【数一 重积分】考研数学历年真题（87-96）课堂笔记.pdf

第六章 重积分 重积分的概念与性质 重积分的计算 重积分的应用 重积分的综合题第一节 重积分的概念与性质 二重积分与定积分二重积分的概念与定积分有相似之处（）（，）被积函数（）有界（，）有界积分区域（区间），积分变量，和式（）（，）几何意义被积函数曲顶柱体体积 中值定理二重积分的中值定理：设函数（，）在闭区域 上连续，是 的面积，则 上至少存在一点（，），使得（，）（，）三重积分的中值定理：设函数（，）在闭区域 上连续，是 的体积，则 上 至 少 存 在 一 点（，），使 得（，）（，）二重积分的积分区域 关于坐标轴对称设（，）是有界闭区域 上的连续函数 有如下结论：（）当积分区域 关于 轴对称时，若（，）为关于 的奇函数，即（，）（，），则（，）若（，）为关于 的偶函数，即（，）（，），则（，）（，），其中 为 在 半平面上的部分（）当积分区域 关于 轴对称时，若（，）为关于 的奇函数，即（，）（，），则（，）若（，）为关于 的偶函数，即（，）（，），则（，）（，），其中 为 在 半平面上的部分 三重积分的积分区域 关于坐标面对称设（，）是有界闭区域 上的连续函数 有如下结论：当 关于 面对称时，若（，）为关于 的奇函数，则（，）若（，）为 关 于 的 偶 函 数，则（，）（，），其中 是 位于 面以上的部分当 关于 面或 面对称时，也有类似的结论（年卷 试题）设有空间区域：，；：，则（）（）（）（）（）（年卷 试题）设 是 平面上以（，），（，）和（，）为顶点的三角形区域，是 在第一象限的部分，则（）等于（）（）（）（）（）（）第二节 重积分的计算题型：二重积分的计算 二重积分中的轮换对称性设（，）是有界闭区域 上的连续函数 当积分区域 关于直线 对称时，则（）（，）（，），其中 和 分别为 位于直线 以上的部分和 位于直线 以下的部分（）（，）（，）（）（，）（，）（，）常见的具有轮换对称性的平面区域图（）中的区域 （，），图（）中的区域 （，）图（）中的区域 （，），图（）中的区域 （，），图（）中的区域 （，）（）（）图（）中的区域 （，）（年 卷 试 题）设 区 域 为 ，则 （年卷 试题）计算二重积分，其中 是由双曲线 及直线 ，所围成的平面区域（年 卷 试 题）计 算 积 分，其 中 （，），题型：交换积分次序交换积分次序 根据二次积分的上、下限，写出积分区域的边界 由积分区域的边界，画出积分区域，或者写出积分区域的表达式 交换积分次序，即用不同于原二次积分的积分次序写出新的二次积分并计算（年卷 试题）积分 的值等于（年卷 试题）计算二次积分 （年卷 试题）计算 （年卷 试题）设函数（）在区间，上连续，并设（），求（）（）题型：三重积分的计算 三重积分中的轮换对称性三重积分中的轮换对称性指的是，轮换坐标轴（轴，轴，轴），积分区域 的表示不变 此时，相应地轮换被积函数中的，的位置，积分值不变设（，）是有界闭区域 上的连续函数 若积分区域 对变量，具有轮换对称性，则（，）（，）（，）（，）（，）（，）常见的具有轮换对称性的空间区域图（）中的区域：（，）图（）中的区域：（，），图（）中的区域：（，），图（）中的区域：（，）（年卷 试题）计算三重积分（），其中 是由曲面 与 所围成的区域（年卷 试题）求（），其中 是由曲线，绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 所围成的立体 第三节 重积分的应用 平面图形的面积与空间立体的体积根据二重积分的几何意义，平面区域 的面积等于，而以曲面 （，）为顶，区域 为底，的边界为准线，母线平行于 轴的曲顶柱体的体积为（，）空间立体 的体积等于 曲面的面积设曲面 由方程 （，）给出，为曲面 在 面上的投影区域，函数（，）在 上具有连续偏导数（，），（，），则曲面的面积为 （，）（，）质心与形心设有一平面薄片，占有 面上的闭区域，其在点（，）处的面密度为（，）若（，）在 上连续，则平面薄片的质心坐标为（，）（，），（，）（，），其中 （，）为薄片的质量类似地，占 有 空 间 有 界 闭 区 域，在 点（，）处 的 密 度 为（，）（假定（，）在 上连续）的物体的质心坐标为 （，），（，），（，），其中 （，）为物体的质量均匀薄片的质心也是该平面薄片所占平面图形的形心；同理，均匀物体的质心也是该物体所占空间立体的形心（年卷 试题）已知点 与点 的直角坐标分别为（，）与（，），线段 绕 轴旋转一周所成的旋转曲面为，求由 及两平面 ，所围成的立体体积 第四节 重积分的综合题（年卷 试题）设半径为 的球面 的球心在定球面 （）上，问当 取何值时，球面 在定球面内部的那部分的面积最大？