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2018年数学（三）真题解析一、选择题（1）【答案】（D）.【解】对选项D,由导数定义得1i1 ，1-3C1.、亠 丄 1.2 1=lim-=lim-=,工 一 0 工-0一 力 lo一 z 2故函数f（.x）=cosy|J；|不可导，同理，可验证其他3个选项在X=0都可导，应选（D）.【答案】（D）./；(0)=lim工0+/l(0)=limx-*0.COS 4 1.c=lim-=lim工0 x-0+H o+/(jc)/(O)cos y x 1【解】考虑/（z）在X=-处的泰勒公式：）=”*）+川*）（*）+兽 对fCx）在0,1上积分得0=/（a-）dj?=fJ 0工一*）（其中w在工与*之间）.2dx身）+H作）G-扑曲所以，当 fx)0 时/(*)=yj/(g)()dr 1 上字，由定积分的保号性，有厶 厶 e（1+丿融）吐 ldx 上嬰 dz,即 K M N,应选（C）.J 2 J 2 J _豆 e【答案】（D）.【解】平均成本函数c（q）=嘤2,则cq）=Cg）Q：c（Q）Q Q由题设产量为Qo时平均成本最小，所以c（Q）=gtQ）Qc（Qo）=0,Qo即 Cz（Qo）Qo=C（Q0）,应选（D）.（5）【答案】（A）./I 1 0A-1 1 0【解】记矩阵M=0 1 1,则I入EM|=0 A-1 1o 0 U0 0 A-1=(A 1)3=0.所以矩阵MM的特征值为儿=入2=入3=1，且rQEM)=r(EM)=2,设选项(A),(B),(C),(D)的矩阵分别为A,B,C,D,易算出其特征值均为1,且r(AE-A)=r(E-A)=2,r(Er(E B)B)=r(Er(E -C)-C)=r(Er(E -D)-D)=1,=1,若两矩阵相似，其对应的特征值矩阵也相似,秩相等所以可以判断选项(A)正确，应选(A).(6)【答案】(A).【解】易知r(A,AB)r(A,AB)r(A),r(A),又由分块矩阵的乘法，可知(A,AB)=A(E,B),=A(E,B),因此 r r(A,AB,AB)min rr (A(A),r(E,B),从而 r(A,AB)Wr(A),所以 r(A,AB)=r(A),应选(A).【答案】(A).【解】由/(1+)=/(1-),知/(工)关于工=1对称，因此/(j:)dj?=f/(j:)dj?=I/(x)djr=0.3,J 0 J 1 2 J 0P P XX V0=f/(j;)djc=f J/(j;)dj：=0.5 0.3=0.2.J oo J oo J 0故选(A).(8)【答案】(B).【解】根据单个正态总体的分布性质可知乂龙N N(0,l),(二宜;1),X X _卩 _且 X 与 S?独立，所以 麻-/(1),即用(电-/(兀 一1),卜n n 一 1用，1 SJ a a2 2 n n 1 1应选(E).二、填空题(9)【答案】夕=4攵一3.9 9 9【解】夕=2工-,j/=2-(z 0).由 yy=2-2 2=0 得拐点为(1,1).X X x又所求切线的斜率为yy=(2攵+吕)|_1=，故切线方程为夕=4鼻一3.(10)答案】er arcsin P-71-e2x+C.【解】je arcsin JJ e2jr dz=arcsin JJ e2j de_ _ _ r r i i=arcsin/1 e ex x ex -(e2x 2)ex drJyi-(l-e2x)21=eT arcsin%/1 e ex x+f】-dr=er arcsin a/1 e J J e+C.（11）【答案】C2X-5（C为任意常数）.【解】因为$y工=yx+z 2夕工+1+%,故原方程化为yx+2 2夕卄1=5,对应齐次方程的通解为二=C2工（C为任意常数）.设非齐次方程的特解为夕；=A，则A 2A=5,即A=5.故所求通解为几=C2 一 5（C为任意常数）.（12）【答案】2e.【解】由/（a:+Aj;）f（j：）=2jcf（j：）Aj?+o（Aj;）（Ajc 0）,得/（工）=lim力匕+牛）_于&）=2好（工）,即f=2hW2解之得f(x)=Cex(C为任意常数).由于 _f(0)=2,得 C=2.所以)=2ex,/(1)=2e.(13)答案】2.【解】由Asa a I a 2,Aa 2 a 2 I a 3,Aa 3 a 1 a a 3/I1A(a(a 1 1 1 u u 2 2，a.3)=(A a 1 AuAu 2 2 3)=：(ctj u u 2 2,03)11011010两边取行列式，得101101A|tt i j(X 2|=|tti，X293|110=|a i2 9+81)+5,1 1 e7-1 ffi lim x(tzex 1)+6=lim-b=l+b=2?所以 b=x（16）【解】积分区域如右图阴影部分所示，且曲线与直线的交点为，则二（16）题图其中,-/22k山d汁:吐：Dl-x2)2dyX 2(a/1 JC2 工)dz0=3(J 攵 2 J 工6.X 一 J 2 J7 3 dzx2 x2 dx0 x=sin t丄4 sin2Z cos Z d(sin t)=*sin 4t|f _ K4/Io=3294 sin2 2tdt02 x3dx04XT20_ 1=TT7T7 1(1 cos 4z)dz=0 oy/s(7T 2)32-一丄32 16（17）【解】设圆的周长为工，正三角形的周长为，正方形的周长为z,由题设可知_z+y+z=2,则目标函数所以加山旳=站任DS=7TX2+z2 2/5 2H 43 2 丄 N=-v-.4 兀 36 16构造拉格朗日函数L&9夕，之；入）=F y2+入（力+丿+之一2）,对参数求导并 4兀 36 16令导函数为0,则L：=佥+入=02兀/2 V3-】一=常+入-f 2zLf+入=0+?+n 2=0,6站兀8 y=-9 z=-tv+3 扼+4 兀+3 a/3+47t+3 3+4(18)【解】根据函数的無级数展开，有 g逹沙诲糅”宀_ 1(1+)2 所以，解得工 L7t+3 a/3+4此时，面积和有最小值，即S11+Hn=0ltr4(-1)oo oo=另 a”22(1)+1(九+1)工”n=0 n=0=工 B(i)”+t+i)wn=0因为左边缺奇数项，因此n为奇数时,a”一(-l)n+1(n+1)=0,即a”=“+1；此时，Y 一(一 1)宀(+Dn=Q=工2n（1）2卄1（2+1）J?n=0（1）”即 5”+（2“+1）=4-4p+1,综上可知an=（_）号=Y“2”+（2+1）J72,”=0（1）”5=而”-（2+1）n=1,3,5，1,n=0,2,4,.(19)证明】因为工】H0,所以e巾P 1 _ 由微分中值定理，存在 6(0,厂)，使得=e,即F=e$,因此0 Vg G.r i类似，假设0 V z”+i z”，贝!工 e+1 1e+2=-=e(0 V 乃 V z”+i),即 0 V 工卄2 0时,fS=rex 0,函数/&)在0,+8)上单调增加，所以A=0是方程AeA eA 1 在0,+）上的唯一解，故limz”=0.（20）【解】（I）jc!X 2+工3=0,由/（X1,x2 x3）=0 得yx2+3=0&1+ax 3=0 9则系数矩阵A=0-11/I02 1初等行变换111-H0110J00a 2所以当a H 2时9厂(A)=39方程组有唯一解x!=jc 2=g 0.当a=2时，r(A)=2,方程组有无穷解,X=k-l Ck为任意常数).夕1=21 攵2+工3，(U)当a工2时,令丿夕2=工2+5，为可逆变换，此时规范形为y+y+y.3=G+处3，当a=2时，/(工1，広2，工3)=(H1 J：2+-3)2+(J：2+-3)2+CZ1+2j；3)2=2z 12+2z 2?+32 2h 2+6z iz 3此时规范形为J/l2+j22.(21)【解】(I)r(A)=2,而初等变换不改变矩阵的秩，因此JB的秩r(B)=2,于是行列式1 a 2 B B =0 1 1=2 一 q=0,即 a=2.-Ill(D)由AP=B,AP=B,得卩=8丁，即矩阵可经过初等行变换化为矩阵t,由分块矩阵的 乘法知Pt(At,E)=(PtAt,Pt)=(Bt,Pt).上式表明，对矩阵(At,E)作初等行变换化为(BT,PT),可求得矩阵pT.对下列矩阵作初等行变换，得/I1210I11210(At i E)=237010-A O13-21J20-200Jo_ 2一 6-20J11210I10-13-10013-210-A O13-210000-62J000-621-1 0-1 01 110-132114211-2于是 04-21 10 1(22)【解】(I)因为E(X)=O,E(X2)=1,E(Y)=A,以及X,Y相互独立，故 Cov(X,Z)=Cov(X,XY)=E(X2Y)-E(X)E(XY)=E(X2)E(Y)-E2(X)E(Y)=入.(U)由Y服从参数为入的泊松分布，即PY=j=/O=0，l，2,“)，于是Z的所有 J!可能取值为全体整数.故Z的概率分布为1)当怡为正整数时，有1 右P Z=b =P XY=k =P X=l,Y=b PX=1P Y k=reA；2)当b为负整数时，有P Z=k =P XY k =P X 1,Y k=PX 1 P Y=k1 厂 _A=7*(-)!e；3)当怡为0时，有PZ=O=PXY=O=PX=1,Y=O+PX=1,Y=O=PX=lPY=O+PX=1PY=O故 P(Z=b)=e1-A I 1-A -A=Te+Te=ei入-e 92 k-A1 入tI(T)!e_Ak=1 Q,3 9 9k,=Q 9k=1,2,一 3?(23)【解】(I)似然函数为L x i 9工2，八，力“；”)=i=l1-丨 r I-e,=1，一 V.V+00 J=19 2 9”2nan于是 In L=nln 2 令芈丄=_工+屯|口|=0,得c的最大似然估计量为&=丄丨X,|da a a,=i n Z=11 UU.f+,1 _11 r+jr _三(U)Ed)=工 E(|Xj)=E|X|=|x|e dr=e dz72-I J 8 乙。v 0(J+_王 _王 I+f+x de a=j:e +e a dx a 0 Io JoDG)=go(|X,丨)n i=i=D(|X|)=E|X|2E2(|X|)n n1-11e djc 2c丁 2 xX _7 j 2e ax a62=丄(2,nn