期中题B解08.5.7.doc

概率统计期中考试题B解 珠海校区2008.5.7下午 1. (10分)小张,小李,小陈和小王四位朋友射击的命中率分别是,,和,每人射击一次,求至少有一人命中的概率. 解 分别以,,和记小张,小李,小陈和小王各人命中,则所求的概率是 . 2. (15分)投掷一个骰子两次. 1) 已知两次中至少有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 2) 已知两次中至多有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 解 设“第一次掷出6点”,“第二次掷出6点”，则 , , , ， ， 所求的条件概率是 ， . 3. (10分)从10个数字中任取一个,取后放回,连取4次,得到4个数字.求事件“这4个数字中的最大者是7”的概率. 解 在10个数字中有放回地抽取4次,每次1个,有种可能的结果,样本点总数为.对,设“这4个数字中的最大者不大于”,则含有个样本点,故有 . 由于,故 . 4. (10分)设等腰直角三角形的直角边长为随机变量,有密度.求这个三角形的面积的期望和方差. 解 这个三角形的面积是. . . . 5. (10分)设随机变量有均值5和方差36.为了使得随机变量有均值0和方差1,应该怎样选择常数和的值. 解 由题意得 , , 解方程组 得,. 6. (15分)设随机变量服从上的均匀分布.求随机变量的密度.. 解 有密度. 解1 . 当时,,. 当时, , . 综合上面的两种情况有 . 解2 . 当时,. 当时, . 综合上面的两种情况有 . 故 . 解3 有分布函数 , . 当时, . 当时, . 综合上面的两种情况有 . 故 . 7. (12分)小张的五位朋友将会在未来的4天每人发送一份手机短信给小张,每份短信的发送时间是独立的,在这4天中的那一天发送都是等可能的.设这4天中有天当天小张都至少收到一份来自这五位朋友短信,求的期望. 解 对于,设 , 则. , , 故,.因而 . 8. (18分)设有密度 . 1) 求的边缘密度. 2) 求条件密度. 3) 求概率. 4) 求条件概率. 解 1) . 2) 当时, . 3) 方法1: . . 方法2: . 4) , . 附加题1. (5分)设都是事件.证明如果或,则相互独立. 证 1) 设,则.因为,所以,从而, , 故独立. 2) 设.因为,所以,从而.由此得 , 故独立. 附加题2. (5分)设在相同的条件下不断重复做某个试验,是试验的事件,在各次试验中的发生是独立的.证明:只要,则迟早会发生的概率为1. 证1 设,.则对任意有 , 令得,因而迟早会发生的概率为 . 证2 设,.则 , . B解-4