第七节(1).PPT

惯性定理,主要内容,正定二次型的定义,第 七 节 正定二次型,正定二次型的条件,定理.,二次型的标准形显然不是唯一的,只是标准形,中所含项数是确定的(即是二次型的秩).,不仅如此,在限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是,不变的(从而负系数的个数也不变),也就是有以下,中正数的个数相等.,定理 9 设有实二次型 f=xTAx,它的秩为,r,有两个实的可逆变换,x=Cy 及 x=Pz,使 f=k1y12+k2y22+kryr2(ki 0),及 f=1z12+2z22+rzr2(i 0),则 k1,k2,kr 中正数的个数与 1,2,r,一、惯性定理,这个定理称为惯性定理,这里不予证明.二次型的标准形中正系数的个数称为二次,型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性,指数.,若二次型 f 的正惯性指数为 p，秩为 r,则 f 的规范形便可确定为,f=y12+yp2 yp+12 yn2.,科学技术上用得较多的二次型是正惯性指,数为 n 或负惯性指数为 n 的 n 元二次型，我们,有下述定义.,定义 10 设有实二次型 f(x)=xTAx,如果,二次型,并称对称矩阵 A 是负定的.,如果对任何 x 0 都有 f(x)0,则称 f 为负定,为正定二次型,并称对称矩阵 A 是正定的;,对任 x 0,都有 f(x)0(显然 f(0)=0),则称 f,二、正定二次型的定义,定理 10 实二次型 f(x)=xTAx 为正定的充,它的标准形的 n 个系数全为正，即它,三、正定二次型的条件,推论 对称矩阵 A 为正定的充要条件是,A 的特征值全为正.,的规范形的 n 个系数全为 1，亦即它的正惯性指,数等于 n.,