线代试题2008-2009下D(36A卷)答案.doc

武汉大学数学与统计学院2008－2009第二学期 《线性代数D》 （工36学时，A卷答案） 一、(10分) 解： 二、(15分) 解：由又知可逆。 可得，并可求得 三、（15分）解： 令 其中的前三列显然线性无关。故向量组的秩为3，且构成一个极大无关组。注意到 的第一、二列可以表达第四列，而第一、二列又不能表达第三列，因此，第一、二、四列不能表达第三列，也即不能由表达。容易看出，故只有不能由其余向量线性表达。 四、(15分）解：经计算, 因此方程组有唯一解。 时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形: 因 ，即时无解。 时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形: 因 ，所以时有无穷多解。等价方程组为: 令，得通解为： 五、(15分）解：1) 能；设的特征值为，则的特征值为， 由知，从而。 2) 不能；易知非零，但，于是由 可求得全部线性无关的特征向量的个数为（因为，其中为的秩）， 故不存在个线性无关的特征向量，从而不存在任何对角阵和相似。 3）能；易知的特征值为，从而。 六、(15分) 解：1) 二次型的矩阵为A＝; | E-A|＝=(+1)(－2) 所以A的全部特征值为： ＝－1, ＝ ＝2 对 = —1, 解 (－E－A)X＝0 得基础解系为 ＝(1,1,1)； 对 ＝＝2, 解(2E—A)X＝0得基础解系为 ＝ (1,—1,0), ＝ (1,0,—1)。 2).将正交单位化，可得正交矩阵 ＝ 即为所求正交阵，且 ＝. 3) . 七、(15分)证：由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的。设是齐次线性方程组的一个基础解系，则可设等价的线性无关向量组为。 另外，由与基础解系等价，知可由线性表出，从而也是原齐次线性方程组的解。 又由题设知也可由线性表出。从而知齐次线性方程组的所有解也可由线性表出。即证也是一个基础解系。 2