高等代数(1).pdf

安徽师龙大学2016年招收硕士研究生考题科目名称：高等代数科目代码：891考生请注意：答案必须写在答题纸上，写在本考题纸上的无效！一、(15分)设u(x),v(x),f(x),g(x)都是数域P上的多项式，且(x4+1)f(x)+(x+1)u(x)+(x-2)v(x)=0,(x4+1)g(x)+(x-1)u(x)+(x+2)v(x)=0试问：u(x)和v(x)是否都能被x4+1整除？为什么？二、(15分)设m,n都是正整数且n大于m,f(x)是有理数域Q上的一个m次多项式，试问：2是不是f(x)的实根？为什么？a2aa1+1a2a2三、(15分)设n是一个大于1的整数，计算n级行列式：D=四、(15分)设向量组a1,a2,a3,a4线性无关，向量B1=k1a1+k2a2,B2=k1a2+k2a3,B3=k1a3+k2zas,B4=ka4+kza1,试问：常数k1:k2满足什么条件时，向量组B1,B2,B2、B线性无关五、(15分)设n是一个正整数，A,B都是n级实对称矩阵，证明：1、(5分)矩阵A的特征值都是实数；2、(10分)若矩阵A的特征值都大于a,矩阵B的特征值都大于b,则矩阵A+B的特征值都大于a+b.安徽师范大学招收硕士学位研究生考试考题纸第1页，共2页考生请注意：答案必须写在答题纸上，写在本考题纸上的无效！六、(20分)设向量a1,a2,，是线性方程组Ax=b的s个解，其中b是非零向量，证明：1.（10分)若常数k,k.k_,使得二ka,=0,则二k=0;2.（10分)若常数，b-.,使得a,是线性方程组x=b的解，则二=1.七、(20分)设向量组a,B,y是线性空间V的一组基，是线性空间V的线性变换，且o=+B+y,o=+y,oy=y.1.(10分)证明：是V的一个可逆线性变换；2.(10分)求线性空间V的线性变换30-20在V的基a,B,y下的矩阵.八、(20分)设n是一个正整数，A是一个秩为r的n级方阵，满足A2=A,E是n级单位矩阵1.(15分)求矩阵A+E的行列式；2.(5分)证明：矩阵A的迹是r.九、(15分)设n是一个正整数，A,B都是数域P上的n级方阵，且AB=BA,又有一个正整数m使得A=0,证明：矩阵A+B的行列式等于矩阵B的行列式，即：|A+B|=|B|.安徽师范大学招收硕士学位研究生考试考题纸第2页,共2页