【数三 概率第1章随机事件与概率】考研数学历年真题（87-96）课堂笔记.pdf

第二章 随机变量及分布 分布律、概率密度与分布函数 利用分布函数计算概率随机变量的函数的分布函数第一节 分布律、概率密度与分布函数分布函数：设 是一个随机变量，是任意实数，函数（），称为 的分布函数分布函数（）具有以下性质：（）（）单调不减（）（）右连续（）（）（）（），（）反过来可以证明：若函数（）满足上述性质，则它必是某个随机变量的分布函数分布律：设离散型随机变量 所有可能取的值为（，），取各个可能值的概率，即事件 的概率，为 ，上式为离散型随机变量 的分布律由概率的定义可知，；概率密度：若对随机变量 的分布函数（），存在非负可积函数（），使得对于任意实数，都有（）（），则称 为连续型随机变量，（）称为 的概率密度函数，简称概率密度概率密度（）具有以下性质：（）（）（）（）（）对于任意实数，（），（）（）（）（）若（）在点 处连续，则（）（）若函数（）满足上述性质（），（），则它必是某个随机变量的概率密度连续型随机变量的分布函数必然连续，但其概率密度却不一定连续（年卷 试题）判断正误：连续型随机变量取任何给定实数值的概率均为零（年卷 试题）设随机变量 的概率密度为（），且（）（），（）为 的分布函数，则对任意实数，有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（年卷 试题）设随机变量 的分布函数为（），则 ，（年卷 试题）设随机变量 的分布函数为（），则 的概率分布为（年卷 试题）已知随机变量 的概率分布为 ，试写出 的分布函数（）（年卷 试题）一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为，和 假设各部件的状态相互独立，以 表示同时需要调整的部件数，试求 的概率分布，数学期望（）和方差（）（年卷 试题）假设随机变量，相互独立，且同分布，（，）求行列式 的概率分布 第二节 利用分布函数计算概率（）分布的分布律：（），二项分布（，）的分布律：（），当 时，二项分布（，）即（）分布泊松分布（）的分布律：，其中 是常数几何分布的分布律：（），超几何分布的分布律：，其中 ，均匀分布：若连续型随机变量 的概率密度为（），其他，则称 在区间（，）上服从均匀分布，记为 （，）指数分布：若连续型随机变量 的概率密度为（），其他，其中 为常数，则称 服从参数为 的指数分布正态分布：若连续型随机变量 的概率密度为（）（），其中，（）为常数，则称 服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为 （，）特别地，当 ，时，称 服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别记为（），（），即：（），（）正态分布的性质（）若 （，），则 （，），其中 特别地，（，）（）若 （，），（，），与 相互独立，则 （，）标准正态分布（，）的分布函数（）与概率密度（）的性质（）（）（），即（）是偶函数（）（）在（，上单调增加，在，）上单调减少，在 处取最大值（）（，（），（，（）是曲线 （）的两个拐点，其中（）（）（）（），即 轴是曲线 （）的水平渐近线（）（）（）特别地，（）（）对于任意实数 ，有 （）（）（年卷 试题）设随机变量 与 均服从正态分布，（，），（，），记 ，则（）（）对任何实数，都有 （）对任何实数，都有 （）只对 的个别值，才有 （）对任何实数，都有 （年卷 试题）设随机变量 （，），则随着 的增大，概率 （）（）单调增大（）单调减小（）保持不变（）增减不定（年卷 试题）一射手对同一目标独立地进行 次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为（年卷 试题）设随机变量 的概率密度为（），其他，以 表示对 的三次独立重复观察中事件 出现的次数，则 （年卷 试题）某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 分，分以上的占考生总数的，试求考生的外语成绩在 分至 分之间的概率附表（表中（）是标准正态分布函数）（）（年卷 试题）假设测量的随机误差 （，），试求出在 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 的概率，并利用泊松分布求出 的近似值（要求小数点后取两位有效数字）附表（年卷 试题）假设一大型设备在任何长为 的时间内发生故障的次数（）服从参数为 的泊松分布，（）求相继两次故障之间时间间隔 的概率分布；（）求在设备已经无故障工作 小时的情形下，再无故障运行 小时的概率 （年卷 试题）假设随机变量 的概率密度为（），其他现在对 进行 次独立重复观测，以 表示观测值不大于的次数，试求随机变量 的概率分布（年卷 试题）假设一厂家生产的每台仪器，以概率 可以直接出厂；以概率 需进一步调试，经调试后以概率 可以出厂；以概率 定为不合格品不能出厂 现该厂生产了（）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）求（）全部能出厂的概率；（）其中恰好有两台不能出厂的概率；（）其中至少有两台不能出厂的概率 第三节 随机变量的函数的分布函数求随机变量的函数的概率密度一般有两种方法：利用定义和利用相关定理（）定义法若随机变量 的概率密度为（），（），则（）（）（）（）利用（）（）可求得 的概率密度（）定理法设随机变量 具有概率密度（），又设函数（）处处可导且恒有（）（或恒有（），则 （）是连续型随机变量，其概率密度为（）（）（），其他，其中 （），（），（），（），（）是（）的反函数（年卷 试题）假设随机变量 在区间（，）上服从均匀分布试求随机变量 的概率密度（）（年卷 试题）假设随机变量 服从参数为 的指数分布，证明：在区间（，）上服从均匀分布（年卷 试题）假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 的指数分布当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作试求电路正常工作的时间 的概率分布