第六讲　MATLAB数值计算.ppt

第五讲MATLAB数值计算,5.1 特殊矩阵5.2 矩阵分析5.3 矩阵分解与线性方程组求解5.4 数据处理与多项式计算5.5 傅立叶分析5.6 数值微积分5.7 常微分方程的数值求解5.8 非线性方程的数值求解5.9 稀疏矩阵,5.1 特殊矩阵,5.1.1 对角阵与三角阵1.矩阵的对角元素(1)提取矩阵的对角线元素 设A为mn矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。(2)构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。,例5.1 先建立55矩阵A，然后将A的第1行元素乘以1，第2行乘以2，第5行乘以5。命令如下：A=17,0,1,0,15;.23,5,7,14,16;.4,0,13,0,22;.10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19D=diag(1,2,3,4,5)D*A,2.矩阵的三角阵(1)下三角矩阵 求矩阵A的下三角阵:tril(A)。(2)上三角矩阵 提取矩阵A的上三角矩阵:triu(A),5.1.2 特殊矩阵的生成 1.魔方矩阵 函数magic(n):生成一个n阶魔方阵。,magic(3)ans=8 1 6 3 5 7 4 9 2,例5.2 将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。B=100+magic(5),A=vander(1:5)A=1 1 1 1 1 16 8 4 2 1 81 27 9 3 1 256 64 16 4 1 625 125 25 5 1,2.范得蒙矩阵(Vandermonde)函数 A=vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。,3.希尔伯特矩阵(Hilbert)生成希尔伯特矩阵的函数:H=hilb(n)hilb(3)ans=1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000求n阶希尔伯特矩阵的逆的函数:invhilb(n),4.托普利兹矩阵(Toeplitz)生成托普利兹矩阵的函数:T=toeplitz(c,r)，它生成一个以c为第1列，r为第1行的托普利兹矩阵。这里c,r均为向量，二者不必等长。c=1 2 3 4 5;r=1.5 2.5 3.5 4.5 5.5;toeplitz(c,r)Warning:First element of input column does not match first element of input row.Column wins diagonal conflict.ans=1.0000 2.5000 3.5000 4.5000 5.5000 2.0000 1.0000 2.5000 3.5000 4.5000 3.0000 2.0000 1.0000 2.5000 3.5000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000 2.5000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000,5.伴随矩阵 生成伴随矩阵的函数是：A=compan(P)，生成多项式P的伴随矩阵。P是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。伴随矩阵的特征值是多项式的根。u=1 0-7 6A=compan(u)A=0 7-6 1 0 0 0 1 0,eig(compan(u)ans=-3.0000 2.0000 1.0000,6.帕斯卡矩阵(Pascal)函数A=pascal(n)生成一个n阶的帕斯卡矩阵。pascal(5)ans=1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70,5.2 矩阵分析,5.2.1 矩阵结构变换1.矩阵的转置转置运算符是单撇号()。2.矩阵的旋转矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)，功能是将矩阵A旋转90的k倍，当k为1时可省略。3.矩阵的左右翻转对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。4.矩阵的上下翻转对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,5.2.2 矩阵的逆与伪逆1.矩阵的逆 求方阵A的逆可调用函数inv(A)。例5.4 用求逆矩阵的方法解线性方程组。A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;b=5,2,6;x=inv(A)*b一般情况下，用左除比求矩阵的逆的方法更有效，即x=Ab。,2.矩阵的伪逆对奇异方阵和长方阵，求矩阵伪逆的函数是pinv(A)。例5.5 求A的伪逆，并将结果送B。A=3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1;B=pinv(A)例5.6 求矩阵A的伪逆。A=0,0,0;0,1,0;0,0,1;pinv(A),5.2.3 方阵的行列式求方阵A所对应的行列式的值:det(A)。例5.7 用克莱姆(Cramer)方法求解线性方程组。D=2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2;%定义系数矩阵b=4;6;12;6;%定义常数项向量D1=b,D(:,2:4);%用方程组的右端向量置换D的第1列D2=D(:,1:1),b,D(:,3:4);%用方程组的右端向量置换D的第2列D3=D(:,1:2),b,D(:,4:4);%用方程组的右端向量置换D的第3列D4=D(:,1:3),b;%用方程组的右端向量置换D的第4列DD=det(D);x1=det(D1)/DD;x2=det(D2)/DD;x3=det(D3)/DD;x4=det(D4)/DD;x1,x2,x3,x4,5.2.4 矩阵的秩求矩阵秩的函数:rank(A)。例如，求例5.7中方程组系数矩阵D的秩，命令是：D=2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2;r=rank(D)r=4说明D是一个满秩矩阵。,5.2.5 向量和矩阵的范数1.计算向量3种常用范数的函数(1)norm(V)或norm(V,2)计算向量V的2-范数(sum(abs(V).2)(1/2)(2)norm(V,1)计算向量V的1-范数(sum(abs(V)(3)norm(V,inf)计算向量V的-范数(max(abs(V)例5.8 已知V，求V的3种范数。V=-1,1/2,1;v1=norm(V,1)%求V的1范数v2=norm(V)%求V的2范数vinf=norm(V,inf)%求范数,2.矩阵的范数及其计算函数MATLAB中提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。例5.9 求矩阵A的三种范数。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19;a1=norm(A,1)%求A的1-范数(列和范数):max(sum(abs(A)a2=norm(A)%求A的2-范数(谱范数):max(svd(A)ainf=norm(A,inf)%求A的-范数(行和范数):max(sum(abs(A),5.2.6 矩阵的条件数和迹1.条件数MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：(1)cond(A,1)计算A的1范数下的条件数(2)cond(A)或cond(A,2)计算A的2范数下的条件数(3)cond(A,inf)计算A的 范数下的条件数例5.10 求矩阵X的三种条件数。A=2,2,3;4,5,-6;7,8,9;C1=cond(A,1)C2=cond(A)C3=cond(A,inf),2.矩阵的迹(特征值之和)求矩阵的迹的函数:trace(A)。例如，X=2 2 3;4 5-6;7 8 9;trace(X)ans=16,5.2.7 矩阵的特征值与特征向量计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有3种：(1)E=eig(A)求矩阵A的全部特征值，构成向量E。(2)V,D=eig(A)求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。(3)V,D=eig(A,nobalance)与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。,例5.11 用3种不同的格式求A的特征值和特征向量。命令如下：A=1,2,2;1,-1,1;4,-12,1E=eig(A)V,D=eig(A)V,D=eig(A,nobalance),例5.12 用求特征值的方法解方程。p=3,-7,0,5,2,-18;%A=compan(p);%p的伴随矩阵x1=eig(A)%求A的特征值x2=roots(p)%直接多项式p的零点两种方法求得的方程的根是完全一致的，实际上，roots函数正是应用求伴随矩阵的特征值的方法来求方程的根。,5.2.8 MATLAB在三维向量中的应用1.向量共线或共面的判断例5.13 设X=(1，1，1)，Y=(-1，2，1)，Z=(2，2，2)，判断这三个向量的共线共面问题。X=1,1,1;Y=-1,2,1;Z=2,2,2;XY=X;Y;YZ=Y;Z;ZX=Z;X;XYZ=X;Y;Z;rank(XY)rank(YZ)rank(ZX)rank(XYZ),2.向量方向余弦的计算例5.14 设向量V=(5，-3，2)，求V的方向余弦。建立一个函数文件direct.m：function f=direct(v)r=norm(v);if r=0 f=0else f=v(1)/r,v(2)/r,v(3)/r;end在MATLAB命令窗口，输入命令：V=5,-3,2;F=direct(v),3.向量的夹角例5.15 设U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U,V间的夹角。U=1,0,0;V=0,1,0;r1=norm(U);r2=norm(V);UV=U*V;cosd=UV/r1/r2;D=acos(cosd)4.两点间的距离例5.16 设 U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U、V两点间的距离。U=1,0,0;V=0,1,0;UV=U-V;D=norm(UV),5.向量的向量积例5.17设U=(2，-3，1)，V=(3，0，4)，求UV。U=2,-3,1;V=3,0,4;W=eye(3);A1=W(1,:);U;V;A2=W(2,:);U;V;A3=W(3,:);U;V;UV=det(A1),det(A2),det(A3)UV=-12-5 96.向量的混合积例5.18 设U=(0，0，2)，V=(3，0，5)，W=(1，1，0)，求以这三个向量构成的六面体的体积。U=0,0,2;V=3,0,5;W=1,1,0;A=U;V;W;det(A)ans=6,5.3 矩阵分解,1.实对称矩阵的QDQ分解例5.20 设对称矩阵A，对A进行QDQ分解。A=2,1,4,6;1,2,1,5;4,1,3,4;6,5,4,2;Q,D=eig(A)Q*D*Qans=2.0000 1.0000 4.0000 6.0000 1.0000 2.0000 1.0000 5.0000 4.0000 1.0000 3.0000 4.0000 6.0000 5.0000 4.0000 2.0000结果与A相等，说明确实将A分解为了QDQ的乘积。,例5.21 求下列二次型的标准形式及变换矩阵。命令如下：A=1,2,1;2,1,1;1,1,3;Q,D=eig(A)进一步作线性变换即得关于u,v,w的标准二次型：2.矩阵的LU分解MATLAB中，完成LU分解的函数是：(1)L,U=lu(A)将方阵A分解为交换下三角矩阵L和上三角矩阵U，使 A=LU。(2)L,U,P=lu(A)将方阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，使 PA=LU。,3.矩阵的QR分解对矩阵A进行QR分解的函数是Q,R=qr(A)，根据方阵A，求一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使A=Q*R。例如，对矩阵A进行QR分解的命令是：A=2,1,-2;1,2,1;2,5,3;Q,R=qr(A),5.4 数据处理与多项式计算,5.4.1 数据统计与分析1.求矩阵最大和最小元素(1)求向量的最大最小元素y=max(X)返回向量X的最大元素存入y。y,I=max(X)返回向量X的最大元素存入y，最大元素的序号存入I。(2)求矩阵的最大和最小元素max(A)返回一个行向量，向量的第i个元素是A矩阵的第i列上的最大元素。Y,U=max(A)返回两个行向量，Y向量记录A的每列的最大元素，U向量记录每列最大元素的行号。max(A,dim)dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同。dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大元素。,(3)两个向量或矩阵对应元素的比较U=max(A,B)A,B是两个同型的向量或矩阵。结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。U=max(A,n)n是一个标量。结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max完全相同。,例5.25 求矩阵A的每行及每列的最大和最小元素，并求整个矩阵的最大和最小元。命令如下：A=13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1;max(A,2)%求每行最大元素min(A,2)%求每行最小元素max(A)%求每列最大元素min(A)%求每列最小元素max(max(A)%求整个矩阵的最大元素min(min(A)%求整个矩阵的最小元素,2.求矩阵的平均值和中值求矩阵和向量元素的平均值的函数是mean，求中值的函数是median。它们的调用方法和max函数完全相同。3.矩阵元素求和与求积矩阵和向量求和与求积的基本函数是sum和prod，其使用方法和max类似。,例5.26 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。命令如下：A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;S=prod(A,2)prod(S)%求A的全部元素的乘积4.矩阵元素累加和与累乘积MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的用法和sum及prod相同例5.27求向量X=(1！，2！，3！，10！)。命令如下：X=cumprod(1:10),5.标准方差MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：std(A,FLAG,dim)其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。FLAG取0(N-1)或1(N)。,6.元素排序MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩阵A的各列(或行)重新排序，其调用格式为：Y,I=sort(A,dim,mode)其中dim指明对A的列还是行进行排序，若dim=1，则按列排序，若dim=2，则按行排序。mode=ascend按升序排序(缺省),mode=descend按降序排序，Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,例5.28 对矩阵做各种排序。命令如下：A=1,-8,5;4,12,6;13,7,-13;sort(A)%对A的每列按升序排序sort(A,2,descend)%对A的每行按降序排序X,I=sort(A)%对A按列排序，并将每个元素所在行号送矩阵I,5.4.2 数值插值1.一维数值插值interp1函数调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。X、Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear(线性插值)、nearest(最近插值)、spline(三次样条插值)、cubic（三次多项式插值），缺省值是linear。,例5.29 用不同的插值方法计算sin(x)在/2点的值。这是一个一维插值问题。在MATLAB命令窗口，输入命令：X=0:0.2:pi;Y=sin(X);%给出X、Yinterp1(X,Y,pi/2)%用缺省方法(即线性插值方法)计算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,nearest)%用最近方法计算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,linear)%用线性方法计算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,spline)%用三次样条方法计算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,cubic)%用三次多项式方法计算sin(/2)MATLAB中有一个专门的三次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。,例5.30 已知检测参数f 随时间t的采样结果，用数值插值法计算t=2，7，12，17，22，17，32，37，42，47，52，57时f的值。这是一个一维数值插值问题，命令如下：T=0:5:65;X=2:5:57;F=3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,.6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6;F1=interp1(T,F,X)%用线性方法插值F1=interp1(T,F,X,nearest)%用最近方法插值F1=interp1(T,F,X,spline)%用三次样条方法插值F1=interp1(T,F,X,cubic)%用三次多项式方法插值,2.二维数值插值MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数。其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中X、Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的采样变量的样本值，X1、Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。method的取值与一维插值函数相同。,例5.31设Z=x2+y2，对Z函数在(0,1)(0,2)区域内进行插值。命令如下：x=0:0.1:10;y=0:0.2:20;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.2+Y.2;interp2(x,y,Z,0.5,0.5)%对函数在(0.5,0.5)点进行插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4)%对函数在(0.5,0.4)点和(0.6，0.4)点进行插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5)%对函数在(0.5,0.4)点和(0.6，0.5)点进行插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5)%对函数在(0.5,0.4),(0.6,0.4),(0.5,0.5)和(0.6,0.5)点进行插值,3.三维数值插值对三维函数插值的函数是interp3，其使用方法和interp2相同。其调用格式为：W1=interp3(X,Y,Z,W,X1,Y1,Z1,method)函数返回三维插值结果。其中X、Y、Z是三个向量，分别描述三个参数的采样点，W是与参数采样点对应的采样变量的样本值，X1、Y1、Z1是三个向量或标量，描述欲插值的点。method是插值方法，可选，其缺省值是 line。method的取值与一、二维插值函数相同。,5.4.3 曲线拟合(一)多项式曲线拟合MATLAB中，提供了解决使用最小二乘法进行曲线拟合的函数。调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X、Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量。,P(1)*xm+P(2)*x(m-1)+P(m)*x+p(m+1),例5.32 用一个5次多项式在区间0，2内逼近函数sin(x)。命令如下：X=linspace(0,2*pi,50);Y=sin(X);P,S=polyfit(X,Y,5)%得到5次多项式的系数和误差plot(X,Y,k*,X,polyval(P,X),k-),（二）使用指定函数进行曲线拟合,x=lsqnonlin(fun,x0),x返回拟合参数，fun为拟合曲线对应的函数，x0为初始值,例：根据所给试验数据，用双曲线模型拟合，确定模型参数,function=curvefit()data=0 1.335;0.05 1.253;0.1 1.180;0.2 1.058;0.4 0.887;0.6 0.803;0.8 0.752;1.2 0.685;x=data(:,1);y=data(:,2);plot(x,y,g-);hold on;x0=1 0;p=lsqnonlin(curve_model,x0);y1=y(1);y=y1-x./(p(1)+p(2)*x);plot(x,y,bo);,%定义curve_model函数function f=curve_model(p,data)data=0 1.335;0.05 1.253;0.1 1.180;0.2 1.058;0.4 0.887;0.6 0.803;0.8 0.752;1.2 0.685;x=data(:,1);y=data(:,2);y1=y(1);z=y1-x./(p(1)+p(2)*x);f=z-y;,5.4.4 多项式计算1.多项式的建立已知一个多项式的全部根X求多项式系数的函数是poly(X)，该函数返回以X为全部根的一个多项式P，当X是一个长度为m的向量时，P是一个长度为m+1的向量。2.多项式求根求多项式p(x)的根的函数是roots(P)，这里，P是p(x)的系数向量，该函数返回方程p(x)=0的全部根(含重根，复根)。3.多项式求值求多项式p(x)在某点或某些点的函数值的函数是polyval(P,x)。若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。,例5.33 已知一个多项式，(1)计算f(x)=0 的全部根。(2)由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。(3)计算f(5)、f(7.8)、f(9.6)、f(12.3)的值。命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多项式g(x)X0=5,7.8,9.6,12.3f=polyval(P,X0)%求多项式f(x)在给定点的值多项式求值还有一个函数是polyvalm，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。,4.多项式的四则运算(1)多项式的加减法(2)多项式的乘法函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。(3)多项式的除法函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。,例5.34设有两个多项式，计算：(1)求f(x)+g(x)、f(x)-g(x)。(2)求f(x)g(x)、f(x)/g(x)。在MATLAB命令窗口，输入命令：f=3,-5,2,-7,5,6;g=3,5,-3;g1=0,0,0,g;f+g1%求f(x)+g(x)f-g1%求f(x)-g(x)conv(f,g)%求f(x)*g(x)Q,r=deconv(f,g)%求f(x)/g(x)，商式送Q，余式送r。,5.多项式的导函数对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)求多项式P的导函数p=polyder(P,Q)求P*Q的导函数p,q=polyder(P,Q)求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。,例5.35 求有理分式的导数。命令如下：P=3,5,0,-8,1,-5;Q=10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100;p,q=polyder(P,Q),5.4.5 函数的极值MATLAB中用于求最小值的函数是：fminbnd 求一元函数在一确定区间内的极值。fminsearch 求多元函数的极值。MATLAB没有专门提供求函数最大值点的函数，但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上的最小值点就是f(x)在(a,b)的最大值点，所以fmin(-f,a,b)返回函数f(x)在区间(a,b)上的最大值。,x,feval,exitflag,output=fminbnd(fun,x1,x2,options),x为函数fun在区间x10，函数收敛到x；exitflag=0，函数计算次数已达最大迭代次数；exitflag0，函数在计算区间内不收敛。output为包含最优化信息的结构，output.algorithm，output.funccount,output.iterations,output.message分别为所用算法、函数计算次数，迭代次数，退出信息options为可选项，如：Display为显示层次：off时不显示输出内容；iter时显示迭代过程，final时显示输出内容；notify时函数不收敛则显示输出（默认选择）。MaxFunEvals为函数值最大误差。MaxIter为迭代最大步数(默认500)。TolX为x误差范围（默认1.0e-4),例5.36 求函数 在区间(0，2)上的极值。,f=inline(x.3-2*x-5);%通过内联函数建立函数f x1=fminbnd(f,0,2)%求函数f在区间(0,2)上的极值x2=fminbnd(f,0,2,optimset(TolX,1e-12,Display,off)%求函数f在区间(0,2)上的极值并进行有关计算设置x3,fx,exitflag,out=fminbnd(f,0,2)%fx为返回输出函数值%exitflag为返回输出标志，out为返回输出迭代次数,计算次数,所用算法,x1=0.8165x2=0.8165x3=0.8165fx=-6.0887exitflag=1out=iterations:8 funcCount:9 algorithm:golden section search,parabolic interpolation message:1x112 char,x,feval,exitflag,output=fminsearch(fun,x0,options),x为函数fun在x0附近的极值，x0为x的初始值，其他符号意义与一元函数极值时相同。,例5.37 求函数 的极值，初始值为。,xx,fx,flag=fminsearch(multi_var_min,-0.6-1.2 0.135),%定义multi_var_min函数function y1=multi_var_min(v)x=v(1);y=v(2);z=v(3);y1=x.2+2.5*sin(y)-z.2*x.2*y.2;,运行结果：xx=0.0000-1.5708 0.1803fx=-2.5000out=1,5.4.6 函数零点,x,feval,exitflag,output=fzero(fun,x0,options),x为函数fun在x0附近的零点，x0为x的初始值，其他符号意义与一元函数极值时相同。,例5.38 求函数 的极值，初始值为。,xx,fx,flag=fzero(x.*x-5*x+6,0.0)%一个零点,xx,fx,flag=fzero(x.*x-5*x+6,4.0)%另一个零点，通过改变初始值,运行结果：xx=2.0000 fx=0 flag=1,运行结果：xx=3.0000 fx=0 flag=1,5.5 傅立叶分析,MATLAB中，提供了对向量(或直接对矩阵的行或列)进行离散傅立叶变换的函数，其调用格式是：Y=fft(X,n,dim)(1)当X是一个向量时，返回对X的离散傅立叶变换。(2)当X是一个矩阵时，返回一个矩阵并送Y，其列(行)是对X的列(行)的离散傅立叶变换。,例5.38 求X=(1，0，-3，5，2)的离散傅立叶逆变换。在MATLAB命令窗口，输入命令：X=1,0,-3,5,2;Y=fft(X)%对X进行变换离散傅立叶变换的逆变换MATLAB中，对向量(或直接对矩阵的行或列)进行离散傅立叶逆变换的函数的调用方法是：Y=ifft(X,n,dim)函数对X进行离散傅立叶逆变换。其中X、n、dim的意义及用法和离散傅立叶变换函数fft完全相同。,例5.39 对矩阵A的列向量、行向量分别进行离散傅立叶变换、并对变换结果进行逆变换。命令如下：A=3,2,1,1;-5,1,0,1;3,2,1,5;fftA=fft(A)%求A的列向量的傅立叶变换fftA2=fft(A,4,2)%求A的行向量的傅立叶变换ifft(fftA)%对矩阵fftA的列向量进行傅立叶逆变换，结果应等于Aifft(fftA2,4,2)%对矩阵fftA2的行向量进行傅立叶逆变换，其结果应等于A,5.6 数值微积分,5.6.1 数值微分MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数。DX=diff(X)计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，0in。DX=diff(X,n)计算X的n阶向前差分，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分，dim=2，按行计算差分。,例5.40 求向量sin(X)的13阶差分。设X由0，2间均匀分布的10个点组成。命令如下：X=linspace(0,2*pi,10);Y=sin(X);DY=diff(Y);%计算Y的一阶差分D2Y=diff(Y,2);%计算Y的二阶差分，也可用命令diff(DY)计算D3Y=diff(Y,3);%计算Y的三阶差分，也可用diff(D2Y)或diff(DY,2),例5.41 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f(x)的图象。程序如下：f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2);g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5);x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5);%用5次多项式p拟合f(x)dp=polyder(p);%对拟合多项式p求导数dpdpx=polyval(dp,x);%求dp在假设点的函数值dx=diff(f(x,3.01)/0.01;%直接对f(x)求数值导数gx=g(x);%求函数f的导函数g在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,g.,x,gx,r-);%作图,5.6.2 数值积分(1)被积函数是一个解析式quad,quadl,odblquadq1=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2)q2=quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2)q3=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)求被积函数fun在a,b上的定积分，tol是计算精度，缺省值是1.0e-6。trace非0时，显示中间计算结果。注意，调用quad函数时，先要建立一个描述被积函数f(x)的函数文件或语句函数。当被积函数fun含有一个以上的变量时，quad函数的调用格式为：quad(f,a,b,tol,trace,p1,p2)q1,q2,q3分别为自适应递推辛普生(simpson)方法、自适应Lobatto方法、二重积分结果。注：quad8（自适应递推牛顿-柯西（Newton-Cotes)法）已废弃，推荐用quadl,例5.42 求积分,Q1=quad(sqrt(4*cos(2*t).2+sin(t).2+1),0,3*pi)%Simpson方法计算结果Q2=quadl(sqrt(4*cos(2*t).2+sin(t).2+1),0,3*pi)%Lobatto方法计算结果,例5.43 求积分,Q3=dblquad(y*sin(x)+x*cos(y),3*pi,4*pi,pi,2*pi),例5.44 用trapz函数计算积分。在MATLAB命令窗口，输入命令：X=0:0.01:1;Y=exp(-X.2);trapz(X,Y)；%梯形法求数值积分(2)被积函数由一个表格定义MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X、Y定义函数关系Y=f(X)。,(3)二重积分例5.44计算二重积分。建立一个函数文件fixy.m：function f=f(x,y)f=exp(-x.2-y.2);return建立一个命令文件ftxy1.m：for i=1:20 int2(i)=quad(fixy,0,1,x(i);%在二维函数fixy中以x=x(i)代入并对y积分。end在MATLAB命令窗口，输入命令：x=linspace(0,1,20);ftxy1trapz(x,int2),实际上，MATLAB提供了计算二重积分的函数：dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在a,bc,d区域上的二重积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。如果直接使用这里介绍的二重积分函数dblquad来求解本例就非常简单，命令如下：g=inline(exp(-x.2-y.2);dblquad(g,0,1,0,1)%直接调用二重积分函数求解,5.7 常微分方程的数值求解,基于龙格库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：X,Y=ode23(f,x0,xn,y0)X,Y=ode45(f,x0,xn,y0)其中X、Y是两个向量，X对应自变量x在求解区间x0，xn的一组采样点，其采样密度是自适应的，无需指定；Y是与X对应的一组解，f是一个函数，x0，xn代表自变量的求解区间，y0=y(x0)，由方程的初值给定。函数在求解区间x0，xn内，自动设立采样点向量X，并求出解函数y在采样点X处的样本值。,例5.45 求微分方程。步骤一：转化为状态方程令，那么可把 写成状态方程形式步骤二：建立函数文件xprime.m：function xdot=xprime(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=(1-x(2)2)*x(1)-x(2);xdot(2)=x(1);,步骤三：解微分方程t0=0;tf=20;x0=0,0.25;t,x=ode23(xprime,t0,tf,x0);plot(t,x(:,1),:b,t,x(:,2),-r);legend(速度，位移）；,5.8 非线性方程的数值求解,1单变量非线性方程求解MATLAB中，提供了求解单变量方程的函数fzero(f,x0,tol)，该函数采用迭代法计算函数f(x)的一个零点，迭代初值为x0，当两次迭代结果小于tol时停止迭代过程。tol的缺省值是eps。注意，在调用函数fzero 之前，要使用m文件建立自己要计算的函数f(x)，只有定义了函数f(x)的m文件后，才能在fzero函数的参数中使用自定义函数名。,例5.46 求f(x)=x-1/x+5 在x0=-5和x0=1作为迭代初值时的零点。步骤一：建立函数文件fz.m：function y=fz(x)y=x-1/x+5;步骤二：求零点z1=fzero(fz,-5)%以-5作为迭代初值z2=fzero(fz,1)%以1作为迭代初值z1=-5.1926z2=0.1926,2非线性方程组求解函数fsolve调用格式为：X=fsolve(fun,X0)说明：（1）函数文件fun.m用于定义所需求解的非线性方程组。（2）X0是对解的初始猜测值。,例5.47 求方程组 在(1，1，1)附近的解并对结果进行验证。步骤一：建立方程的函数文件fxyz.m：function F