第四节 幂级数.pptVIP免费

1第四节幂级数一、幂级数及其收敛特性定义：形如nnnxxa)(00的级数称为幂级数.其中na为幂级数系数.特别,取00x,则得0nnnxa,如果对0xx,数项级数10nnnxa收敛,则称幂级数00nnnxa在0xx处收敛，并称点0xx为幂级数00nnnxa的收敛点,2定义幂级数10nnnxa的全体收敛点组成的集合D称为该幂级数的收敛域。显然，D0。在收敛域上,幂级数的和是x的函数S(x),称S(x)为函数项级数的和函数，记为)(00xSxannn)(Dx,120xxxnn例如级数收敛域为,1||x和函数为.110xxnn3(1)如果级数0nnnxa在)0(11xxx处收敛,则它在满足不等式||||1xx的一切x处绝对收敛;(2)如果级数0nnnxa在2xx处发散,则它在满足不等式||||2xx的一切x处发散.证明,0lim1nnnxa,)1(01收敛nnnxaO1x定理(阿贝尔定理)4),2,1,0(1nMxann使得,Mnnnnnnxxxaxa11nnnxxxa11nxxM1,1xx,01收敛等比级数nnxxM,0收敛nnnxa;)(0收敛绝对因此级数nnnxa由正项级数的比较判别法知,证明,0lim1nnnxa,)1(01收敛nnnxa5,)2(2时级数发散设当xx假如有一点0x适合||||20xx使级数收敛,则级数当2xx时应收敛,由(1)结论,xoRR几何说明收敛区域发散区域发散区域这与所设矛盾.6幂级数0nnnxa的收敛情况必为以下三种情形之一：（1）仅在0x处收敛；（2）在整个数轴上收敛；（3）0R,在Rx||处绝对收敛,在Rx||处发散,在Rx||处可能收敛也可能发散.此时正数R称为幂级数的收敛半径.0R规定,R收敛域),(.(1)幂级数只在0x处收敛:(2)幂级数对一切x都收敛:问题如何求幂级数的收敛半径?7如果幂级数0nnnxa的所有系数0na,则幂级数0nnnxa的收敛半径为设kaannn1lim(或kannnlim)简单地讲,就是1limnnnaaR.定理kkkkR,00,0,1/8证明应用达朗贝尔判别法，对级数0nnnxannnnnxaxa11limxaannn1lim,||xk(1)如果0k当kx1时,0nnnxa发散；当kx1时,0nnnxa绝对收敛；故0k时,kR1；9,0)2(k如果nnnnnxaxa11lim.)(0收敛绝对级数nnnxa;R收敛半径,)3(k如果.0R收敛半径证毕.则对0x,则对0x,级数0nnnxa发散，kaannn1lim||lim1xaannn,10||limlim111xaax...