2012
上海
高考
数学
文科
试卷
word
解析
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绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
数学试卷(文史类)
(满分150分,考试时间120分钟)
考生注意
1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.
2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.计算:= (i为虚数单位).
2.若集合,,则= .
3.函数的最小正周期是 .
4.若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).
5.一个高为2的圆柱,底面周长为2p,该诉表面积为 .
6.方程的解是 .
7.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为
V1,V2,…,Vn,…,则 .
8.在的二项展开式中,常数项等于 .
9.已知是奇函数. 若且.,则 .
O
M
x
l
a
10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).
12.在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上
的点,且满足,则的取值范围是 .
13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,1),C(1,0).
函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .
14.已知.各项均为正数的数列满足,.若
,则的值是 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 ( )
(A). (B). (C).(D).
16.对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的 ( )
(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件. (D)既不充分也不必要条件.
17.在中,若,则的形状是 ( )
(A)钝角三角形. (B)直角三角形 (C)锐角三角形.(D)不能确定.
18.若,则在中,正数的个数是 ( )
(A)16. (B)72. (C)86. (D)100.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
P
A
B
C
D
19.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是
PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,
PA=2.求:
(1)三棱锥P-ABC的体积;(6分)
(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三
角函数值表示).(6分)
20.已知函数.
(1)若,求的取值范围;(6分)
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)
x
O
y
P
A
21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)
22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点. 若|MF|=2,求过M点的坐标;(5分)(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(5分)
(3)设斜率为的直线l交C于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;(6分)
23.对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,…,m),即为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(4分)
(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,…,m).
求证:(k=1,2,…,m);(6分)
(3)设m=100,常数.若,是的控制数列,求.
2012年上海高考数学(文科)试卷解答
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.计算:= 1-2i (i为虚数单位).
2.若集合,,则= .
3.函数的最小正周期是 p .
4.若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为(结果用反三角
函数值表示).
5.一个高为2的圆柱,底面周长为2p,该诉表面积为 6p .
6.方程的解是.
7.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为
V1,V2,…,Vn,…,则 .
8.在的二项展开式中,常数项等于 -20 .
9.已知是奇函数. 若且.,则 3 .
10.满足约束条件的目标函数的最小值是 -2 .
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).
12.在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上
的点,且满足,则的取值范围是 [1, 4] .
13.已知函数的图像是折5线段ABC,若中A(0,0),B(,1),C(1,0).
函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .
14.已知.各项均为正数的数列满足,.若
,则的值是.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 ( D )
(A). (B). (C).(D).
16.对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的 ( B )
(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件. (D)既不充分也不必要条件.
17.在中,若,则的形状是 ( A )
(A)钝角三角形. (B)直角三角形. (C)锐角三角形. (D)不能确定.
18.若,则在中,正数的
个数是 ( C )
(A)16. (B)72. (C)86. (D)100.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
P
A
B
C
D
19.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是
PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,
PA=2.求:
(1)三棱锥P-ABC的体积;(6分)
(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三
角函数值表示).(6分)
[解](1), 2分
P
A
B
C
D
E
三棱锥P-ABC的体积为
. 6分
(2)取PB的中点E,连接DE、AE,则
ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线
BC与AD所成的角. 8分
在三角形ADE中,DE=2,AE=,AD=2,
,所以∠ADE=.
因此,异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分
20.已知函数.
(1)若,求的取值范围;(6分)
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数
的反函数.(8分)
[解](1)由,得.
由得. ……3分
因为,所以,.
由得. ……6分
(2)当xÎ[1,2]时,2-xÎ[0,1],因此
. ……10分
由单调性可得.
因为,所以所求反函数是,. ……14分
21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴
x
O
y
P
A
正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线
;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救
援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)
[解](1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程
中,得P的纵坐标yP=3. ……2分
由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时. ……4分
由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向
为北偏东arctan弧度. ……6分
(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为.
由,整理得.……10分
因为,当且仅当=1时等号成立,
所以,即.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分
22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点. 若|MF|=2,求过M点的坐标;(5分)(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的
面积;(5分)
(3)设斜率为的直线l2交C于P、Q两点,若l与圆相切,
求证:OP⊥OQ;(6分)
[解](1)双曲线,左焦点.
设,则, ……2分
由M是右支上一点,知,所以,得.
所以. ……5分
(2)左顶点,渐近线方程:.
过A与渐近线平行的直线方程为:,即.
解方程组,得. ……8分
所求平行四边形的面积为. ……10分
(3)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,故,
即 (*).
由,得.
设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则.
,所以
.
由(*)知,所以OP⊥OQ. ……16分
23.对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,…,m),即
为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是
1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(4分)
(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,…,m).
求证:(k=1,2,…,m);(6分)
(3)设m=100,常数.若,是的控制数列,
求.
[解](1)数列为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;
2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5. ……4分
(2)因为,,
所以. ……6分
因为,,
所以,即. ……8分
因此,. ……10分
(3)对,;;
;.
比较大小,可得. ……12分
因为,所以,即;
,即.
又,
从而,,,. ……15分
因此
=
=
===. ……18分
2012上海高考数学试题(文科)答案与解析
一、 填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.计算:= (i为虚数单位).
【答案】 1-2i
【解析】==1-2i
【点评】本题着重考查复数的除法运算,首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数,净分母实数化即可。
2.若集合,,则= .
【答案】
【解析】由集合A可得:x>,由集合B可得:-1<经<1,所以,=
【点评】本题考查集合的概念和性质的运用,同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法,解决此类问题,首先分清集合的元素的构成,然后,借助于数轴可得。
3.函数的最小正周期是 .
【答案】
【解析】根据韪得:
【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质,属于容易题,难度较小.
4.若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为,则.
【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意,属于低档题,难度较小.
5.一个高为2的圆柱,底面周长为,该圆柱的表面积为 .
【答案】
【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为,所以该圆柱的表面积为:.
【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意,所求的为圆柱的表面积,不是侧面积,也不是体积,其次,对空间几何体的表面积公式要记准记牢,属于中低档题.
6.方程的解是 .
【答案】
【解析】根据方程,化简得,令,
则原方程可化为,解得 或,即.所以原方程的解为 .
【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根,要注意取舍,切勿随意处理,导致不必要的错误.本题属于中低档题目,难度适中.
7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则 .
【答案】
【解析】由正方体的棱长组成以为首项,为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了一个以1为首项,为公比的等比数列,因此, .
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.
8.在的二项式展开式中,常数项等于 .
【答案】
【解析】根据所给二项式的构成,构成的常数项只有一项,就是 .
【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚,特别注意常数项的构成.属于中档题.
9.已知是奇函数,若且,则 .
【答案】
【解析】因为函数为奇函数,所以有,即 .
【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意:函数为奇函数,所以有这个条件的运用,平时要加强这方面的训练,本题属于中档题,难度适中.
10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .
【答案】
【解析】根据题意得到或或或
其可行域为平行四边形区域,(包括边界)目标函数可以化成,的最小值就是该直线在轴上截距的最小值,当该直线过点时,有最小值,此时 .
【点评】本题主要考查线性规划问题,准确画出可行域,找到最优解,分析清楚当该直线过点时,有最小值,此时 ,这是解题的关键,本题属于中档题,难度适中.
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 (结果用最简分数表示).
【答案】
【解析】一共有27种取法,其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种,所以根据古典概型得到此种情况下的概率为 .
【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.
12.在矩形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是
【答案】
【解析】以向量AB所在直线为轴,以向量AD所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为,所以 设,根据题意,,所以
所以,所以, 即.
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时,要切实注意条件的运用.本题属于中档题,难度适中.
13.已知函数的图像是折线段,其中、、,函数()的图像与轴围成的图形的面积为 .
【答案】
【解析】根据题意,得到,
从而得到所以围成的面积为,所以围成的图形的面积为 .
【点评】本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的能力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大.
14.已知,各项均为正数的数列满足,,若,则的值是 .
【答案】
【解析】据题,并且,得到,,,,得到,解得(负值舍去).依次往前推得到
.
【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大,属于中高档试题.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15.若是关于的实系数方程的一个复数根,则( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】根据实系数方程的根的特点知也是该方程的另一个根,所以
,即,,故答案选择D.
【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题,注重对基本知识和基本技巧的考查,复习时要特别注意.
16.对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】方程的曲线表示椭圆,常数常数的取值为所以,由得不到程的曲线表示椭圆,因而不充分;反过来,根据该曲线表示椭圆,能推出,因而必要.所以答案选择B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征,可以知道常数的取值情况.属于中档题.
17.在△中,若,则△的形状是( )
A.钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
【答案】 A
【解析】由正弦定理,得代入得到,
由余弦定理的推理得,所以C为钝角,所以该三角形为钝角三角形.故选择A.
【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理,如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理,如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.
18.若(),则在中,正数的个数是( )
A.16 B.72 C.86 D.100
【答案】C
【解析】依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律,从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0,这就是规律,考查综合分析问题和解决问题的能力.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
P
A
B
C
D
19.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是
PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,
PA=2.求:
(1)三棱锥P-ABC的体积;(6分)
(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三
角函数值表示).(6分)
[解](1), 2分
P
A
B
C
D
E
三棱锥P-ABC的体积为
. 6分
(2)取PB的中点E,连接DE、AE,则
ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线
BC与AD所成的角. 8分
在三角形ADE中,DE=2,AE=,AD=2,
,所以∠ADE=.
因此,异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解,同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本,容易出现找错角的情况,要考虑全面,考查空间想象能力,属于中档题.
20.已知函数.
(1)若,求的取值范围;(6分)
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数
的反函数.(8分)
[解](1)由,得.
由得. ……3分
因为,所以,.
由得. ……6分
(2)当xÎ[1,2]时,2-xÎ[0,1],因此
. ……10分
由单调性可得.
因为,所以所求反函数是,. ……14分
【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想,熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键,属于中档题.
21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴
x
O
y
P
A
正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线
;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救
援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)
[解](1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程
中,得P的纵坐标yP=3. ……2分
由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时. ……4分
由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向
为北偏东arctan弧度. ……6分
(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为.
由,整理得.……10分
因为,当且仅当=1时等号成立,
所以,即.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分
【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识.选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键,属于中档题.考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力.属于中档偏上题目,也是近几年高考的热点问题.
22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点. 若|MF|=2,求过M点的坐标;(5分)(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的
面积;(5分)
(3)设斜率为的直线l2交C于P、Q两点,若l与圆相切,
求证:OP⊥OQ;(6分)
[解](1)双曲线,左焦点.
设,则, ……2分
由M是右支上一点,知,所以,得.
所以. ……5分
(2)左顶点,渐近线方程:.
过A与渐近线平行的直线方程为:,即.
解方程组,得. ……8分
所求平行四边形的面积为. ……10分
(3)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,故,
即 (*).
由,得.
设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则.
,所以
.
由(*)知,所以OP⊥OQ. ……16分
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为,它的渐近线为,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 .
23.对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,…,m),即
为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是
1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(4分)
(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,…,m).
求证:(k=1,2,…,m);(6分)
(3)设m=100,常数.若,是的控制数列,
求.
[解](1)数列为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;
2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5. ……4分
(2)因为,,
所以. ……6分
因为,,
所以,即. ……8分
因此,. ……10分
(3)对,;;
;.
比较大小,可得. ……12分
因为,所以,即;
,即.
又,
从而,,,. ……15分
因此
=
=
===. ……18分
【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识,本题属于信息给予题,通过定义“控制”数列,考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查数列的基本运算,数列问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视.