高等代数2000答案.doc

苏州大学2000研究生入学考试——高等代数 1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P上的一元多项式，并且满足： （1） （2） 证明：能整除。 证明： （3） 将（3）带入（1）中，得到： ． 注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。 2．（14分）设A是nr的矩阵，并且秩（A）= r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。 证明： ，即方程． 3（15分）求矩阵的最大的特征值，并且求A的属于的特征子空间的一组基。 解：， 当时，求出线性无关的特征向量为， 则是的特征子空间的一组基． ４(14分)设． 解：不妨设 则矩阵对应的特征值为： 故 ５(14分)设A,B都是实数域R上的矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等． 证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明： 利用构造法，设，令， ，两边取行列式得 ．（１） ，两边取行列式得 ．（２） 由（１），（２）两式得＝ ．（３） 上述等式是假设了，但是（３）式两边均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是矩阵，Ｂ是矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式． ６．(14分)设A是实对称矩阵,证明：是一个正定矩阵． 证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数． 设为Ａ的任意特征值，则的特征值为． 故是一个正定矩阵． ７．(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设但是．证明：是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数． 证明：令．（１） 用左乘（１）式两边，得到． 由于，，带入（１）得．（２） 再用左乘（２）式两端，可得． 这样继续下去，可得到． 线性无关． ＝． Ａ在此基下的矩阵为， 可见,, 即A的核的维数为1．