2010年考研数学二真题及答案解析（完整版）.pdf

附录121数学（二）试题一、选择题：第18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合试题要求，(1)函数fx)=1x2-W1+之的无穷间断点的个数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(2)设y:,y2是一阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数入，4使Ay1+y2是该方程的解，入y1y2是该方程对应的齐次方程的解，则(A)A=。.12,M=2(B)A=-)21C)x子，号(D)=号，=22(3)曲线y=x2与曲线y=alnx(a0)相切，则a=(A)4e.(B)3e.(C)2e.(D)e.(4)设m,n均是正整数，则反常积分1n(1-x)dx的收敛性深(A)仅与m的取值有关，(B)仅与n的取值有关(C)与m,n的取值都有关。(D)与m,n的取值都无关，(5)设函数=(，)由方程P子=0确定，其中F为可微函数，且F,0,则x+yaxdy(A)x.(B)a.(C)-x.(D)-z.o=名含a+万nwjaa+a+万(B)心aa+0a+122附录(e)aa+o)ara+.(7)设向量组I:1,2,，可由向量组：B1,B2,B,线性表示.下列命题正确的是(A)若向量组I线性无关，则rs.(B)若向量组I线性相关，则rs.(C)若向量组线性无关，则rs(D)若向量组线性相关，则rs.(8)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0.若A的秩为3，则A相似于(B)0(D二、填空题：第914小题，每小题4分，共24分(9)3阶常系数线性齐次微分方程y-2y+y-2y=0的通解为y=2x3(10)曲线y=2+1的渐近线方程为(11)函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(0)=(12)当00时，对数螺线r=e的弧长为(13)已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,tw=5cm时，它的对角线增加的速率为(14)设A,B为3阶矩阵，且A|=3,B|=2,A+B|=2,则附录123|A+B1|=三、解答题：第1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)求函数八x)=厂(x-)ed的单调区间与极值.(16)(本题满分10分)(I)比较。ln1n(1+t)d与rlnd(n=1,2,)的大小，说明理由；(夏)记，=。|lntln(1+t)d(n=1,2,）,求极限lim“(17)（本题满分11分)设函数y=f代x)由参数方程s=2+,(-1)所确定，其申()y=(t)具有2阶导数，且(1)=子(1)=6，已知=3dx24(1+),求函数(t).(18)(本题满分10分)一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2，短轴为2b的椭圆，现将贮泊罐平放，当油罐中油面高度为0时（如右图），计算油的质量，(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数pkg/m3.)(19)(本题满分11分)2a设函数“=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4：032+50.确定a,6的值，使等式在变换5+ay,n=x+by下124)附录化为3”=0.agan(20)(本题满分10分)计算二重积分I=rsim0W1-cos29drd0,其中D=(r,0)10rsce0,0041.(21)(本题满分10分)设函数f代x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且0)=01)=号证明：存在专e(0,）(2，使得f()+f(n）=+n2.(22)(本题满分11分)11设A=0-10,b=1已知线性方程组Ax=b存在2个不11入同的解，(I)求，a;()求方程组Ax=b的通解.(23)(本题满分11分)0-14设A=-13,正交矩阵2使得2A2为对角矩阵.若2的(4a0第1列为2(1,2,1)，求a,2.数学（二）试题参考答案一、选择题(1)B(2)A(3)C(4)D(5)B(6)D(7)A(8)D附录125二、填空题(9)Ce2+C2cos x+Casin x(10)y=2x(11)-2(n-1)!(12)2(e-1)(13)3cm/s(14)3三、解答题(15)解f(x)的定义域为(-，+)，由于a-ted.f(x)=2x+2e-2e=2x e-dt,所以f(x)的驻点为x=0,1.列表讨论如下：(-，-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+o)f(x)000f(x)极小极大极小因此，f(x)的单调增加区间为(-1,0)及(1，+)，单调减少区间为(-0,1)及(0,1)：极小值为1)=0，极大值为f0)=Jed业=21-。).(16)解（I)当0t1时，因为ln(1+t)t,所以In t|In(1+t)stIn tl,因此n:(1+)rand.