量子力学.pdf

630 华南理工大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：量子力学 适用专业：凝聚态物理 共 2 页 第 1 页 本试卷共 5 大题，每题 30 分，总分 150 分 1.(1)对自由粒子，下面哪些力学量是守恒量，并给出证明。(a)动量，（b）能量，(c)角动量，(c)角动量平方，(d)宇称(2)在变分法近似理论中，证明对任意选择的归一化试探波函数，H 的期望值必高于基态能量。2.一质量为 m 的粒子在如下势阱中运动：V(x,y,z)=V(x)+V(y)+V(z)0,/2()0,/2VxaV xxa如果如果 0,/2()0,/2VybV yxb如果如果 0,/2()0,/2VzcV zzc如果如果 求 00VE下的能量本征值和本征函数。3.有一个定域电子，只考虑自旋，它受到均匀磁场的作用，磁场B指向正x方向。磁作用势为 ,2xxeBe BHscc 设0t 时电子的自旋“向上”，即2zs，(1)用含时薛定谔方程求0t 时的波函数 第 2 页 t；(2)求在 t 状态下自旋的三个方向分量,xyzs s s的平均值。4.电荷为 q 的自由谐振子，能量算符为2220122pHmxm，能量本征函数记为(0)(),nx 能 量 记 为(0)nE。如 外 加 均 匀 电 场，使 总 能 量 算 符 变 成22201-22pHmx q xm，新的能级记为nE，本征函数记为()nx。用微扰法或严格解求解()nx和nE，并将()nx用(0)()nx表示出来。5.(a)写出两个无相互作用的全同费米子处于120,0 xaxa的无限深方势阱时的哈密顿量。(b)不考虑自旋，给出系统基态，第一激发态和第二激发态的波函数，能量本征值，并确定其简并度。（已知单粒子态为22222()sin,2nnn xnxEaama）