１３６第六章重积分１．重积分的概念与性质２．重积分的计算３．重积分的应用４．重积分的综合题第一节重积分的概念与性质１．二重积分与定积分二重积分的概念与定积分有相似之处．∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ被积函数ｆ（ｘ）有界ｆ（ｘ，ｙ）有界积分区域（区间）［ａ，ｂ］Ｄ积分变量ｘｘ，ｙ和式ｎｉ＝１ｆ（ξｉ）Δｘｉｎｉ＝１ｆ（ξｉ，ηｉ）Δσｉ几何意义被积函数曲顶柱体体积２．中值定理二重积分的中值定理：设函数ｆ（ｘ，ｙ）在闭区域Ｄ上连续，σ是Ｄ的面积，则Ｄ上至少存在一点（ξ，η），使得∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝ｆ（ξ，η）σ．１３７三重积分的中值定理：设函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在闭区域Ω上连续，Ｖ是Ω的体积，则Ω上至少存在一点（ξ，η，ζ），使得∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｖ＝ｆ（ξ，η，ζ）Ｖ．３．二重积分的积分区域Ｄ关于坐标轴对称设ｆ（ｘ，ｙ）是有界闭区域Ｄ上的连续函数．有如下结论：（１）当积分区域Ｄ关于ｙ轴对称时，•若ｆ（ｘ，ｙ）为关于ｘ的奇函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０．•若ｆ（ｘ，ｙ）为关于ｘ的偶函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１为Ｄ在ｘ≥０半平面上的部分．（２）当积分区域Ｄ关于ｘ轴对称时，•若ｆ（ｘ，ｙ）为关于ｙ的奇函数，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０．•若ｆ（ｘ，ｙ）为关于ｙ的偶函数，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１为Ｄ在ｙ≥０半平面上的部分．４．三重积分的积分区域Ω关于坐标面对称设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）是有界闭区域Ω上的连续函数．有如下结论：当Ω关于ｘＯｙ面对称时，•若ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为关于ｚ的奇函数，则∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｖ＝０．•若ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为关于ｚ的偶函数，则∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｖ＝２∭Ω０ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｖ，其中Ω０是Ω位于ｘＯｙ面以上的部分．当Ω关于ｙＯｚ面或ｚＯｘ面对称时，也有类似的结论．１３８１（１９８８年卷Ⅰ试题）设有空间区域Ω１：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≤Ｒ２，ｚ≥０；Ω...
