矩阵分析2009A[1].doc

2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 一． （12分）表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在中取两个基：；。 （1）求基到基的过度矩阵；（2） 求在基下的坐标。 二． （16分）设是由次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间，中的线性映射满足：对任意 ， ， （1）求的核基和维数；（2）求值域的基和维数；（3）求的一个基使得在该基下的矩阵表示为对角矩阵。 三． （12分）设，， 。 计算。 四．（8分）求矩阵的满秩分解。 五． （12分）求矩阵的三角正交分解，其中是酉矩阵， 是正线下三角矩阵。 六． （20分）证明题： 1． 设是阶正规矩阵，证明是酉矩阵的充要条件是的特征值的绝对值等于1。 2．设半正定Hermite矩阵且，证明：。 3．设是阶正规矩阵，证明，其中是的第个特征值。 七． （20分） 设。（1）求的Smith标准形；（2）写出的最小多项式， 的初等因子和Jordan标准形； （3）求矩阵函数，并计算，。 2