2023学年陕西省山阳中学高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数（），当时，的值域为，则的范围为（ ） A． B． C． D． 2．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．在中，，则=（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 5．已知是第二象限的角，，则( ) A． B． C． D． 6．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（ ） A． B． C． D． 7．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 8．已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要 9．已知实数集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 10．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 11．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 12．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知实数 满足，则的最大值为________. 14．如图，直三棱柱中，，，，P是的中点，则三棱锥的体积为________. 15．设满足约束条件，则的取值范围是______. 16．已知函数的最小值为2，则_________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，. （1）证明：平面平面； （2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置. 18．（12分）已知数列满足：对一切成立. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19．（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元. （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由. 21．（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点. (1)求证:平面； (2)求三棱锥的体积. 22．（10分）设函数. （1）若恒成立，求整数的最大值； （2）求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围. 【题目详解】 因为，所以，若值域为， 所以只需，∴. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 2、A 【答案解析】 设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求. 【题目详解】 设平面向量与的夹角为，，可得， 在等式两边平方得，化简得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 3、B 【答案解析】 在上分别取点,使得, 可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案． 【题目详解】 如下图，，在上分别取点,使得, 则为平行四边形，故,故答案为B. 【答案点睛】 本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题． 4、A 【答案解析】 投影即为，利用数量积运算即可得到结论. 【题目详解】 设向量与向量的夹角为， 由题意，得，， 所以，向量在向量方向上的投影为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 5、D 【答案解析】 利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【题目详解】 因为, 由诱导公式可得,, 即, 因为, 所以, 由二倍角的正弦公式可得, , 所以. 故选:D 【答案点睛】 本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题. 6、A 【答案解析】 由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求. 【题目详解】 由题意，2c＝8，则c＝4， 又，且a2+b2＝c2， 解得a2＝4，b2＝12. ∴双曲线C的方程为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质，属于基础题. 7、B 【答案解析】 利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得 【题目详解】 ，故. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题. 8、B 【答案解析】 由线面关系可知，不能确定与平面的关系，若一定可得，即可求出答案. 【题目详解】 , 不能确定还是， ， 当时，存在，， 由 又可得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题. 9、A 【答案解析】 可得集合,求出补集,再求出即可. 【题目详解】 由,得,即, 所以, 所以. 故选:A 【答案点睛】 本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题. 10、C 【答案解析】 由题意可得面，可知，因为，则面，于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点，进而算出，外接球半径为1，得出结果. 【题目详解】 解：由，翻折后得到，又， 则面，可知． 又因为，则面，于是， 因此三棱锥外接球球心是的中点． 计算可知，则外接球半径为1，从而外接球表面积为． 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题． 11、D 【答案解析】 利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【题目详解】 解：选项A中直线，还可能相交或异面， 选项B中，还可能异面， 选项C，由条件可得或． 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题. 12、B 【答案解析】 根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出. 【题目详解】 为上的奇函数， ， 而函数是上的偶函数，， ， 故为周期函数，且周期为 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案. 【题目详解】 画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点， 目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率， 当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题. 14、 【答案解析】 证明平面，于是，利用三棱锥的体积公式即可求解. 【题目详解】 平面，平面， ，又. 平面， 是的中点， . 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题. 15、 【答案解析】 作出可行域，将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或，分别计算出与，再由不等式的简单性质即可求得答案. 【题目详解】 作出满足约束条件的可行域， 显然当时，z=0； 当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或 显然，联立，所以 则或，故或 综上所述， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题. 16、 【答案解析】 首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值. 【题目详解】 根据题意可知， 可以发现当或时是分界点， 结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点， 故，解得，故答案是. 【答案点睛】 本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析；（2）为线段上靠近点的四等分点，且坐标为 【答案解析】 （1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定. 【题目详解】 （1）证明：因为，，， 所以，即. 又因为，，所以， ，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）解：连接，因为，是的中点，所以. 由（1）知，平面平面，所以平面. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是，，，. 设，， ，， 代入上式得，，，所以. 设平面的一个法向量为，，， 由，得. 令，得. 因为二面角的平面角的大小为， 所以，即，解得. 所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为. 【答案点睛】 本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析. 18、（1）；（2） 【答案解析】 （1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案； （2）变形可得，通过裂项求和法可得答案. 【题目详解】 （1）①， 当时，