为刃(工)=jc(a cos x+6sin h),代入得 a=0,6=*,故方程y，f+y=x+cos x的通解为六、【解】从曲线方程反求h可得3+%/1+4y 3 a/1+4j7-.T c-故所求旋转体体积为17淘宝店铺：光速考研工作室七、【解】设B,C的横坐标分别为帀，工，则e 1=2e%,得工 1=In 2 2工，|BC =x x x=3工一In 2(j?0).梯形ABCD的面积3S=(3j:In 2)e2x 3S=y(3-6x+21n 2)e_2x,令S=0,得驻点z=W十-yin 2.当工 V*+In 2 时,S 0；当工I In 2 时，S V 0.所以工=y+yln 2是极大值点，又驻点唯一，故z=y+yIn 2是最大值点.因此当工=*+*ln2，G=yin 2-1时，梯形ABCD的面积最大.f 3x f3n C2n八、【解】f(jc)dx=_f(j:7r)+sin x dj：=f(.x)dj：J n J n J。p pn 兀2 r2n.=xdjr+/(j;)dj;=_+E/(x 兀)+sin 工dzJ 0 J x u v n托 2 fn I 2 2=+J/(J7)dz COS JC=7T2 2 18 淘宝店铺：光速考研工作室