第八章作业讲解√.pdf

第八章作业选讲第八章作业选讲（A）1（4）、）、22221 3 5.(21)2 4 6.2135.(21)2 4 6.2(2)!21 2 3.(2)!22462!nnnnunnnnnnnn 2(3)、00132323243.22nnnnnnnSn，级数发散！4(2)、若级数1nna收敛，证明113nnnaa也收敛。证明证明 根据级数的基本性质，2nna收敛，因而级数。1121133nnnnnnnaaaa也收敛。7(2)、这是一个公比sin1q 的几何级数，由于sin11，所以级数收敛。说明：许多同学掉了绝对值！9(2)、213nnn解：显然这是一个正项级数。由于223lim31nnnn且正项级数211nn是一个21p 的 p级数，所以原级数收敛。9(6)、11(0)1nnaa解：解：当1a 时，s2nn 于是级数发散。当1a 时，1121s2nnnnnaa根据正项级数的比较判别法，原级数收敛。9(14)、21(,)banna bnanb为正常数解解 显然这是一个正项级数，根据正项级数的比较判别法，由于 22a+a+21babbnnnnnanb故当a21b，即a3b时级数收敛；而当a3b时级数发散。11(6)、21!2n!nn解解 根据比值判别法，由于212222(1)!2(n+1)!2n!(1)!(2n+2)(2n+1)2n!2n!(1)11(2n+2)(2n+1)4nnnuunnnnn所以原级数收敛。11(6)、21113nnnnn解解 根据根值判别法，由于21111111113333nnnnnnnnneunnn所以原级数收敛。11(14)、2123nnnxn解解 根据比值判别法，由于122221223322424nnnnnnunnxxxunxn所以当221x，即22x 时，原级数收敛；当221x，即22x 时，原级数发散；当221x，即22x 时，212x，原级数为14113nnnn级数发散。14(1)、111ln(3)nnn解：令11ln(3)nnun，由于当 x0 时，ln(1+x)x，所以111ln(3)ln 1(2)2nunnn于是可知级数111ln(3)nnn非绝对收敛。显然原级数是交错级数，nu单调下降，且1lim0ln(3)nn，根据莱布尼茨判别法，级数条件收敛。14(3)、111nnne解：令11nnnue，由于001lnlimlim1lnlnxxxxaaaxaa所以1111nnnueen 于是可知级数111nnne非绝对收敛。显然原级数是交错级数，nu单调下降，且lim11lim10nnnnnee，根据莱布尼茨判别法，级数条件收敛。14(13)、21cos1nnnn 解：令2cos1nnnun，则22cos111nnnunnn 由于正项级数2111nnn发散，所以原级数非绝对收敛。另外，由于22111cos111cosnnnnnnnnn 所以原级数条件收敛。15(5)、03!nnnx解：13!1limlimlim033323131!nnnnnnuRunnnn所以原级数仅在 x=0 处收敛。15(9)、11nnn nx解：做变量代换11tx，则原级数变形为1nnn nt。11limlimlim1(1)111(1)1nnnnnun nRunnnn显然当1t 时，级数1nnn nt发散，故级数1nnn nt的收敛域为(1,1)。于是原级数的收敛域为|20 x xx或。15(9)、41221nnnxn解：令4221nnnuxn，由于14(1)414221limlim2221nnnnnnnnxunxuxn所以当421x，即114422x时，级数收敛；当142x或142x 时，级数发散；当421x时，原级数为1121nn，显然是个发散的级数。16(3)、111(1)2nnnnnx解：做变量代换2xt，则原级数变形为11(1)(1)nnnnt。令级数的和函数为S(t)，即11()(1)(1)nnnS tnt两边从 0 到 t 求定积分，211012()(1)()111tnnn nnntS t dttttt两边关于 t 求导数，22222(1)2()(1)(1)tttttS ttt所以212114(1)2(22)nnnnnxxxxx显然当2x 时，原级数的一般项不趋于0，级数发散，所以原级数的收敛域为(2,2)。18、设幂级数1(1)nnna x在0 x 收敛，在2x 发散，求该幂级数的收敛域。解：做变量代换1tx，则原级数变形为1nnna t，且在1t 收敛，在1t 发散。根据阿贝尔定理，级数在1t 收敛，在1t 发散，级数的收敛域为 1,1)t，原级数的收敛域为0,2)x。