基础班2-1 导数与微分的概念（【公众号：最新考研资料】免费分享）.pdf

.第二章一元函数微分学.1导数与微分的概念.2导数与微分的计算.3导数的应用.4函数的单调性、极值与最值.5曲线的凹凸性、拐点及渐近线.6一元微分学的综合应用.7一元微分学在经济学中的应用(数三).第一节导数与微分的概念导数的定义设函数 y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义，当自变量 x 在x0处取得增量 x(点 x0+x 仍在该邻域内)时，相应地，因变量取得增量 y=f(x0+x)f(x0)；若当 x 0 时，y 与 x 之比的极限存在，则称函数 y=f(x)在点 x0处可导，并称这个极限为函数 y=f(x)在点 x0处的导数，记为f(x0)，即limx0f(x0+x)f(x0)x,也可以写为f(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h或limxx0f(x)f(x0)x x0.导数存在的充分必要条件f(x0)存在的充分必要条件是左导数 limh0f(x0+h)f(x0)h及右导数 limh0+f(x0+h)f(x0)h都存在且相等.导数存在性的判定分段函数导数表达式的变形.思考(2022，二)已知函数 f(x)在 x=1 处可导且limx0f(ex2)3f(1+sin2x)x2=2，求 f(1).可导性与连续性的关系如果函数 f(x)在点 x 处可导，那么 f(x)在点 x 处连续.连续是可导的必要条件.但连续不是可导的充分条件.例 1.下列命题中正确的是()(A)若函数 f(x)在 x=x0处不可导，则 f(x)在 x=x0处不连续.(B)若函数 f(x)在 x=x0处不连续，则 f(x0)，f+(x0)中至少有一个不存在.(C)若 f(x0)，f+(x0)存在，则函数 f(x)在 x=x0处可导.(D)若函数 f(x)在 x=x0处连续，则 f(x)在 x=x0处左可导并且右可导.例 2.设 f(x)在点 x=a 的某个邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是()(A)limh+hf(a+1h)f(a)存在.(B)limh0f(a+2h)f(a+h)h存在.(C)limh0f(a+h)f(ah)2h存在.(D)limh0f(a)f(ah)h存在.例 3.设函数 f(x)=limnn1+|x|3n，则 f(x)在(,+)内()(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.可微的定义设函数 y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+x 在这区间内，若函数的增量y=f(x0+x)f(x0)可表示为y=Ax+o(x)，其中 A 是不依赖于x 的常数，则称函数 y=f(x)在点 x0是可微的，而 Ax 叫做函数 y=f(x)在点x0相应于自变量增量 x 的微分，记作 dy，即 dy=Ax.实际上，dy=f(x)x.对一元函数来说，可导即可微.xyOMNx0f(x0)f(x)x0+DxDxo(Dx)dyDy.例 4.设函数 f(u)可导，y=f(x2)，当自变量 x 在 x=1 处取得增量x=0.1 时，相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1，则f(1)=()(A)1.(B)0.1.(C)1.(D)0.5.?见讲义第一节同步习题.