基础班5-2二重积分的计算（【公众号：最新考研资料】免费分享）.pdf

.第二节二重积分的计算?x?y具有奇偶性?y?x具有奇偶性?y=x?X?y?xY?x?y?|?max?min?.二重积分中的轮换对称性设 f(x,y)是有界闭区域 D 上的连续函数.当积分区域 D 关于直线y=x 对称时，则(1)D1f(x,y)d=D2f(y,x)d，其中 D1和 D2分别为 D 位于直线y=x 以上的部分和 D 位于直线 y=x 以下的部分.(2)Df(x,y)d=Df(y,x)d.(3)Df(x,y)d=12Df(x,y)+f(y,x)d.常见的具有轮换对称性的平面区域D=(x,y)|a x a,a y a.D=(x,y)|x2+y2 a2.D=(x,y)|a2 x2+y2 b2,x 0,y 0.D=(x,y)|0 x a,0 y a.D=(x,y)|(x a)2+(y a)2 a2.D=(x,y)|x|+|y|a.Oy=xaa?a?a?yx?.例 5.设正值函数 f 连续，a，b，c 均为非零常数，求曲面(z a2)f(x)+(z b2)f(y)=0 和柱面|x|+|y|=c 及平面 z=0围成的空间立体的体积.在直角坐标系下计算二重积分(i)将二重积分化为先对 y、后对 x 的二次积分.Df(x,y)d=ba2(x)1(x)f(x,y)dydx.(ii)将二重积分化为先对 x、后对 y 的二次积分.Df(x,y)d=dc2(y)1(y)f(x,y)dxdy.在极坐标系下计算二重积分点 M 的直角坐标(x,y)与极坐标(r,)的关系为x=rcos,y=rsin.若在极坐标系下计算二重积分，则有公式Df(x,y)d=Df(rcos,rsin)rdrd,其中 rdrd 为极坐标系中的面积元素，有时也采用 dd 这种记号.例 6.设区域 D 由曲线 y=sinx，x=2，y=1 围成，则D(xy5 1)dxdy=()(A).(B)2.(C)2.(D).例 7.设函数 f(u)连续，区域 D=(x,y)|x2+y2 2y，则Df(xy)dxdy 等于()(A)11dx1x21x2f(xy)dy.(B)220dy2yy20f(xy)dx.(C)0d2sin0f(r2sincos)dr.(D)0d2sin0f(r2sincos)rdr.例 8.设区域 D 为 x2+y2 R2，则D(x2a2+y2b2)dxdy=.例 9.计算二重积分 I=Dr2sin1 r2cos2drd，其中D=(r,)|0 r sec,0 4.交换积分次序1 根据二次积分的上、下限，写出积分区域的边界.2 由积分区域的边界，画出积分区域，或者写出积分区域的表达式.3 交换积分次序，即用不同于原二次积分的积分次序写出新的二次积分并计算.例 10.交换二次积分的积分次序：01dy1y2f(x,y)dx=.?见讲义第二节同步习题.