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考研改变命运上节知识回顾上节知识回顾一、函数一、函数函数的概念，函数的定义域；函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；复合函数、分段函数、反函数、隐函数的概念；基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系幂函数：xy；指数函数：xay；对数函数：)1,0(logaaxya；三角函数：sinyx；cosyx；tanyx；cotyx1seccosyxx；1cscsinyxx；反三角函数：xarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin。（2006 年真题）已知函数)(xf满足0)2()(xfxf，且在0，2上有1)(22xexf，求)(xf在-2，0上的表达式。二、极限和函数的连续性数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，两个重要极限，无穷小与无穷大两个重要极限：exxxxxx)11(lim;1sinlim0无穷小：如果0lim，就说是比高阶无穷小；高阶无穷小；如果lim0C，就说与是同阶的无穷小同阶的无穷小；如果lim1，则称与是等价的无穷小等价的无穷小，记作当0 x 时，sin tan arcsin arctan ln(1)xxxxxx，21(1),(1 cos),(1)1(0)2xaxexxxax a函数连续性：（1）连续及连续点：)()(lim00 xfxfxx（2）左、右连续：)()(lim),()(lim0000 xfxfxfxfxxxx考研改变命运间断点：第一类：左、右极限都存在可去型：左右极限相等，但00lim()()xxf xAf x，或()f x在点0 x处无定义。跳跃型：左、右极限不等。第二类：非一类（左、右极限中至少有一个不存在）。（2006 年真题）31.当0 x 时，1xe的等价无穷小是（）A1xeBxCxe1D2x1.函数)2cos(1)(2xxxf的所有可去间断点1.设2)3(lim0 xfxx，求xxfx)2(lim0（2007 年真题）一、33当0 x 时，下列哪个量是其他三个量的高阶无穷小量（）AxBxcos1CxsinD)1ln(x二、1.0,00,1sin)(xxxxxf在 x=0 处连续，则常数 a 的取值范围（2008 年真题）一、1.设)(lim0 xfx，则当0 x 时，一定是无穷小量的是（）A)(2xfxB)(xxfxC)(xfeDxxf1)(三、若2,2sin2,)(xxbxaxxaxf，是),(上连续函数，求 a，b考研改变命运第四章第四章导数与微分导数与微分【考试范围】导数及其计算、二阶导数、微分。【考试要求】1.理解导数的概念及函数的可导性与连续性之间的关系。2.了解导数的几何意义与经济意义(含边际和弹性的概念)。3.会求曲线的切线方程和法线方程。4.熟练掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算。掌握复合函数、反函数和隐函的求导法则。了解对数求导。5.了解高阶导数的概念，会求二阶导数以及较简单函数的高阶导数。6.了解微分的概念和运算法则。【基本知识点】一、导数1.导数的定义导数：xxfxxfxfx)()(lim)(0000其它形式：0000()()()limhf xhf xfxh；0000()()()limxxf xf xfxxx左导数：0000000()()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx；右导数：0000000()()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx【例 1】若0()fxa，则000()()limhf xhf xhh=考研改变命运2.导数的几何意义；0()fx表示曲线()yf x在点00(,()M xf x处的切线的斜率，即0()tanfx。切线方程：)()(000 xxxfxfy；000()()yyfxxx法线方程：)()(1)(000 xxxfxfy；0001()()yyxxfx【例 2】求等边双曲线1yx在点1(,2)2处的切线斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程解由导数的几何意义，得切线斜率为111222211()4xxxkyxx 所求切线方程：124()2yx，即440 xy法线方程：112()42yx，即28150 xy3.函数可到性的判定：（1）函数()f x在点0 x处可导左导数0()fx和右导数0()fx都存在且相等（）设函数00(),()(),xxxf xxxx，讨论在点0 x的可导性若0000000()()()()limlim()xxf xxf xxxxfxxx 存在，若0000000()()()()limlim()xxf xxf xxxxfxxx 存在，且00()()fxfxa考研改变命运则()f x在点0 x可导，且0()fxa4.可导与连续的关系：可导必连续。注意：注意：该定理的逆定理不成立【例 3】2,0(),0 xxf xxx在0 x 处不可导，0 x 为()f x的角点【例 4】3()1f xx，在1x 处不可导5.导数运算（1）基本导数公式：10;();(sin)cos;(cos)sin;()ln;();11(log);(ln).lnnnxxxxacxxxxxxaax eexxxax 考研改变命运222211(arcsin)(arccos)1111(arctan)(cot)11xxxxxarcxxx （2）导数的四则运算2()()()();()()()();()()()()()()()f xg xfxg xf xg xfxg xf xfx g xf x g xg xg x【例 5】求下列函数的导数（1）xxycos2（2）2sinxxy（3）xxycos1sec（4）xxysin1csc（3）高阶导：如果函数()f x的导数()fx在点x处可导，则称()fx为函数()f x在点x处的二阶导数记作2222()(),d yd f xfxydxdx或二阶导数的导数称为三阶导数，33(),d yfxydx二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数（4）复合函数的求导法复合函数()yf g x的导数与函数(),()yf u ug x的导数间的关系为xuxyyu即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【例 6】求函数lnsinyx的导数解ln,sinyu ux1coscoscotsindydy duxxxdxdu dxux考研改变命运【例 7】求函数231ln(2)2xyxx的导数解211ln(1)ln(2)23yxx2211112213(2)13(2)xyxxxxx（5）反函数的求导法：如果函数()xy在某区间yI内单调、可导且()0y，那么它的反函数()yf x在对应区间xI内也可导，且有1()()fxx即反函数的导数等于直接函数导数的倒数【例】求函数arcsinyx的导数解sinxy在(,)2 2yI 内单调、可导，且(sin)cos0yy，在(1,1)xI 内有221111(arcsin)(sin)cos1 sin1xyyyx 同理可得21(arccos)1xx ；21(arctan)1xx；21(cot)1arcxx （5）对数求导法（幂指函数）：)()(xgxfy 两边取对数：)(ln)(lnxfxgy 两边求导（复合函数求导）ffgfgyy1ln1【例 9】设32(1)1(4)xxxyxe，求y解等式两边取对数得1lnln(1)ln(1)2ln(4)3yxxxx上式两边对x求导数考研改变命运112113(1)4yyxxx32(1)11121(4)13(1)4xxxyxexxx【例 10】设sin(0)xyxx，求y解等式两边取对数得lnsinlnyxx上式两边对x求导数11coslnsinyxxxyx 1(coslnsin)yyxxxxsinsin(cosln)xxxxxx（6）隐函数求导法：用复合函数求导法则直接对方程两边求导【例 11】求由方程0 xyxyee所确定的函数y的导数0,xdy dydx dx解方程两边对x求导，0 xydydyyxeedxdx解得xydyeydxxe，由原方程知0,0 xy，0001xxxyydyeydxxe（7）参数方程所确定的函数的求导法若参数方程()()xtyt确定y与x间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数()()dydytdtdxdxtdt考研改变命运二阶导：22()()()()d yddydtdtdxdx dxdttdx【例 12】求由方程33cossinxatyat 表示的函数的二阶导数解：223 sincostan3 cos(sin)dydyattdttdxdxattdt 224232(tan)secsec()(cos)3 cossin3 sind yddytttdxdx dxatattat6.微分概念（1）微分的定义：设函数()yf x在某区间内有定义，0 x及0 xx在这个区间内，如果00()()()yf xxf xAxox 成立（其中A是与x无关的常数），则称函数()yf x在点0 x可微记作0 x xdy或0()df x，即0 x xdyAx（2）可微与可导的关系微分计算公式；函数)(xf在0 x处可微的充分必要条件是)(xf在0 x处可导，且dxxfxdf)()(00。（3）微分的几何意义：)()()(0000 xdfxxxfxfy如图：当y是曲线的纵坐标增量时，dy就是切线纵坐标对应的增量，当x很小时，在点M的附近，切线段MP可近似代替曲线段MN（4）基本初等函数的微分公式考研改变命运122()0()(sin)cos(cos)sin(tan)sec(cot)csc(sec)sec tan(csc)csc cotd Cd xxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxxdxdxxxdx 2222()ln()11(log)(ln)ln11(arcsin)(arccos)1111(arctan)(ot)11xxxxad aaadxd ee dxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxd arccxdxxx （5 函数的和、差、积、商的微分公式2()()()()d uvdudvd CuCduuvduudvd uvvduudvdvv【例 13】设2ln()xyxe，求dy解2212xxxeyxe，2212xxxedydxxe【例 14】设sin(21)yx，求dy解sin,21yu uxcoscos(21)(21)dyuduxdxcos(21)22cos(21)xdxxdx【典型例题】【例 1】已知)(0 xf 存在，求下列极限的值（1）hhxfxfh)()(lim000；（2）hhxfhxfh2)()(lim000解：（1）hxfhxfhhxfxfhh)()(lim)()(lim000000)(0 xf；考研改变命运（2）hhxfxfxfhxfhhxfhxfhh2)()()()(lim2)()(lim00000000)(0 xf【例 2】研究函数0,0,0,1sin)(xxxxxf在0 x处的可导性解因为xxxfxfxx1sinlim)0()(lim100，所以当01，即1时，函数)(xf在0 x处可导，且0)0(f；当1时，函数)(xf在0 x处不可导【例 3】已知函数.0,0,)(2xbaxxxxf在0 x处可导，求ba,的值解：因为bxfxfxx)(lim,0)(lim00，所以0b；又因为000lim)0(20 xxfx，axaxfx00lim)0(0，所以0a。【例4】设)(xf在0 x处可导，且当0 x时0)(xf，已知2)0(,0)0(ff，求极限。xxxfsin10)(21(lim解：xfxfxfxxxxfxfsin)0()(2)(210sin10)(21(lim)(21(lim。xxxfxfxesin)0()(2lim04 e【例 5】求下列函数的导数（1）xxxxy1，解：xxxxy232121（2）2)12(xy考研改变命运（3）351xxxy（4）)1ln(2xxy（复合）解：22211)1221(11xxxxxy（5）)ln(arctanxy（复合）解：211arctan1xxy（6）210(1)yx解292292910(1)(1)10(1)220(1)dyxxxxx xdx（7）ln ln lnyx（8）1sinxye解111sinsinsin211111(sin)cos()cosxxxyeeexxxxx（9）)sin(yxy（隐函数）解：)cos()1(yxyy，)cos(1)cos(yxyxy（10）(1)(2)(4)(3)xxyxx（11）xxy1（对数）解：xxylnln，2ln11xxyy，21ln1xxxyx【例 6】设函数sin2xyx，求4xy【例 7】设函数cos sinyxx，求6xy【例 8】设441xxyy，求y在点(0,1)处的值考研改变命运解方程两边对x求导得：33440 xyxyy y（）代入0,1xy得，0114xyy将方程（）两边再对x求导得：222312212()40 xyxyyyy y代入0,1xy，0114xyy得01116xyy【例 9】已知0,0,0,1sin)(4xxxxxf，求)0(f 解：因为,0,0,0,1cos1sin4)(23xxxxxxxf所以01cos1sin4lim)0()(lim)0(2300 xxxxxxfxffxx。【例】设arctanyx，求(0)f，(0)f 解211yx 22212()1(1)xyxx0222(0)0(1)xxfx；202 32(31)(0)2(1)xxfx【例 11】求函数)(4,)(nyaxy的高阶导数【例 12】求曲线22sinyxx上横坐标为0 x 的点处的切线方程和法线方程【例 13】求曲线1yxx与横轴交点处的切线方程【例 14】已知函数)(xyy 由0 xyeexy确定，求曲线)(xyy 在0 x处的切线方程与法线方程解：由0 xyeexy得0yxyeyexy，考研改变命运当0 x时，得1)0(,0)0(yy，所以要求的切线与法线方程分别为xyxy,。【例 15】已知函数)(xyy 由yxyexy)tan(确定，求0 xdy解：由yxyexy)tan(两边求导得：yyxyxyyxyexy)()(sec)(2，当0 x时，得2)0(,1)0(yy，所以dxdyx20【例 16】设1 3cosxyex，求dy解1 31 3cos()(cos)xxdyx d eedx1 31 3()3,(cos)sinxxeexx 1 31 3cos(3)(sin)xxdyxedxex dx 1 3(3cossin)xexx dx.习题巩固习题巩固1.曲线25yx在2x 处的切线方程为：_2曲线32yx上_点处的切线与直线31yx平行3.设()(1)(2)(3)f xx xxx，则(0)_.f4曲线上22yxx上点的切线与直线41yx平行5若0()fxa，则000()()limhf xhf xh=6.设函数23()55xf xx，(0)f 7函数211yxx则y 8设()xf xxe，则(1)f 考研改变命运9.函数11xyx则y 10.设()yy x是由方程ln0 xyy确定，则dydx=11设()cosf xx，()6f12.函数22lnyxx，则_.y 13.函数3xye，则_.y 14.函数lncos()xye，则y 15.函数1yxx，则_.dy 16.函数sin2yxx，则_.dy 二、计算1.设函数2arctanlnyxxx，求y2设2sin 1yx，求y3.求曲线22sinyxx上横坐标为0 x 的点处的切线方程和法线方程4.求曲线1yxx与横轴交点处的切线方程5求曲线cosyx上点1,3 2处的切线方程和法线方程6函数arcsinxye，求y.7设函数22ln()yxxa，求y8.设函数sin2xyx，求4xy9设函数2xyxe，求y.10设函数2(31)xyexx，求y11.设2ln(1)yx，求y考研改变命运12.设函数cos sinyxx，求6xy13求6()(1)f xx，求(2)f 14.讨论函数1sin,00,0 xxyxx在0 x 点的连续性与可导性.15.已知函数323sincos3yxxx，求y.16.判断函数1,0(),0 xx xf xex在0 x 处的连续性、可导性.17.设()yy x是由方程210yxyxe确定，求dydx.18.方程0yexye在上半平面确定了隐函数()yy x，求dydx.19.设函数1()1tf tt，求(4)f.考研改变命运第五章第五章中值定理与导数应用中值定理与导数应用【考试范围】洛比达法则，函数的单调性及极值，函数图像的凹凸性及拐点，函数的最大值和最小值。【考试要求】1.会用洛比达法则求极限。2.掌握函数单调性的判定方法及简单应用。3.理解极值的概念，掌握极值、最大值和最小值的求法及其简单应用。4.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点。5.会求函数图形的水平和铅直渐近线；【基本知识点】一、洛必达法则定理：（1）当ax 时，函数)(xf及)(xF都趋于零（2）在点 a 的某去心临域内，)(xf 及)(xF都存在且0)(xF（3）)()(limxFxfax存在（或为无穷大）那么)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax1.00型：)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx2.型：)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx【例】（）0tanlimxxx，0()0（）0lnsinlimlnsinxaxbx，()解（）2000tan(tan)seclimlimlim1()1xxxxxxxx考研改变命运（2）000lnsincossincoslimlimlim1lnsincossincosxxxaxaaxbxbxbxbbxaxax3.其他不定式（000,1,0）关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型0(),0()（1）0型步骤：01，或0100【例 2】求2limxxx e(0)解2limlimlim22xxxxxxeex ex（2）型步骤：1100000 0【例 3】求011lim()sinxxx()解00011sin1 coslim()limlim0sinsinsincosxxxxxxxxxxxxx（3）000,1,型步骤：0000 ln01ln100 ln 取对数【例 4】求0limxxx0(0)解20001ln11lnln000limlimlimlimlim1xxxxxxxxxxxxxxxeeeee【例 5】求111limxxx(1)解11111lnlnlimlim1111111limlimxxxxxxxxxxxeeee考研改变命运【例 6】求1ln0lim(cot)xxx0()解取对数得11ln(cot)lnln(cot)xxxxe2000111cotsinlimln(cot)limlim11lncossinxxxxxxxxxxx 原式1e注意：注意：洛必达法则的使用条件：【例 7】求coslimxxxx解cos1 sinlimlimlim(1 sin)1xxxxxxxx极限不存在，洛必达法则失效原式1lim(1cos)1xxx习题巩固一、填空题一、填空题1.函数 22f xxx在区间0,2上满足拉格朗日中值定理的2.若324710yxxx在1,2上满足罗尔定理的条件，则()0f的3sin3limtan5xxx4.2121lim11xxx50limsinxxxeex62tanlimtan3xxx二、计算题二、计算题1求11lim11xxxnx考研改变命运2.求011lim1xxxe3.求limarctan2xxx4.求10lim(2)xxxxe