2013年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）.doc

教育资源分享店铺 网址： 微信号：kingcsa333 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式的解为 ． 2．在等差数列中，若，则 ． 3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则 ． 4．若，，则y = ． 5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是 ． 6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ． 7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则 ． 8．方程的实数解为 ． 9．若，则 ． 10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆心上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则 ． 11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）． 12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为 ． 13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 ． 14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数的反函数为，则的值是（ ） （A） （B） （C） （D） 16．设常数，集合，．若，则的取值范围为（ ） （A） （B） （C） （D） 17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 18．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（ ） （A）0 （B） (C) 2 (D) 2 三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤． 19．（本题满分12分） 如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分5分，第2小题满分9分． 甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． （1）求证：生产千克该产品所获得的利润为； （2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数，其中常数． （1）令，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 已知函数．无穷数列满足． （1）若，求，，； （2）若，且，，成等比数列，求的值； （3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”． （1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点； （3）求证：圆内的点都不是“型点”． 2013年上海高考数学试题（文科） 参考答案 一． 填空题 1. 0＜ X＜ 2. 15 3. -2 4. 1 5. 6. 78 7. -2 8. 9. - 10. 11. 12. 13. 14. -5 二． 选择题 题号 15 16 17 18 代号 A B A D 三． 解答题 19.解：由已知条件可知，正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形。 经计算得底面△ABC的面积为 所以该三锥的体积为 设O’是正三角形ABC的中心 由正三棱锥的性质可知，OO’垂直于平面ABC 延长AO’交BC于D，得AD=,O’D= 又因为OO’=1，所以正三棱锥的斜高OD= 故侧面积为 所以该三棱锥的表面积为 因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3 20.解： （1）生产a千克该产品，所用的时间是小时 所获得的利润为100 所以生产a千克该产品所获得的利润为100a元 （2）生产900千克该产品，获得的利润为90000， 1≤x≤10,记ƒ（x）= 则ƒ（x）= 获得最大利润90000元。 因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元。 21.解：（1）ƒ（x）= F（x）= ƒ（x）+ ƒ 所以，F（x）既不是奇函数也不是偶函数。 （2）ƒ（x）= 将y= ƒ（x）的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到 令 因为上零点个数为21 当a不是零时，上恰有两个零点，故在上有20个零点。 综上， 22.解：（1） （2） ①当＜ ②当＞2时，综合①②得 （3）假设这样的等差数列存在，那么 由 以下分情况讨论： ① 当＞2时，由（*）得＞2矛盾 ② 当0＜≤2时，有（*）得=1，从而 所以是一个的等差数列 ③ 当≤0时，则公差＞0，因此存在m≧2使得＞2.此时＜0，矛盾 综合①②③可知，当且仅当 23．解：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为； （2）直线与C2有交点，则 ，若方程组有解，则必须； 直线与C2有交点，则 ，若方程组有解，则必须 故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。 （3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在； 根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则 直线与圆内部有交点，故 化简得，。。。。。。。。。。。。① 若直线与曲线C1有交点，则 化简得，。。。。。② 由①②得， 但此时，因为，即①式不成立； 当时，①式也不成立 综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点， 即圆内的点都不是“C1-C2型点” ． 2013年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（文史类） 考生注意： 1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式＜0的解为 . 【答案】 【解析】 2.在等差数列中，若a1+ a2+ a3+ a4=30，则a2+ a3= 15 . 【答案】 15 【解析】 3.设m∈R,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= . 【答案】 -2 【解析】 4.已知=0，=1，则y= 1 . 【答案】 1 【解析】 5.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是 . 【答案】 【解析】 6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 . 【答案】 78 【解析】 7.设常数a∈R.若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= -2 . 【答案】 -2 【解析】 8.方程的实数解为 . 【答案】 【解析】 9.若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)= . 【答案】 【解析】 10.已知圆柱的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则= . 【答案】 【解析】 11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】 【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。 D B A C 12.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 . 【答案】 【解析】 如右图所示。 13.设常数a＞0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】 考查均值不等式的应用。 14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l，则·的最小值是 -5 . 【答案】 -5 【解析】 根据对称性， 。 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.函数（x≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（ A ） （A）（B）－（C）1+（D）1－ 【答案】 A 【解析】 选A 16.设常数a∈R，集合A=，B=.若A∪B=R，则a的取值范围为（ B ） （A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） （D）[2，+∞） 【答案】 B 【解析】 方法：代值法，排除法。当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时， 综上，选B 标准解法如下: . 选B 17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 【答案】 A 【解析】 选A 当点（x,y）分别在，，…上时，x+y的最大值分别是M1,M2,…，则=( D ) （A）0 （B） （C）2 （D） 【答案】 D 【解析】 选D 三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分） 如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。 【答案】 【解析】 所以， 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100元. （1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润. 【答案】 （1） 见下 （2）当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。 【解析】 （1）证明：由题知，生产a千克该产品所需要的时间小时， 所获得的利润 所以，生产a千克该产品所获得的利润为100a元；（证毕） （2） 由（1）知，生产900千克该产品即a=900千克时，获得的利润 由二次函数的知识可知，当=，即x=6时， 所以，当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数，其中常数ω＞0. （1）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）令ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图像.对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值. 【答案】 （1） （2） 20,21 【解析】 （1） （2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x): . 所以y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个 22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 已知函数，无穷数列满足an+1=f(an),n∈N* （1）若a1=0，求a2，a3，a4； （2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值. （3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由. 【答案】 （1） （2） （3） 【解析】 （1） （2） 分情况讨论如何： （3） 讨论如下: 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 如图，已知双曲线C1:，曲线C2:.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1、C2都有共同点，则称P为“C1-C2型点”. （1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y=kx与C2有公共点，求证＞1，进而证明圆点不是“C1-C2型点”； （3）求证：圆内的点都不是“C1-C2型点”. 【答案】 （1） 【解析】 （1） 显然，由双曲线的几何图像性质可知，过.从曲线图像上取点P(0,1),则直线。这时直线方程为 （2） 先证明“若直线y=kx与有公共点，则＞1”. 双曲线 . . 所以直线y=kx与有公共点，则＞1 . （证毕） 。 所以原点不是“C1-C2型点”；（完） （3）设直线过圆内一点，则直线斜率不存在时与曲线无交点。 设直线方程为：y = kx + m，则： 假设直线与曲线相交上方，则