基础班7-3 傅里叶级数 (数一)（【公众号：最新考研资料】免费分享）.pdf

.第三节傅里叶级数(数一)傅里叶级数设 f(x)是周期为 2 的函数，若积分f(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,)和f(x)sinnxdx(n=1,2,3,)均存在，记an=1f(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,),bn=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3,),则 a0，a1，b1，a2，b2，称为函数 f(x)的傅里叶系数，所得三角级数a02+n=1(ancosnx+bnsinnx)称为函数 f(x)的傅里叶级数.设 f(x)为周期为 2 的函数，在,)上，f(x)=1,x 0,),1,x ,0).记 fn(x)为它的傅里叶级数的前 n 项部分和.f2(x)=b1sinx，其图像为一个正弦波的图像；f4(x)=b1sinx+b3sin3x，其图像为 2 个正弦波叠加的图像；f8(x)=b1sinx+b3sin3x+b5sin5x+b7sin7x，其图像为 4 个正弦波叠加的图像.分别来看 f2(x)，f4(x)，f8(x)的图像以及 f105(x)的图像.狄利克雷定理设 f(x)是周期为 2l 的函数，若它满足(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，(2)在一个周期内至多只有有限个极值点，则 f(x)的傅里叶级数收敛，并且 当 x 是 f(x)的连续点时，级数收敛于 f(x)；当 x 是 f(x)的间断点时，级数收敛于12f(x)+f(x+).周期为 2l 的函数的傅里叶级数展开式设周期为 2l 的函数 f(x)满足狄利克雷收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为f(x)=a02+n=1(ancosnxl+bnsinnxl)(x C),其中an=1lllf(x)cosnxldx(n=0,1,2,),bn=1lllf(x)sinnxldx(n=1,2,3,),C=x?f(x)=12f(x)+f(x+).例 11.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间(1,1 上的定义为f(x)=2,1 x 0,x3,0 x 1,则 f(x)的傅里叶级数在 x=1 处收敛于.周期延拓余弦级数的系数若 f(x)是以 2l 为周期的偶函数，则 f(x)的余弦级数的系数an=2ll0f(x)cosnxldx(n=0,1,2,),bn=0(n=1,2,3,).正弦级数的系数若 f(x)是以 2l 为周期的奇函数，则 f(x)的正弦级数的系数an=0(n=0,1,2,),bn=2ll0f(x)sinnxldx(n=1,2,3).例 12.设 f(x)=|x 12|，bn=210f(x)sinnxdx(n=1,2,).令S(x)=n=1bnsinnx，则 S(94)=()(A)34.(B)14.(C)14.(D)34.例 13.将函数 f(x)=1 x2(0 x )展开成余弦级数，并求n=1(1)n1n2的和.?见讲义第三节同步习题.