第二节 相似矩阵.pptVIP免费

1第二节2一、相似矩阵的概念和性质定义对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得,1BAPP则称A与B相似,记为.~BA矩阵的“相似”关系具有以下特性：(1)反身性：对任何方阵A，总有AA~(令EP即可)；(2)对称性：若BA~，则有AB~；证BAPP1.)(111BPP1PBPA(3)传递性：若BA~,且CB~,则有CA~.证CBQQBAPP11,.)()(1CPQAPQQAPPQ)(113相似矩阵的性质：定理相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.证BAPP1APPEBE1PAEP)(1PAEP1.AE推论1相似矩阵的行列式相等；推论2相似矩阵的迹相等；推论3若矩阵A与一个对角阵n21相似,则n,,21即为A的全部特征值。4注意:特征值相同的矩阵不一定相似.例如,1011A与1001E的特征值相同，但它们不相似,因为对任意可逆阵P,,1EEPP即与E相似的矩阵只有它自己。相似矩阵的其它性质：相似矩阵的秩相等；,1BAPP若P,Q为可逆矩阵,则有.)()()(ArAQrPAr5若BA~,则kBkA~,其中k为任意常数；TTBA~；mmBA~,其中m为任意正整数；)(~)(BpAp,其中)(xp为任一多项式；A,B同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。它们的特征矩阵AE和BE也相似；只证(3)，其余证明留作练习.(1)(2)(3)(4)(5)(6),1BAPPmmAPPB)(1)())((111APPAPPAPP.1PAPm6例1解设32020002aA,bB00020001,且BA~,求ba,。BAba43)(tr)(trBAba35.53ba7n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。二、矩阵可相似对角化的条件定理如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。证必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆阵P,使,211nAPP8即,PAP,1APP将矩阵P按列分块,),,,(21nP,则有),,,(),,,(2121nnA,),,,(),,,(221121nnnAAA即即得,,,2,1,niAiii说明n,,,21是A的分别对应于特征值n,,,21的特征向量,由于P可逆，所以n,,,21线性无关。,21n必要性得证。上述步骤倒过来写,即得充分性证明。9推论1如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.因为...