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新浪微博：考研数学高老师 1 2019 考研高等数学教材（同济七版）复习指导 主讲：高昆轮 一、高等数学（微积分）整体知识结构 函数、极限、连续微分学 导数与微分微分中值定理及导数的应用一元微积分不定积分积分学 定积分与反常积分定积分的应用一阶方程微分方程高阶可降阶方程（数三不要）高阶线性方程 高等数学（微积分）向量代数与空间解析几何（仅数一）函数、极限、连续微分学偏导数与全微分多元微分的应用（极值与最值）多元微积分重积分（数二数三只要二重积分）积分学线面积分（仅数一）多元积分的应用（仅数一）常数项级数无穷级数（数二不要）幂级数傅里叶级数（仅数一）购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料爱启航19数学早鸟营：316801147 群内免费分享19考研资料，不定期答疑新浪微博：考研数学高老师 2 二、高等数学（微积分）教材知识复习 第一章 函数与极限（一）函数是高等数学的研究对象 函数实质上是变量之间的对应关系，变量之间是否有函数关系，就是看是否存在一种对应关系，使得其中一个或几个量定了，另一个量也就被唯一确定，前者是一元函数，后者是多元函数。（二）极限是高等数学的研究工具 研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限，如连续、导数、积分及级数等，由此可见极限是整个高等数学的理论基础；具体到本章重点就是在理解极限的定义、性质及存在准则的基础上，要能熟练地求出各种极限，在教材中求极限的方法分散在了不同章节中，这就需要我们在复习中注意作归纳总结。（三）初等函数的连续性及闭区间上连续函数性质 000,lim,0 xxf xxxf xf xf xa bf xa ba b初等函数在其定义域区间内都是连续的 故若某初等函数在点的某邻域有定义,则;若函数在闭区间上连续 则在上有界 并可以取得最大值与最小值及介于最小和最大值之间的任何数,特别地,当在上有两点异号时,中间必有一点取到.本章主要内容 1.函数及其几种特性（重点是分段函数的复合及函数特性的判定）；2.极限（重点是求极限的方法）；3.连续（重点是闭区间连续函数的性质及间断点）.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料19考研数学抢先备战群：334210069群内免费分享19考研资料，不定期答疑爱启航19数学早鸟营：316801147 群内免费分享19考研资料，不定期答疑新浪微博：考研数学高老师 3 第一节 映射与函数 一、映射（13）不要；二、函数（1215 小体字）不要；例题 610.习题 1-1 13，15.第二节 数列的极限 11111 41,2,:2,.2 3nnnnnnn 考查数列（）即的变化趋势引例 0,.lim.,.nnnnnNnNxaaxnxaax如果对于任意给定的总存在正整数当时,恒有则称常数 是数列在时的极限,记为如果不存在这样的常数则称数列发散定义1 1:12nxNNN思考就数列的定义回答下列问题:（）是否唯一？（）是否与 构成函数关系？例题 3.习题 1-2 2，3，6.第三节 函数的极限 000o00000000o00,;,0,.xxU xU xxxU xxxxU xxU x以 为中心的任何开区间称为点 的邻域 记作在中去掉中心 后 称为点 的去心邻域,记作；设称开区间为点 的 邻域 记作点 的去心 邻域 记作这里 称为邻域半径 例题 6.习题 1-3 2，4.第四节 无穷小与无穷大 习题 1-4 5，6，7，8.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 4 第五节 极限运算法则 例题 18.习题 1-5 1（奇数），3，4，5.第六节 极限存在准则 两个重要极限 柯西极限存在准则（5152）不要 例题 14.习题 1-6 1（4，6），2（2，4），4.第七节 无穷小的比较 30sincos1.lim.sinxxxxx求极限212.limln 1.xxxx求极限 例题 15.习题 1-7 1，5.第八节 函数的连续性与间断点 例题 15.习题 1-8 3，4，5，6，7.第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 例题 18.习题 1-9 全做.第十节 闭区间上连续函数的性质 三、一致连续性（6970）不要 例题 1.习题 1-10 不要 8.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 5 总习题一 不要 4，6，7，8.第二章 导数与微分 本章主要内容是一元函数的导数与微分的概念及各种计算方法，至于导数的应用将在第三章讨论；一元函数的导数就是函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限，在几何上导数就是曲线切线的斜率，从而导数在几何上的应用就是求各种类型曲线的切线或法线方程。一元函数的微分是函数增量与自变量增量之间关系的又一种表达形式，函数的微分构成了函数增量的主要部分，故微分也称线性主部，研究微分的意义在于在误差允许的范围内可以用切线近似代替曲线作研究，这样可使问题得以简化。一元函数的可导性是比连续性更强的结论（一元函数可导必连续，但连续未必可导），而一元函数的可导性与可微性则是等价的。求一元函数的导数与微分方法是一致的，除了按定义求导外，主要是利用基本初等函数导数公式及四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程求导法则来求一阶或二阶导数；求高阶导数就是逐阶求导，要会用分解法、归纳法及莱布尼茨公式等借助某些已知函数的高阶导间接求其他复杂函数的高阶导。本章主要内容 1.导数与微分的定义（重点是导数的定义）；2.导数与微分的计算（重点是隐函数、参数方程及高阶导的计算）.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 6 第一节 导数概念 例题 711.习题 2-1 6，7，8，11，14，16，17，18，19，20.第二节 函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式 例题 115.习题 2-2 9，10，11（奇数），13，14.第三节 高阶导数 例题 18.习题 2-3 4，9，10，11，12.第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率（数三不要参数方程）例题 110 习题 2-4 1（3），2，3，4（奇数），5（2），7，8，10.第五节 函数的微分 四、微分在近似计算中的应用（116120）不要 例题 16.习题 2-5 2，3（奇数），4（奇数）.总习题二 5，17，18 不要 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 7 第三章 微分中值定理与导数的应用 函数的很多性质如单调性、极值、凹凸性及拐点等都跟导数有联系，而微分中值定理（拉格朗日、柯西及泰勒中值定理）正是建立了函数与导数之间的联系，在理解基本定理的基础上，要掌握用导数讨论函数的单调性与极值、凹凸性与拐点及函数图形的描绘；导数的另一个重要应用是求函数的最大值与最小值，要掌握求最值的基本方法。由柯西中值定理导出的洛必达法则是求某些函数极限的有效方法，但要注意此法则适用的条件；微分中值定理和导数还有其他很多方面的应用，如证明不等式、讨论方程根及证明函数及其导数之间在某区间存在满足某种特征的点等。泰勒公式是最一般的形式了，它建立了函数与一阶及高阶导之间的联系，因而涉及高阶的问题可以尝试使用泰勒公式处理，拉格朗日中值定理是泰勒公式的特殊情形；对于泰勒公式，首先要会用间接法借助已知函数的泰勒公式得到其他函数的泰勒公式，其次再学着利用泰勒公式处理一些问题，如求极限、确定无穷小的阶数、证明不等式及证明函数与其高阶导数之间在某区间存在满足某种特征的点等。本章主要内容 1.微分中值定理（重点是罗尔定理、拉格朗日中值定理）；2.洛必达法则；3.泰勒公式；4.单调性与极值、凹凸性与拐点；5.最大值与最小值.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 8 第一节 微分中值定理 例题 129 例 习题 3-1 5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15.第二节 洛必达法则 sin1.lim.xxxx求极限 例题 110.习题 3-2 1（2，3，5，7，10，12，13，15，16），2，3，4.第三节 泰勒公式 例题 13.习题 3-3 6，7，10.第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 例题 111.习题 3-4 4，5，6，7，8，11，12，13，14，15，16.第五节 函数的极值与最大值最小值 例题 17.习题 3-5 3，4，5，8，9，12.第六节 函数图形的描绘 例题 13.习题 3-6 2，4.第七节 曲率（数三不要）四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线（174175）不要 例题 13.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 9 习题 3-7 1，4，5.第八节 方程的近似解（177181）不要 总习题三 17 不要 第四章 不定积分 一元函数积分学主要包括不定积分及定积分两部分，定积分是一元函数积分学的核心，以后要学习的重积分、曲线积分及曲面积分的定义、性质及存在性都与一元定积分相似，而其计算又最终都要化为定积分；从某种意义上讲不定积分则是处于辅助地位，它的意义在于为定积分的牛顿莱布尼茨公式的使用作了一层铺垫。在理解不定积分（原函数）的定义、性质及存在性后，要在熟记基本积分表的基础上掌握三种常用的积分方法（第一类换元法、第二类换元法及分部积分法）及三类常见的可积函数（有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分），但求不定积分作为求导数的逆运算，一开始复习确实不太顺利完成各种计算，这是第一轮复习计算上的一个难点，但实际考研中遇到的不定积分都是属于基本方法可以解决的，不涉及太强的技巧，所以本章节作为第一轮复习也许是难点，但并非重点。本章主要内容 1.原函数的定义、性质及存在性；2.求各种函数的不定积分.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 10 第一节 不定积分的概念与性质 例题 115.第二节 换元积分法 203204 小字内容不要 例题 127.第三节 分部积分法 例题 19.第四节 有理函数的积分（数三不要）例题 18.第五节 积分表的使用（219221）不要 总习题四 全做（本章习题只做总习题四）购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 11 第五章 定积分 上一章已经指出本章定积分是整个一元积分学的核心，而定积分首先是理解其定义、性质及存在性，其次是熟练掌握求定积分的方法，最后还要会处理与定积分有关的证明题。牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的关系，为计算定积分提供了一个有效又简便的方法，当然计算定积分还有其他方法，如换元、分部积分、奇偶性与周期性及一些基本公式等。反常积分是定积分的一种推广（有限区间推广到无穷区间，即无穷区间的反常积分；有界函数推广到无界函数，即无界函数的反常积分）由定积分及极限的计算方法就可以相应得到反常积分的计算方法。本章主要内容 1.定积分的定义、性质即存在性（重点是定义）；2.定积分的计算；3.变上限积分函数的性质及求导原理；4.定积分的证明题；5.反常积分的判敛与计算.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 12 第一节 定积分的概念与性质 三、定积分的近似计算（229232）不要 例题 1.习题 5-1 5，10（偶数），11，12.第二节 微积分基本公式 例题 18.习题 5-2 2，3，4，6，7，11，12，13，14，15，16.第三节 定积分的换元法与分部积分法 例题 112.习题 5-3 1（4，7，9，10，17，18，19，21，24，25，26），2，3，4，5，6，7（6，7，10，11，12，13）.第四节 反常积分 例题 17.习题 5-4 1（偶数），2，3，4.第五节 反常积分的审敛法（262270）不要 总习题五 1（3），17 不要 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 13 第六章 定积分的应用 定积分作为一种特殊的“和式”，利用定积分经典的元素法（分割、近似、求和、取极限）可以得到计算一些几何量的公式（平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长、选择体的侧面积）和一些物理量的公式（功、压力、引力、质心等）。本章主要内容 1.几何量的计算（重点是面积与体积）；2.物理量的计算（重点是功、压力与质心）.第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用（数三只要面积和旋转体体积）例题 113.习题 6-2 4，6，7，9，11，13，15，16，19，20，21，22，25，30.第三节 定积分在物理学上的应用（数三不要）例题 15.总习题六 全做 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 14 第七章 微分方程 微分方程属于一元函数微积分的应用范畴，本章主要有两个问题：一是求解方程，二是根据实际问题中所给条件建立方程。第一个问题解方程是我们所熟悉的，因为每种类型的方程有其特定的解法，所以我们只需首先判定类型，然后选择相应解法即可完成求解的问题，这里主要有一阶方程、高阶可将阶方程、高阶常系数方程及欧拉方程等。第二个问题一般以几何应用（导数方面、定积分方面）和物理应用（变化率、牛顿第二定律等）为背景按照所给条件建立方程，这是综合考查考生应用所学知识解决实际问题，是考试的重点内容。本章主要内容 1.基本方程求解；2.综合题；3.应用题.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 15 第一节 微分方程的基本概念 例题 14.习题 7-1 5，7.第二节 可分离变量的微分方程 例题 14.习题 7-2 6.第三节 齐次方程 二、可化为齐次的方程（312314）不要 例题 12.习题 7-3 3.第四节 一阶线性微分方程（数二数三不要伯努利方程）例题 14.习题 7-4 3.第五节 可降阶的高阶微分方程（数三不要）例题 16.习题 7-5 3.第六节 高阶线性微分方程 习题 7-6 3 第七节 常系数齐次线性微分方程 例题 13，67.习题 7-7 2（偶数）.购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料新浪微博：考研数学高老师 16 第八节 常系数非齐次线性微分方程 例题 14.习题 7-8 2（偶数），5，6.第九节 欧拉方程（仅数一）习题 7-9 5，8.第十节 常系数线性微分方程组解法举例（357360）不要 总习题七 7，12 不要 购课认准QQ12 57796650加QQ1257796650获取完整版资料