基础班3-1 一元函数积分学（【公众号：最新考研资料】免费分享）.pdf

.第三章一元函数积分学.1定积分的概念与性质.2积分的计算.3变限积分.4反常积分的计算.5定积分的应用.第一节定积分的概念与性质原函数与不定积分的定义若在区间 I 上，可导函数 F(x)的导函数为 f(x)，即对任意的x I，都有 F(x)=f(x)，则函数 F(x)称为 f(x)在区间 I 上的一个原函数.在区间 I 上，函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)在区间 I 上的不定积分，记作f(x)dx，其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量.导函数不存在第一类间断点，有第一类间断点的函数没有原函数.1 若函数 f(x)在 x=a 处左连续，在 x=a 的左邻域(a ,a)(0)内可导，且 limxaf(x)=A，则 f(a)存在且 f(a)=A.右导数的情形也有类似结论.2 若函数 f(x)在 x=a 处连续，在 x=a 的去心邻域U(a,)(0)内可导，且 limxaf(x)=A，则 f(a)存在且 f(a)=A.不连续，但是存在原函数的 f(x)的例子.考虑函数 F(x)，f(x).F(x)=x2sin1x,x=0,0,x=0.f(x)=2xsin1x cos1x,x=0,0,x=0.例 1.已知函数 f(x)=2(x 1),x 1,lnx,x 1,则 f(x)的一个原函数是()(A)F(x)=(x 1)2,x 1,x(lnx 1),x 1.(B)F(x)=(x 1)2,x 1,x(lnx+1)1,x 1.(C)F(x)=(x 1)2,x 1,x(lnx+1)+1,x 1.(D)F(x)=(x 1)2,x 1,x(lnx 1)+1,x 1.定积分的定义有界闭区间 a,b，有界函数 f(x).划分区间 a,b，xi.在每个小区间上任意取点 i.作和 S=ni=1f(i)xi.取极限 lim0ni=1f(i)xi.(划分足够细时，和的极限总存在，且与区间的分法以及点的取法无关.).例 2.设函数 f(x)在区间 0,1 上连续，则10f(x)dx=()(A)limnnk=1f(2k12n)12n.(B)limnnk=1f(2k12n)1n.(C)limn2nk=1f(k12n)1n.(D)limn2nk=1f(k2n)2n.例 3.limnn(11+n2+122+n2+1n2+n2)=.定积分的性质.1线性性设 与 均为常数，则baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx.2对区间的可加性设 a c g(x)，a，b 为不相等的常数，则baf(x)dx bag(x)dx.(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.定积分的几何意义(1)若在区间 a,b 上 f(x)0，则baf(x)dx 等于由曲线 y=f(x)，直线x=a，x=b 以及 x 轴围成的图形的面积；(2)若在区间 a,b 上 f(x)0，则baf(x)dx 等于由曲线 y=f(x)，直线x=a，x=b 以及 x 轴围成的图形的面积的负值；(3)若在区间 a,b 上 f(x)变号，则baf(x)dx 等于由曲线 y=f(x)，直线x=a，x=b 以及 x 轴围成的图形位于 x 轴上方部分的面积与位于 x 轴下方部分的面积之差.定积分的物理意义若物体以变速 v=v(t)做直线运动，t2 t1，则t2t1v(t)dt 表示物体从时刻t1到时刻 t2所经过的路程.例 5.甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线 v=v1(t)(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20，3.计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0(单位：s)，则()(A)t0=10.(B)15 t0 25.O510 1520 2530t(s)v(m/s)20310.?见讲义第一节同步习题.