３２７第二章随机变量及分布１．分布律、概率密度与分布函数２．利用分布函数计算概率３．随机变量的函数的分布函数第一节分布律、概率密度与分布函数１．分布函数：设Ｘ是一个随机变量，ｘ是任意实数，函数Ｆ（ｘ）＝Ｐ｛Ｘ≤ｘ｝，－∞＜ｘ＜＋∞称为Ｘ的分布函数．分布函数Ｆ（ｘ）具有以下性质：（１）Ｆ（ｘ）单调不减．（２）Ｆ（ｘ）右连续．（３）０≤Ｆ（ｘ）≤１．（４）ｌｉｍｘ→－∞Ｆ（ｘ）＝０，ｌｉｍｘ→＋∞Ｆ（ｘ）＝１．反过来可以证明：若函数Ｆ（ｘ）满足上述性质，则它必是某个随机变量的分布函数．２．分布律：设离散型随机变量Ｘ所有可能取的值为ｘｋ（ｋ＝１，２，…），Ｘ取各个可能值的概率，即事件｛Ｘ＝ｘｋ｝的概率，为Ｐ｛Ｘ＝ｘｋ｝＝ｐｋ，ｋ＝１，２，…．上式为离散型随机变量Ｘ的分布律．由概率的定义可知，ｐｋ≥０，ｋ＝１，２，…；∞ｋ＝１ｐｋ＝１．３２８３．概率密度：若对随机变量Ｘ的分布函数Ｆ（ｘ），存在非负可积函数ｆ（ｘ），使得对于任意实数ｘ，都有Ｆ（ｘ）＝∫ｘ－∞ｆ（ｔ）ｄｔ，则称Ｘ为连续型随机变量，ｆ（ｘ）称为Ｘ的概率密度函数，简称概率密度．概率密度ｆ（ｘ）具有以下性质：（１）ｆ（ｘ）≥０．（２）∫＋∞－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝１．（３）对于任意实数ｘ１，ｘ２（ｘ１≤ｘ２），Ｐ｛ｘ１＜Ｘ≤ｘ２｝＝Ｆ（ｘ２）－Ｆ（ｘ１）＝∫ｘ２ｘ１ｆ（ｘ）ｄｘ．（４）若ｆ（ｘ）在点ｘ处连续，则Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）．若函数ｆ（ｘ）满足上述性质（１），（２），则它必是某个随机变量的概率密度．连续型随机变量的分布函数必然连续，但其概率密度却不一定连续．１（１９８７年卷Ⅳ试题）判断正误：连续型随机变量取任何给定实数值的概率均为零．３２９２（１９９３年卷Ⅳ试题）设随机变量Ｘ的概率密度为φ（ｘ），且φ（－ｘ）＝φ（ｘ），Ｆ（ｘ）为Ｘ的分布函数，则对任意实数ａ，有（）（Ａ）Ｆ（－ａ）＝１－∫ａ０φ（ｘ）ｄｘ．（Ｂ）Ｆ（－ａ）＝１２－∫ａ０φ（ｘ）ｄｘ．（Ｃ）Ｆ（－ａ）＝Ｆ（ａ）．（Ｄ）Ｆ（－ａ）＝２Ｆ（ａ）－１．３３０３（１９８９年卷Ⅳ试题）设随机变量Ｘ的分布函数为Ｆ（ｘ）＝０，ｘ＜０，Ａｓｉｎｘ，０≤ｘ≤π２，１，ｘ＞π２...
