【数一 概率第1-2章】考研数学历年真题（87-96）课堂笔记.pdf

第一章 随机事件与概率 古典概型与几何概型 概率的基本计算公式 事件的独立性与伯努利概型第一节 古典概型与几何概型古典概型和几何概型都是等可能概型，即试验中每个基本事件发生的可能性相同 它们的区别在于，古典概型的样本空间中只包含有限个元素，而几何概型的样本空间（可度量的几何区域）中包含无限个元素古典概型的概率计算：若样本空间中基本事件总数为，事件 包含的基本事件的个数为，则事件 发生的概率为（）几何概型的概率计算：设样本空间为，是 的一个可度量的子区域，从 中随机地取一点，记事件 为“该点落在区域 内”，则事件 发生的概率为（），其中，分别为 和 的几何度量（例如长度、面积、体积等）（年卷 试题）在区间（，）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为（年卷 试题）随机地向半圆 （为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 轴的夹角小于的概率为 第二节 概率的基本计算公式 事件运算的常用运算律交换律：；结合律：（）（）；（）（）分配律：（）（）（）；（）（）（）德摩根律：；条件概率：设，是两个事件，且（），称（）（）（）为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率 概率的基本计算公式（）（），（）（）（）（有限可加性）（）（），其中，为两两不相容的事件 特别地，（）（）（）（）（加法公式）（）（）（）（）（）（乘法公式）（）（）（），其中（）（）（全概率公式）（）（）（）（）（）（）（），其中，为整个样本空间的一个划分，且（），（）（贝叶斯公式）（）（）（）（）（），其中，为整个样本空间的一个划分，且（），（），题型：和事件与积事件（年卷 试题）已知随机事件 的概率（），随机事件 的概率（）及条件概率（），则和事件 的概率（）（年卷 试题）设随机事件，及其和事件 的概率分别是，和 若 表示 的对立事件，那么积事件 的概率（）（年卷 试题）已知（）（）（），（），（）（），则事件，全不发生的概率为（年卷 试题）已知，两个事件满足条件（）（），且（），则（）题型：条件概率与全概率（年卷 试题）三个箱子，第一个箱子中有 个黑球 个白球，第二个箱子中有 个黑球 个白球，第三个箱子中有 个黑球 个白球 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 个球，这个球为白球的概率等于 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为（年卷 试题）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 和 现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为（年卷 试题）一批产品共有 个正品和 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为（年卷 试题）设工厂 和工厂 的产品的次品率分别为 和，现从由 厂和 厂的产品分别占 和 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是由 厂生产的概率是 第三节 事件的独立性与伯努利概型 事件的独立性（）若两事件中任一事件是否发生不影响另一事件发生的概率，则称这两个事件是相互独立的（）事件 与事件 相互独立等价于（）（）（）事件 与事件 相互独立等价于事件 与事件 相互独立，等价于事件 与事件 相互独立，也等价于事件 与事件 相互独立当 （）时，事件 与 相互独立等价于（）（）当 （）时，事件 与 相互独立等价于（）（）当（）时，事件 与 相互独立等价于（）（）；当（）时，事件 与 相互独立等价于（）（）（）若，为 个相互独立的事件，则（），全部发生的概率 （）独立性（）（）（）（），不全发生的概率 （）（）独立性 （）（）（）（），都不发生的概率 （）独立性（）（）（）（）（）（）（）至少有一个事件发生的概率 （）（）恰有一个事件发生的概率 （）（）和（）没有用到独立性 伯努利概型（）在同样的条件下，相互独立地、重复地进行 次随机试验，此种试验称为独立重复试验（）在同样的条件下，相互独立地、重复地进行 次随机试验，并且随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生，那么我们就称这一系列独立重复的随机试验为 重伯努利试验，或称为伯努利概型（）伯努利定理：设在一次试验中，事件 发生的概率为（），则在 重伯努利试验中，事件 恰好发生 次的概率为（）（，）当 时，即在 重伯努利试验中，事件 发生 次的概率为；当 时，即在重伯努利试验中，事件一次也不发生的概率为（）（年卷 试题）设在一次试验中，事件 发生的概率为 现进行 次独立试验，则 至少发生一次的概率为；而事件 至多发生一次的概率为（年卷 试题）设三次独立试验中，事件 出现的概率相等 若已知 至少出现一次的概率等于，则事件 在一次试验中出现的概率为 第二章 随机变量及分布 分布律、概率密度与分布函数 利用分布函数计算概率 随机变量的函数的分布函数第一节 分布律、概率密度与分布函数 分布函数：设 是一个随机变量，是任意实数，函数（），称为 的分布函数分布函数（）具有以下性质：（）（）单调不减（）（）右连续（）（）（）（），（）反过来可以证明：若函数（）满足上述性质，则它必是某个随机变量的分布函数 分布律：设离散型随机变量 所有可能取的值为（，），取各个可能值的概率，即事件 的概率，为 ，上式为离散型随机变量 的分布律由概率的定义可知，；概率密度：若对随机变量 的分布函数（），存在非负可积函数（），使得对于任意实数，都有（）（），则称 为连续型随机变量，（）称为 的概率密度函数，简称概率密度概率密度（）具有以下性质：（）（）（）（）（）对于任意实数，（），（）（）（）（）若（）在点 处连续，则（）（）若函数（）满足上述性质（），（），则它必是某个随机变量的概率密度连续型随机变量的分布函数必然连续，但其概率密度却不一定连续（年卷 试题）已知随机变量 的概率密度函数（），则 的概率分布函数（）第二节 利用分布函数计算概率（）分布的分布律：（），二项分布（，）的分布律：（），当 时，二项分布（，）即（）分布 泊松分布（）的分布律：，其中 是常数 几何分布的分布律：（），超几何分布的分布律：，其中 ，均匀分布：若连续型随机变量 的概率密度为（），其他，则称 在区间（，）上服从均匀分布，记为 （，）指数分布：若连续型随机变量 的概率密度为（），其他，其中 为常数，则称 服从参数为 的指数分布 正态分布：若连续型随机变量 的概率密度为（）（），其中，（）为常数，则称 服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为 （，）特别地，当 ，时，称 服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别记为（），（），即：（），（）正态分布的性质（）若 （，），则 （，），其中 特别地，（，）（）若 （，），（，），与 相互独立，则 （，）标准正态分布（，）的分布函数（）与概率密度（）的性质（）（）（），即（）是偶函数（）（）在（，上单调增加，在，）上单调减少，在 处取最大值（）（，（），（，（）是曲线 （）的两个拐点，其中（）（）（）（），即 轴是曲线 （）的水平渐近线（）（）（）特别地，（）（）对于任意实数 ，有 （）（）（年卷 试题）设随机变量 服从均值为，均方差为 的正态分布 已知（），（），则 落在区间（，）内的概率为（年卷 试题）若随机变量 在（，）上服从均匀分布，则方程 有实根的概率是（年卷 试题）若随机变量 服从均值为，方差为 的正态分布，且 ，则 第三节 随机变量的函数的分布函数求随机变量的函数的概率密度一般有两种方法：利用定义和利用相关定理（）定义法若随机变量 的概率密度为（），（），则（）（）（）（）利用（）（）可求得 的概率密度（）定理法设随机变量 具有概率密度（），又设函数（）处处可导且恒有（）（或恒有（），则 （）是连续型随机变量，其概率密度为（）（）（），其他，其中 （），（），（），（），（）是（）的反函数（年卷 试题）设随机变量 服从（，）上的均匀分布，则随机变量 在（，）内的概率密度（）（年 卷 试 题）设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数 为（）（），求随机变量 的概率密度函数（）（年卷 试题）设随机变量 的概率密度为（），求随机变量 的概率密度（）