工程力学6-1-j5b(1).pdf

北京理工大学理学院力学系韩斌(6(6-1)1)32/II工程力学工程力学A(A(上上)2kFMjFMiFMFFFzyxkjiFrFMOzOyOxzyxO)()()()(1)(1)定义力对定义力对定义力对定义力对OO点之矩为：点之矩为：点之矩为：力对点之矩式中点之矩为：力对点之矩式中力对力对力对力对 x x 轴之矩轴之矩轴之矩轴之矩力对力对力对力对 y y 轴之矩轴之矩轴之矩轴之矩力对力对力对力对 z z 轴之矩轴之矩轴之矩轴之矩)()()()()()(FMFMFMFMFMFMzOzyOyxOx2.力对点之矩，力对轴之矩力对点之矩，力对轴之矩(续续)rxyzOh)(FMOF1)力对点之矩为一个定位矢量；力对点之矩为一个定位矢量；2)三要素：大小、方向、矩心；三要素：大小、方向、矩心；3)的大小为的大小为 MO=Fh,单位：单位：Nm,kN m)(FMO力对点之矩特点力对点之矩特点3lFMFMAl)()(A可取可取 l 轴上任意一点轴上任意一点)(5.2)(2)定义力对任意定义力对任意 l 轴（方向轴（方向 l）之矩为）之矩为:xyzAr)(FMAl 轴lF)(FMl力对轴之力对轴之力对轴之力对轴之矩特点矩特点矩特点矩特点1)力对轴之矩为一代数量力对轴之矩为一代数量,单位单位:Nm,kN m 2)代数量的符号由右手螺旋法则定出；代数量的符号由右手螺旋法则定出；(拇指方向与轴的方向一致为正拇指方向与轴的方向一致为正)3)当力与某轴共面时，力对该轴之矩为零。（力和轴平行或力的作用线通过该轴）当力与某轴共面时，力对该轴之矩为零。（力和轴平行或力的作用线通过该轴）4(3)力对轴之矩的大小力对轴之矩的大小dFdFFMzcos)(力对任一力对任一z轴的矩，等于这力在轴的矩，等于这力在z轴的垂直面上的分量对该投影面和轴的垂直面上的分量对该投影面和z轴交点的矩。轴交点的矩。FF51)合力矩定理若合力矩定理若)()()(2121FMFMFMFFFOOO则则(5.3)2)合力对轴之矩定理若则合力对轴之矩定理若则)()()(2121FMFMFMFFFlll(5.4)(4)对作用在同一个刚体上的作用线交于一点的对作用在同一个刚体上的作用线交于一点的作用在同一个刚体上的作用线交于一点的作用在同一个刚体上的作用线交于一点的力系力系力系力系,有以下定理有以下定理:21 ,FF1F2FFll 轴轴O在计算力对点之矩和力对轴之矩时在计算力对点之矩和力对轴之矩时,常应用以上二式常应用以上二式:lOyxz zFxFzFyF)()()()(zOyOxOOFMFMFMFM)()()(yzxzzFMFMFM6（5）力对点之矩、力对轴之矩的计算）力对点之矩、力对轴之矩的计算力对点之矩、力对轴之矩的计算力对点之矩、力对轴之矩的计算利用合力矩定理利用合力矩定理利用合力矩定理利用合力矩定理(将一个力分解后分别计算其对点之矩将一个力分解后分别计算其对点之矩,再将结果矢量叠加再将结果矢量叠加),方向垂直 与 组成的平面方向垂直 与 组成的平面FhFMO)(rF利用合力对轴之矩定理利用合力对轴之矩定理利用合力对轴之矩定理利用合力对轴之矩定理(将一个力分解后分别计算其对轴之矩，再将结果代数叠加）利用定义将一个力分解后分别计算其对轴之矩，再将结果代数叠加）利用定义lFMFMAl)()(计算力对点之矩计算力对点之矩)(FMO计算力对轴之矩计算力对轴之矩)(FMl利用定义利用定义zyxOFFFzyxkjiFrFM)(7例 题例 题1 5 静力学基本概念 5 静力学基本概念 例题例题手柄手柄ABCE在平面在平面Axy内内,在在D处作用一个力处作用一个力F，如图所示，它在垂直于，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果。如果CD=b，杆杆BC平行于平行于x轴轴,杆杆CE平行于平行于y轴，轴，AB和和BC的长度都等于的长度都等于l。试求力对。试求力对x，y和和z三轴的矩及力对三轴的矩及力对A点之矩。点之矩。F8 blFCDABFFMFMlFBCFFMFMblFCDABFFMFMxxzzzZyyzZxx sincos cos blFCDABFFMFMlFBCFFMFMblFCDABFFMFMxxzzzZyyzZxx sincos cos cos0 sinFFFFFzyx cos0 sinFFFFFzyx由于力与轴平行或相交时力对由于力与轴平行或相交时力对由于力与轴平行或相交时力对由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有该轴的矩为零，则有该轴的矩为零，则有该轴的矩为零，则有解：解：方法方法1例 题例 题1 5 静力学基本概念 5 静力学基本概念 例题例题xFzF力对力对A点之矩：点之矩：kbLFjFliblFFMAsin)(coscos)()(应用合力对轴之矩定理。力 沿坐标轴的投影分别为：应用合力对轴之矩定理。力 沿坐标轴的投影分别为：Fllb9应用力对轴的矩之解析表达式求解。应用力对轴的矩之解析表达式求解。xyzzxyyzxyFxFFMxFzFFMzFyFFM xyzzxyyzxyFxFFMxFzFFMzFyFFM cos,0,sinFFFFFzyx cos,0,sinFFFFFzyx因为力在坐标轴上的投影分别为：因为力在坐标轴上的投影分别为：0,zblylx0,zblylx力作用点力作用点D 的坐标为：的坐标为：sin sin0 cos cos0 cos0 cos blFFblyFxFFMFlFlxFzFFMblFFblzFyFFMxyzzxyyzx sin sin0 cos cos0 cos0 cos blFFblyFxFFMFlFlxFzFFMblFFblzFyFFMxyzzxyyzx则则方法方法2例 题例 题1 5 静力学基本概念 5 静力学基本概念 例题例题力对力对A点之矩：点之矩：kbLFjFliblFFMAsin)(coscos)()(llb103.力偶和力偶矩力偶和力偶矩定义 大小相等、方向相反、不共线的两个力和组成的力系称为力偶定义 大小相等、方向相反、不共线的两个力和组成的力系称为力偶力偶力偶，记为。，记为。21FF),(21FF力偶的性质力偶的性质1F2F（1）力偶中的两力矢量和恒为零）力偶中的两力矢量和恒为零:021FF（2）力偶中的两力对空间任意点之矩的矢量和恒相等且不为零）力偶中的两力对空间任意点之矩的矢量和恒相等且不为零,称为力偶矩称为力偶矩力偶矩力偶矩。),(21FFM)()()()(),(2122112112121122112121FMFrFMFrFrFrFrFrFMFMFFMDDOO(5.5)OD2D11r2r12r21r111F2FOD2D11r2r(3)力偶的三要素：力偶的三要素：1)作用面作用面两个力所在的平面两个力所在的平面2)力偶的转向力偶的转向在力偶的作用面内，由右手螺旋法确定。在力偶的作用面内，由右手螺旋法确定。3)力偶矩的大小力偶矩的大小 FdFFM),(21d力偶矩为自由矢量！力偶矩为自由矢量！力偶矩为自由矢量！力偶矩为自由矢量！力偶矩的大小只取决于乘积力偶矩的大小只取决于乘积力偶矩的大小只取决于乘积力偶矩的大小只取决于乘积FdFd!),(21FFM力偶和力是具有相同地位的力系的最基本的元素力偶和力是具有相同地位的力系的最基本的元素12例 题例 题2 5 静力学基本概念 5 静力学基本概念 例题例题OxyzC(0,0,c)B(0,b,0)A(a,0,0)1F2F已知已知：a=5m,b=4m,c=3m,二力大小相等方向相反，求力偶矩。力大小相等方向相反，求力偶矩。kNFFF102113),(21FFM例 题例 题2 5 静力学基本概念 5 静力学基本概念 例题例题解：解：212121)()(),(FCAFACFMFMFFMCAkci aACkFjFFcossin1cossin00),(121FFcakjiFACFFMmkNkji)403924(53cos54sinOxyzC(0,0,c)B(0,b,0)A(a,0,0)1F2Fabca=5mb=4mc=3mF1=F2=F14 5.2 力系的主矢和力系对某点的主矩力系的主矢和力系对某点的主矩1.力系的分类共线力系平面力系空间力系平行力系汇交力系力偶系力系的分类共线力系平面力系空间力系平行力系汇交力系力偶系特殊力系任意力系特殊力系任意力系一般力系从力系中力的作用线之间关系可区分为：一般力系从力系中力的作用线之间关系可区分为：152.力系的特征量（力系的特征量（1）力系的主矢）力系的主矢力系的主矢力系的主矢力系的特征量力系的特征量表征力系的整体作用效应力系中各力的矢量和表征力系的整体作用效应力系中各力的矢量和力系中各力的矢量和力系中各力的矢量和，记为，记为RFizRziyRyixRxRzRyRxniiRFFFFFFkFjFiFFF ,1(5.6)RRzRRRyRRRxRRzRyRxRRFFkFFFjFFFiFFFFFF),cos(,),cos(,),cos(222(5.7)力系主矢的特点力系主矢的特点主矢为自由矢量主矢为自由矢量主矢为自由矢量主矢为自由矢量（只有大小、方向，无起始点）（只有大小、方向，无起始点）RF1F3F4F2FM16（2）力系对某点的主矩）力系对某点的主矩力系对某点的主矩力系对某点的主矩取取取取矩心为矩心为矩心为矩心为O,O,力系中各力对力系中各力对力系中各力对力系中各力对OO点之矩的矢量和点之矩的矢量和点之矩的矢量和点之矩的矢量和,记为记为OMiniiniiOOFrFMM11)(5.8)力系主矩的特点力系主矩的特点主矩与矩心有关主矩与矩心有关,对不同的矩心对不同的矩心O与与A，若两矩心满足，若两矩心满足iirOAr则则ARiiiiiiiOMFOAFrFOAFrOAFrM)(OAiFirirRAOFOAMM(5.9)力系对不同点主矩的之间的关系故力系对某点的主矩是一个定位矢量，力系对不同点主矩的之间的关系故力系对某点的主矩是一个定位矢量，力系对某点的主矩是一个定位矢量，力系对某点的主矩是一个定位矢量，位于矩心处，一般将主矢也画于矩心点上位于矩心处，一般将主矢也画于矩心点上位于矩心处，一般将主矢也画于矩心点上位于矩心处，一般将主矢也画于矩心点上。1F3F4F2FRFOOM1718例 题例 题3 5 静力学基本概念 5 静力学基本概念 例题例题OxyzC(a,a,0)B(0,0,2a)A(0,0,a)1F2F45如图，力系中分别作用于点如图，力系中分别作用于点A(0,0,a)和点和点B(0,0,2a)，已知：，已知：a=3m,F1=4kN,F2=6kN,求力系的主矢及力系对点求力系的主矢及力系对点O、点、点C(a,a,0)的主矩。的主矩。21,FF19例 题例 题3 5 静力学基本概念 5 静力学基本概念 例题例题解：解：kjkjFiF2323)2222(6421又又krkr6321主矢主矢kjiFFiR23234对点对点O的主矩的主矩jikjikjiFrFrMO12218232306000043002211OxyzC(a,a,0)B(0,0,2a)A(0,0,a)1F2F45a=3mF1=4kNF2=6kN1r2r20例例例例 题题题题3 3 5 静力学基本概念 5 静力学基本概念 例题例题例题例题kjikjijiFCOMMROC)2912()2912(292323403312218OxyzC(a,a,0)B(0,0,2a)A(0,0,a)1F2F45a=3mF1=4kNF2=6kNkjiFR23234jiCO33 求对点求对点C的主矩，利用两点主矩关系的主矩，利用两点主矩关系:ROCFCOMMCO21例例例例 题题题题3 3 5 静力学基本概念 5 静力学基本概念 例题例题例题例题OxyzB(0,0,2a)A(0,0,a)1F2F45C(a,a,0)RFRFOM力系的主矢和力系对点力系的主矢和力系对点O的主矩力系的主矢和力系对点的主矩力系的主矢和力系对点C的主矩的主矩主矢主矢kjiFR23234jiMO12218kjiMC)2912()2912(29主矩主矩OxyzB(0,0,2a)A(0,0,a)1F2F45C(a,a,0)CM22 5.3 力系平衡基本公理 5.3 力系平衡基本公理公理：经验的总结，又经实践检验正确的普遍规律，但无法推导证明之。公理一公理：经验的总结，又经实践检验正确的普遍规律，但无法推导证明之。公理一公理一公理一（二力平衡公理）：（二力平衡公理）：（二力平衡公理）：（二力平衡公理）：作用于同一刚体上的两个力，使刚体平衡的充要条件是这二力等值、反向、共线，这样的 刚体称为二力体（杆）。若对变形体，则只是必要条件。公理二（加减平衡力系公理）：在刚体上加上或减去一个平衡力系，不改变刚体原来力系的作用效果。推论：力的可传性作用于同一刚体上的两个力，使刚体平衡的充要条件是这二力等值、反向、共线，这样的 刚体称为二力体（杆）。若对变形体，则只是必要条件。公理二（加减平衡力系公理）：在刚体上加上或减去一个平衡力系，不改变刚体原来力系的作用效果。推论：力的可传性作用于刚体上的力可沿其作用线滑移而不改变其作用效果（滑移矢量）。注意：不可用于变形体！作用于刚体上的力可沿其作用线滑移而不改变其作用效果（滑移矢量）。注意：不可用于变形体！注意：不可用于变形体！注意：不可用于变形体！23杆公理三（刚化公理）：变形体在某一力系作用下平衡，若在其位置上将变形体刚化为刚体，则平衡状态不变杆公理三（刚化公理）：变形体在某一力系作用下平衡，若在其位置上将变形体刚化为刚体，则平衡状态不变。24 5.4 力系等效基本性质 5.4 力系等效基本性质等效力系：不同的力系对刚体的作用若产生相同的效果，这样的力系称为等效力系。注意：力系等效的作用是可使复杂的力系用简单的力系来代替。等效力系：不同的力系对刚体的作用若产生相同的效果，这样的力系称为等效力系。注意：力系等效的作用是可使复杂的力系用简单的力系来代替。对作用于变形体的力系不可随意等效！对作用于变形体的力系不可随意等效！对作用于变形体的力系不可随意等效！对作用于变形体的力系不可随意等效！25性质性质1：力的平行四边形法则（求二力的合力）。推论：力的平行四边形法则（求二力的合力）。推论1：三力平衡必共面汇交：三力平衡必共面汇交三力平衡必共面汇交三力平衡必共面汇交。推论。推论2：汇交力系存在合力（合力作用线仍过汇交点）。性质：汇交力系存在合力（合力作用线仍过汇交点）。性质2：力偶等效定理：力偶等效定理作用于同一刚体上的两力偶等效的条件是两力偶的力偶矩相等。推论作用于同一刚体上的两力偶等效的条件是两力偶的力偶矩相等。推论1：力偶中的两个力作用线在其作用面内同时平移、转动（保持力偶臂不变），不会改变力偶对刚体的作用效果。：力偶中的两个力作用线在其作用面内同时平移、转动（保持力偶臂不变），不会改变力偶对刚体的作用效果。26推论推论2：力偶作用面的任何平移不会改：力偶作用面的任何平移不会改力偶作用面的任何平移不会改力偶作用面的任何平移不会改变力偶对刚体的作用效果变力偶对刚体的作用效果变力偶对刚体的作用效果变力偶对刚体的作用效果。推论。推论3：保持力偶矩不变而任意改变力偶中两力的大小和力偶臂的值，不会改变力偶对刚体的作用效果。性质：保持力偶矩不变而任意改变力偶中两力的大小和力偶臂的值，不会改变力偶对刚体的作用效果。性质3：力偶矩的平行四边形法则（求合力偶矩）。推论：合力偶定理。：力偶矩的平行四边形法则（求合力偶矩）。推论：合力偶定理。niiMM127性质性质4：力偶不可能与一个力相平衡。推论：力偶不可能与一个力相平衡。推论1：力偶的两个力不可能合成为一个力（力偶无合力）。注意：无合力合力为：力偶的两个力不可能合成为一个力（力偶无合力）。注意：无合力合力为注意：无合力合力为注意：无合力合力为0 0推论推论推论推论2 2：力偶只能被力偶矩与之等值反向：力偶只能被力偶矩与之等值反向：力偶只能被力偶矩与之等值反向：力偶只能被力偶矩与之等值反向的另一力偶所平衡。的另一力偶所平衡。的另一力偶所平衡。的另一力偶所平衡。28 5.5 约束和约束力 5.5 约束和约束力约束约束约束约束物体非自由运动的限制条件，由其他物体的接触而提供的。约束力物体非自由运动的限制条件，由其他物体的接触而提供的。约束力约束力约束力又称约束反力，是由约束产生的，作用于被约束的非自由物体上，包括约束力和约束力偶矩。被研究的物体所受的全部力又称约束反力，是由约束产生的，作用于被约束的非自由物体上，包括约束力和约束力偶矩。被研究的物体所受的全部力:主动力主动力使物体产生运动趋势或变形使物体产生运动趋势或变形,与约束无关约束力与约束无关约束力与约束处的特点有关与约束处的特点有关与约束处的特点有关与约束处的特点有关,与主动力有关与主动力有关注意注意注意注意:做受力分析做受力分析做受力分析做受力分析,画受力图时画受力图时画受力图时画受力图时,约束力矢量约束力矢量约束力矢量约束力矢量的存在和方位应由约束特点决定的存在和方位应由约束特点决定的存在和方位应由约束特点决定的存在和方位应由约束特点决定29解除约束原理（对研究对象取分离体）解除约束原理（对研究对象取分离体）解除约束原理（对研究对象取分离体）解除约束原理（对研究对象取分离体）:撤去所研究的物体周围的其他物体给予它的全部约束，用相应的约束力代替，并画图表示。两接触物体间的相互约束力撤去所研究的物体周围的其他物体给予它的全部约束，用相应的约束力代替，并画图表示。两接触物体间的相互约束力相互约束力相互约束力是一对作用力和反作用力是一对作用力和反作用力作用力和反作用力作用力和反作用力，分别作用于不同的物体上。，分别作用于不同的物体上。AF特别注意特别注意特别注意特别注意画受力图时画受力图时,若要画出系统内部两接触物体之间的相互约束力若要画出系统内部两接触物体之间的相互约束力,一定要解除它们之间的约束一定要解除它们之间的约束,在两个物体上分别画出这一对大小相等、方向相反的作用力与反作用力，分别用和表示。在两个物体上分别画出这一对大小相等、方向相反的作用力与反作用力，分别用和表示。AF物体受力分析的方法物体受力分析的方法30常见的约束和相应约束力常见的约束和相应约束力1.柔性体（柔绳）约束柔软、不可伸长的约束物体（不计重量，如绳索，链条，胶带），只限制被约束物沿柔性体被拉伸方向的运动，单侧约束。柔性体（柔绳）约束柔软、不可伸长的约束物体（不计重量，如绳索，链条，胶带），只限制被约束物沿柔性体被拉伸方向的运动，单侧约束。312.光滑面约束两物体接触表面光滑无摩擦（接触面可为平面或曲面），限制被约束物沿接触面公法线指向约束物的运动，单侧约束。光滑面约束两物体接触表面光滑无摩擦（接触面可为平面或曲面），限制被约束物沿接触面公法线指向约束物的运动，单侧约束。FF32