基础班6-1 一阶微分方程（【公众号：最新考研资料】免费分享）.pdf

.第六章常微分方程?y =f(x,y )y =f(y,y )?y(n)=f(x)?.第一节一阶微分方程微分方程的基本概念(1)微分方程一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.(2)微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶.(3)微分方程的解设方程 F(x,y,y,y(n)=0 是 n 阶微分方程，函数y=(x)在区间 I 上有 n 阶连续导数.若在区间 I 上，F(x,(x),(x),(n)(x)0,则函数 y=(x)叫做微分方程 F(x,y,y,y(n)=0 的解.(4)微分方程的通解与特解若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的解叫做微分方程的通解.确定了通解中的任意常数后，即得到微分方程的特解.(5)初值问题求微分方程 y=f(x,y)满足初始条件 y|x=x0=y0的特解，这样的问题叫做一阶微分方程的初值问题.(6)积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线.初值问题的几何意义，就是求微分方程的通过点(x0,y0)的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题y=f(x,y,y),y|x=x0=y0,y|x=x0=y0的几何意义，是求微分方程的通过点(x0,y0)且在该点处的切线斜率为 y0的那条积分曲线.例 1.已知 y=xlnx是微分方程 y=yx+(xy)的解，则(xy)的表达式为()(A)y2x2.(B)y2x2.(C)x2y2.(D)x2y2.可分离变量的方程若一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx 的形式，即能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy，一端只含 x 的函数和dx，则原方程称为可分离变量的微分方程.例 2.微分方程 y=y(1x)x的通解是.齐次方程若一阶微分方程可化成dydx=(yx)的形式，则称该方程为齐次方程.齐次方程dydx=(yx)的解法作变换 u=yx，则 y=ux，dydx=xdudx+u.于是原方程可化为xdudx=(u)u.用分离变量法求解后，代回 u=yx并解出 y 即可.例 3.求 xy y=x2 y2满足 y(1)=12的特解.一阶线性微分方程方程dydx+p(x)y=q(x)叫做一阶线性微分方程.若 q(x)=0，则dydx+p(x)y=0 是对应于dydx+p(x)y=q(x)的齐次线性方程.一阶非齐次线性微分方程的求解公式一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的通解为y=ep(x)dxq(x)ep(x)dxdx+C,其中 C 为任意常数.例 4.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)=19的解为.例 5.设 f(x)为连续函数，(1)求初值问题y+ay=f(x),y|x=0=0的解 y(x)，其中 a 是正常数；(2)若|f(x)|k(k 为常数)，证明：当 x 0 时，有|y(x)|ka(1 eax).可降阶微分方程(数三不要求).1y=f(x,y)型令 y=p，则 y=p，方程化为 p=f(x,p).2y=f(y,y)型令 y=p，则 y=pdpdy，方程化为pdpdy=f(y,p).3y(n)=f(x)型对 f(x)进行 n 次不定积分.例 6.微分方程 xy+3y=0 的通解为.伯努利方程dydx+p(x)y=q(x)yn(n=0,1)(仅数一要求)原方程两端同时除以 yn可得 yndydx+p(x)y1n=q(x).令z=y1n，则dzdx=(1 n)yndydx.于是原方程可化为dzdx+(1 n)p(x)z=(1 n)q(x).解该一阶线性微分方程，并用 y1n代回 z 便可得原方程的解.?见讲义第一节同步习题.