平面直线方程（数一）（【公众号：最新考研资料】免费分享）.pdf

向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.第二节平面及其方程向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.一、平面方程的常见形式(1)点法式若一非零向量垂直于某平面，则该向量叫做这个平面的法线向量.设M0(x0,y0,z0)是平面 上的一点，n=(A,B,C)为平面 的法线向量，则A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0(1)为平面的点法式方程.向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.(2)一般形式三元一次方程Ax+By+Cz+D=0(2)为平面的一般方程，其中 x，y，z 的系数是该平面的一个法线向量 n 的坐标，即n=(A,B,C).(3)截距式若平面与 x 轴，y 轴，z 轴的交点依次为(a,0,0)，(0,b,0)，(0,0,c)且abc=0，则xa+yb+zc=1(3)为平面的截距式方程，其中 a，b，c 分别为平面在 x，y，z 轴上的截距.向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.二、平面与平面的夹角两平面的法线向量的夹角(锐角或直角)称为两平面的夹角.设平面 1，2的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1)和 n2=(A2,B2,C2)，则这两个平面的夹角 为(n1,n2)和(n1,n2)=(n1,n2)两者中的锐角或直角，cos=|cos(n1,n2)|，cos=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21A22+B22+C22.(4)向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.三、距离公式(1)点到平面的距离点 P0(x0,y0,z0)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离公式为d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2.(5)(2)两平行平面之间的距离公式设 0:Ax+By+Cz+D0=0 与1:Ax+By+Cz+D1=0 是两个平行平面，它们之间的距离等于其中一个平面上的一点到另一平面的距离.取 0上一点(x0,y0,z0)，则 D0=Ax0 By0 Cz0.由点到平面的距离公式可知，点(x0,y0,z0)到 1的距离为d=|Ax0+By0+Cz0+D1|A2+B2+C2=|D0 D1|A2+B2+C2.(6)向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.例 3(2006，一)点(2,1,0)到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d=.向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.第三节空间直线及其方程向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.一、空间直线方程的常见形式(1)一般形式由于空间直线 L 可以看作两个平面 1，2的交线，故若 1，2的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，则方程组A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0(7)为空间直线 L 的一般方程.向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.(2)点向式若一非零向量平行于一条已知直线，则该向量叫做这条直线的方向向量.设 M0(x0,y0,z0)为直线 L 上一点，s=(m,n,p)为直线 L 的方向向量，则x x0m=y y0n=z z0p(8)为直线 L 的对称式方程或点向式方程，其中 m，n，p 为不全为零的数.直线的任一方向向量 s 的坐标 m，n，p 叫做这条直线的一组方向数，而向量 s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦.【注】我们约定，在点向式方程中，若分母为零，则分子也为零.向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.(3)参数形式在直线的点向式方程(8)中，令xx0m=yy0n=zz0p=t，则可以得到直线的参数方程x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.(9)(4)两点式若已知两点(x0,y0,z0)，(x1,y1,z1)，则可以得到过这两点的直线的方向向量(x1 x0,y1 y0,z1 z0)，从而由直线的点向式方程我们可以得到直线的两点式方程：x x0 x1 x0=y y0y1 y0=z z0z1 z0.(10)向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.二、直线与直线的夹角两直线的方向向量的夹角(锐角或直角)称为两直线的夹角.设直线 L1，L2的方向向量分别为 s1=(m1,n1,p1)，s2=(m2,n2,p2)，则这两条直线的夹角 为(s1,s2)和(s1,s2)=(s1,s2)两者中的锐角或直角，cos=|cos(s1,s2)|，cos=|m1m2+n1n2+p1p2|m21+n21+p21m22+n22+p22.(11)向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.三、平面与直线的夹角当直线与平面不垂直的时候，直线和它在平面上的投影直线的夹角(0 2)称为直线与平面的夹角.当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为2.设直线的方向向量为 s=(m,n,p)，平面的法线向量为 n=(A,B,C)，直线与平面的夹角为，则 =?2(ds,n)?.因此 sin=|cos(ds,n)|，sin=|Am+Bn+Cp|A2+B2+C2m2+n2+p2.(12)向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.四、距离公式点到直线的距离连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离.设 M0是直线 L 外一点，M 是直线 L 上任意一点，且直线的方向向量为 s，则点M0到直线 L 的距离为d=|M0M s|s|.(13)由点到直线的距离公式易知两平行直线 L0，L1的距离.由于两平行直线之间的距离等于其中一条直线上一点到另一条直线的距离，故只需取M0为 L0上一点，M 为 L1上一点，s 为两直线的方向向量，代入公式(13)即可计算 L0，L1之间的距离.向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.例 4(1)(1987，一)与两直线x=1,y=1+t,z=2+t及x+11=y+22=z11都平行，且过原点的平面方程为.向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.(2)(1990，一)过点 M(1,2,1)且与直线x=t+2,y=3t 4,z=t 1垂直的平面方程是.向量代数与空间解析几何李艳芳向量及其运算平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程.(3)(1991，一)已知两条直线的方程是L1:x 11=y 20=z 31,L2:x+22=y 11=z1,则过 L1且平行于 L2的平面方程是.