高数下强化讲义.pdf

第一讲多元函数微分学综述 概念 计算 微分法 应用 极值和最值问题一、概念 连续性若 狓狓狔狔犳（狓，狔）犳（狓，狔），则称犳（狓，狔）在（狓，狔）处连续【注】若“”，叫“间断”，但不讨论间断类型 偏导数的存在性狕犳（狓，狔），犳 狓（狓，狔）狕 狓（狓，狔）犳（狓，狔）狓狕（狓，狔）狓 狓 犳（狓狓，狔）犳（狓，狔）狓；犳 狔（狓，狔）狔 犳（狓，狔狔）犳（狓，狔）狔（）定义法【例】设犳（狓，狔）狓狔槡，求犳 狓（，），犳 狔（，）【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06（）公式法【例】取自 年真题数学二（）题设函数狕狕（狓，狔）由方程 狕狕 狓 狔确定，则狕狓，（）【分析】可微性狕犳（狓，狔）（）全增量狕犳（狓狓，狔狔）犳（狓，狔）（）线性增量犃狓犅狔犃犳 狓（狓，狔），犅犳 狔（狓，狔）烅烄烆（）狓 狔 狕（犃狓犅狔）（狓）（狔）槡 犳（狓，狔）在（狓，狔）处可微，狕（犃狓犅狔）狅（狓狔槡）张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】设连续函数狕犳（狓，狔）满足 狓 狔 犳（狓，狔）狓狔狓（狔）槡，则狕（，）【分析】二、计算（多元函数微分法）（）链式求导法则（）对于高阶导数无论狕对谁求导，也无论对狕已经求了几次导，求导之后的新函数仍具有与原来函数完全相同的复合结构（）注意书写规范【例】取自 张宇考研数学题源探析经典 题习题分册数学一 ，组 （数学二 ，组 ；数学三 ，组 ）设狌犳（狓，狔，狕）有连续偏导数，狔狔（狓）和狕狕（狓）分别由方程狓 狔狔和狕狓 狕所确定，求狌狓【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】取自 张宇考研数学题源探析经典 题习题分册数学一 ，组 （数学二 ，组 ；数学三 ，组 ）设函数犳（狓，狔）可微，又犳（，），犳 狓（，）犪，犳 狔（，）犫，且（狋）犳狋，犳（狋，狋），求（）【分析】【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题已知狕（狌，狏）对狌，狏有二阶连续偏导数，设变换狌狓狔，狏狓犪烅烄烆狔可把方程狕狓狕狓狔狕狔简化为狕狌狏，求犪【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题设函数犳（狓，狔）的一阶偏导数连续，在（，）的某邻域内有犳（狓，狔）狓狔狅（狓）狔槡）成立记狕（狓，狔）犳（狔，狓狔），则狕（狓，狔）狘（，）【分析】【例】取自 张宇考研数学题源探析经典 题习题分册数学二 ，组 （数学三 ，组 ）设犳（狓）具有一阶连续导数，犳（），且表达式狓 狔（狔）犳（狓）狔狓犳（狓）狓狔狔为某二元函数狌（狓，狔）的全微分（）求犳（狓）；（）求狌（狓，狔）的一般表达式【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06三、应用 多元函数的极值、最值 理论依据（）无条件极值函数取极值的必要条件设狕犳（狓，狔）在点（狓，狔）处一阶偏导数存在，取极值烅烄烆，则犳 狓（狓，狔），犳 狔（狓，狔）【注】适用于三元及以上函数取极值的充分条件记犳 狓 狓（狓，狔）犃，犳 狓 狔（狓，狔）犅犳 狔 狔（狓，狔）犆烅烄烆，则犅犃 犆犃 极小值点，犃 极大值点烅烄烆，不是极值点，该法失效，另谋他法烅烄烆【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题设狕狕（狓，狔）是由狓 狓 狔 狔狔 狕狕 确定的函数求狕狕（狓，狔）的极值点和极值【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06（）条件极值与拉格朗日乘数法问题提法：求目标函数狌犳（狓，狔，狕）在约束条件（狓，狔，狕），（狓，狔，狕）烅烄烆下的极值固定格式构造辅助函数犉（狓，狔，狕，）犳（狓，狔，狕）（狓，狔，狕）（狓，狔，狕）；令犉 狓，犉 狔，犉 狕，犉，犉 犘犻（犻，狀）；解方程组犘犻（狓犻，狔犻，狕犻）狌（犘犻），比较取最大、最小者为最大、最小值根据实际问题，必存在最值，所得即所求【例】取自 年真题数学一（）题（数学二（）题；数学三（）题）将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06第二讲二重积分综述 概念与对称性 计算（直角坐标系，极坐标系）一、概念与对称性 概念对比 对称性（）普通对称性设犇关于狔轴对称，犇犳（狓，狔）犇犳（狓，狔），犳（狓，狔）犳（狓，狔），犳（狓，狔）犳（狓，狔）烅烄烆再如，犇关于狓轴对称，犇犳（狓，狔）犇犳（狓，狔），犳（狓，狔）犳（狓，狔），犳（狓，狔）犳（狓，狔）烅烄烆再如，犇关于原点对称，犇犳（狓，狔）犇犳（狓，狔），犳（狓，狔）犳（狓，狔），犳（狓，狔）犳（狓，狔）烅烄烆张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】取自 年真题数学二（）题 狓 狓狓（狓 狔）狔狓 狓狓（狓 狔）狔（）（）（）（）yOxy=xy=2-x2y=-x2-11D【分析】【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题设犳（狓）在犪，犫 上连续且单调增加，证明犇狔 犳（狔）犫犪犫犪犳（狓）狓，其中犇（狓，狔）狘犪狓犫，犪狔犫【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06二、计算 直角系犡型区域（上下型）后积先定限，限内画直线，先交写下限，后交写上限犢型区域（左右型）【例】取自 年真题数学二（）题设平面区域犇由曲线狓狋 狋，狔 烅烄烆狋（狋）与狓轴围成，计算二重积分犇（狓狔）狓狔【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题如图所示，由狓犪（狋 狋），狔犪（狋）（狋，犪），狔所围均匀薄片质心狔【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06 极坐标系犐犇犳（狓，狔）狉（）狉（）犳（狉 ，狉 ）狉狉【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题计算二重积分犐犇狓狔槡狓狔，犇是由狓狔的上半圆与狓狔狔的下半圆围成的区域【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06第三讲微分方程综述按类求解，对号入座 一阶方程（可分离变量，齐次型，一阶线性型，可降阶）高阶方程（齐次、非齐次）应用题引言基本概念 犉（狓，狔，狔，狔，狔（狀）阶数 方程中狔的最高阶导数的阶数狀，一阶，狀，烅烄烆高阶 通解 解中所含独立常数的个数方程的阶数一、一阶方程 变量可分离型狔狓犉（狓，狔）若犳（狓）犵（狔）狔犵（狔）犳（狓）狓【例】求狔 狔 狓 狓的通解【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06 齐次型狔狓犳狔（）狓，变量替换法令狔狓狌，（狌狌（狓）狔狌 狓狔狓狌狓狓狌 狌狓狓狌犳（狌）狌狓狓犳（狌）狌犳（狌）狌狌狓狓【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题已知函数狔（狓）（狓）可微且满足方程狔（狓）狓狔（狋）狋狔（狋）狋狋，则狔（狓）【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06 一阶线性型狔 狆（狓）狔狇（狓），狆（狓），狇（狓）为已知函数狆狓狔 狆狆狓狔狆狓狇狔狆（）狓狆狓狇狔狆狓狆狓狇狓犆狔狆狓狆狓狇狓犆公式法【例】取自 年真题数学一（）题已知微分方程狔 狔犳（狓），其中犳（狓）是犚上的连续函数（）若犳（狓）狓，求方程的通解；（）若犳（狓）是周期为犜的函数，证明：方程存在唯一的以犜为周期的解【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【注】尚有两种类型的方程，貌似二阶，实可降阶狔 犳（狓，狔）型 缺狔【分析】缺狔则干掉狔，狔，“赶尽杀绝”令狔 狆，则狔 狆 则狆 犳（狓，狆）可分离变量，齐次，一阶微分方程烅烄烆狔 犳（狔，狔）型 缺狓【分析】缺狓，绝不允许狓再出现令狔 狆，则狔 狆狓狆狔狔狓狆狔狆故狆狔狆犳（狔，狆）【例】求狔 狔（狔）狔满足狔（），狔（）烅烄烆的特解【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06二、高阶方程（阶）狔 狆 狔 狇 狔（狆，狇为常数）二阶常系数齐次线性方程写特征方程狆 狇，狆狇，写通解：狔通犆狓犆狓，狔通犆 狓犆狓 狓（犆犆狓）狓，狔通 狓（犆 狓犆 狓）烅烄烆【例】设 狓与狓狓为阶常系数线性齐次微分方程的两个解，则首项系数为的该方程为 狔 狆 狔 狇 狔 狓犘犿（狓），犘犿（狓）为狓的犿次多项式通解为：狔非齐次通狔齐通狔非齐次特狔的设定：设狔 狓犙犿（狓）狓犽，犙犿（狓）为狓的犿次一般多项式；犽的设定：一看：自由项中的；二算：解特征方程，；三比较：犽，或，烅烄烆【例】求狔 狔狓（狓）的通解【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06三、应用题（）背景公平 信息给予（）翻译成数学表达式【例】已知犛 狆 ，犇 狆 ，设狆（狋）随时间的变化率与犇犛成正比，与狆成反比，犽，狆（）（）建立狆（狋）满足的微分方程；（）通过狔狆，求解此方程【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06第四讲无穷级数综述 数项级数的判敛 幂级数的收敛域 展开与求和引言 概念给出狌狀犛狀狌狌狌狀，狀犛狀狀 狌狀叫无穷级数狀 狌狀收敛 狀狌狀 分类（常）数项级数狀 狌狀（狌狀）正项级数，狀（）狀 狌狀（狌狀）交错级数，狀 狌狀（狌狀符号无限制）任意项级数烅烄烆，函数项级数：狀 犪狀狓狀烅烄烆幂级数张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06一、数项级数的判敛 正项级数的判敛收敛原则（考抽象）狀 狌狀收敛犛狀 有上界【分析】犛狀狌狌狌狀 犛狀 有上界犛狀 有界犛狀 收敛 狀犛狀存在 狀狀犽 狌犽收敛【例】（）设狀 狌狀为正项级数，证明狀 狌狀收敛犛狀 有界；（）设狓狀 为单增的有界正数数列，证明狀 狓狀狓狀（）收敛【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06比较判别法设狀 狌狀，狀 狏狀为正项级数，且狌狀狏狀，则狀 狏狀收狀 狌狀收，狀 狌狀散狀 狏狀散烅烄烆比较判别法的极限形式设狀 狌狀，狀 狏狀为正项级数，则 狀狌狀狏狀 狌狀小狀 狏狀收狀 狌狀收，狀 狌狀散狀 狏狀散烅烄烆，狏狀小狀 狌狀收狀 狏狀收，狀 狏狀散狀 狌狀散烅烄烆，犃 同敛散烅烄烆【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题设数列犪狀，犫狀 满足犫狀犪狀犪狀（狀，），求证：（）若犪狀，则犫狀；（）若犪狀（狀，），狀 犪狀收敛，则狀 犫狀犪狀收敛【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06比值判别法（达朗贝尔判别法）设狀 狌狀为正项级数，则 狀狌狀 狌狀，收，散，该法失效，另谋他法烅烄烆（如通项中含有犪狀，狀！）根值判别法（柯西判别法）设狀 狌狀为正项级数，则 狀狀狌槡狀，收，散，该法失效，另谋他法烅烄烆【例】判别狀 狀！狀狀狓狀在狓，处的敛散性【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06 交错级数（狀（）狀 狌狀，狌狀）的判敛（）莱布尼茨判别法若狀（）狀 狌狀，狌狀满足：狀狌狀；狌狀狌狀 则级数收敛（）判断级数狀（）狀 狀，条件收敛还是绝对收敛【注】比较）狀 犪 狇狀 狘狇狘 收敛，且收敛于犪狇，狘狇狘 发散烅烄烆）狆级数：狀 狀狆狆 收敛，狆 发散烅烄烆）广义狆级数：狀 狀（狀）狆狆 收敛，狆 发散烅烄烆）交错狆级数：狀（）狀 狀狆狆 绝对收敛，狆 烅烄烆条件收敛（狆）任意项级数（狀 狌狀，狌狀符号无限制）的判敛（）思路上，狀 狌狀加绝对值狀 狘狌狀狘 若狀 狘狌狀狘收敛狀 狌狀绝对收敛（）理论上若狀 狘狌狀狘发散，狀 狌狀拆成正项级数交错级数，烅烄烆收敛条件收敛张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】狀（）狀 狀狆（狆）【分析】【例】已知犳（狓）可导，犳（狓），设数列狓狀 满足狓狀 犳（狓狀），狀，证明：狀（狓狀 狓狀）绝对收敛【分析】二、幂级数的收敛域 幂级数狀 犪狀狓狀狀 狔（狀）（）狀！狓狀，狀 犪狀（狓狓）狀狀 狔（狀）（狓）狀！（狓狓）狀（）具体到狓狓，代入狀 犪狀狓狀狀 犪狀狓狀判敛若收敛，称狓为收敛点；若发散，称狓为发散点（）目标：找到所有的收敛点的集合，找收敛域（）求收敛域的程序狀 狌狀（狓）狀 狘狌狀（狓）狘，张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06用比值判别法：狀狘狌狀（狓）狘狘狌狀（狓）狘（狓），根值判别法：狀狀狘狌狀（狓）槡狘（狓）烅烄烆收敛区间；单独讨论两个端点犪，犫，判断收敛域【例】求狀 狓狀（狀）（狀）的收敛域【分析】三、展开与求和需要熟稔于心的几个重要幂级数展开式（）狓狀 狓狀狀！狓狓！狓狀狀！，狓（）狓狀（）狀狓狀狓狓（）狀狓狀，狓（）狓狀 狓狀狓狓狓狀，狓（）（狓）狀（）狀 狓狀狀狓狓狓狓（）狀 狓狀狀，狓 张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06（）狓狀（）狀狓狀（狀）！狓狓！狓！狓！（）狀狓狀（狀）！，狓（）狓狀（）狀狓狀（狀）！狓！狓！狓！（）狀狓狀（狀）！，狓（）（狓）狓（）！狓（）（狀）狀！狓狀，狓（，），当，狓（，当，狓，当烅烄烆 展开【例】写出犳（狓）（狓）在狓处的麦克劳林展开式，并求狀 狀狀的值【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】取自 年真题数学三（）题已知 狓（狓）狀 犪狀狓狀（狓），求犪狀【分析】求和【例】求犛（狓）狀 狀 狓狀，狘狓狘 【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】犛（狓）狀 狓狀狀，狘狓狘【分析】【注】分母上有（犪 狀犫），先导后积【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题（数学一数学三）求级数狀 狓狀 狀狀的收敛域及其和函数【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】取自 年真题数学三（）题设犪，犪，犪狀 狀（狀 犪狀犪狀）（狀，），犛（狓）为幂级数狀 犪狀狓狀的和函数（）证明幂级数狀 犪狀狓狀的收敛半径不小于；（）证明（狓）犛（狓）狓 犛（狓）（狓（，），并求犛（狓）的表达式【分析】四、傅氏级数 狄氏收敛性定理设犳（狓）是以犾为周期，在犾，犾 上满足）连续或只有有限个第一类间断点；）只有有限个极值点则犳（狓）的傅氏级数犛（狓）在犾，犾 上处处收敛，且犛（狓）犳（狓），狓为连续点，犳（狓）犳（狓），狓为间断点，犳（犾）犳（犾），狓为端点烅烄烆张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】设犳（狓）狓，狓狓，狓烅烄烆的周期为的傅氏级数为犛（狓），则犛（），犛（），犛（），犛（）【分析】周期为犾的函数的傅氏展开犳（狓）犛（狓）犪狀 犪狀 狀狓犾犫狀 狀狓（）犾犾，犾 上犳（狓）的展开犪犾犾犾犳（狓）狓，犪狀犾犾犾犳（狓）狀狓犾狓，犫狀犾犾犾犳（狓）狀狓犾狓烅烄烆犾，犾 上犳（狓）是奇偶的展开 奇犪，犪狀，犫狀犾犾犳（狓）狀狓犾狓，正弦，偶犪犾犾犳（狓）狓，犪狀犾犾犳（狓）狀狓犾狓，余弦犫狀烅烄烆，犾 上犳（狓）展开成正弦或余弦级数做奇延拓，犳（狓）奇，做奇延拓，犳（狓）偶烅烄烆张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】设犛（狓）是犳（狓）狓，狓，狓，狓烅烄烆展开为正弦级数的和函数，则犛（）【分析】【例】设犳（狓）以 为周期，犳（狓），狓，狓烅烄烆，将犳（狓）展开成傅氏级数【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06第五讲多元函数积分学（数一专题）【注】先修课程：扫码学习高数 讲的，讲，有个小时的理论讲解与例题分析综述 预备知识 三重积分 第一型积分 第二型积分（格林公式，高斯公式）公式在强化班中，精选或命制了十大例题，巩固所学，做好预测【例】曲面狓 （狓 狔）狔 狕狓在点（，）处的切平面方程为【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】将犔：狕狔，狓狔狕狔 狕烅烄烆投至狓 犗 狔面，求其投影曲线所围区域【分析】【例】设直线犔过犃（，），犅（，），将犔绕狕轴旋转一周得曲面，求的方程【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】设犳（狓，狔）狓狔槡，求犳犾（，），犾方向任意【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】设是曲面狓狔狕槡，是平面狓被狔狕，狓烅烄烆所围的部分、为与所围的立体，计算三重积分（狔狕）狏【分析】先一后二法（投影穿线法）张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】犐狕狏，（狓，狔，狕）狘狕狓狔槡槡 狕，狕【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】设犔是以原点犗为圆心，为半径的圆周位于犃（，）与犅（，）之间的一段劣弧，计算犐犔狓（狓狔）狔（狓狔）狊【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】设（狓，狔，狕）狘狕狓狔槡，狕，求（狓狔狕）犛【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】取自 年真题数学一（）题设是曲面狓狔狕槡的前侧，计算曲面积分犐狓狔狕（狔）狕狓狕狓狔【分析】张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06【例】取自 张宇考研数学闭关修炼一百题 ，题计算犐犔狔狓狕狔狓狕，犔：狓狔狕犚，狓狔烅烄烆犚 狓犚，狕，从狕轴正向看下去为逆时针方向【分析】xyLOz张宇考研数学高等数学下册后续密训押题课程获取，联系向日葵考研QQ 319261610后续完整视频课程获取，联系微信x r k k y 06